Fondamenti di macchine - Appunti

Resistenze viscose nei fluidi

z v dv Per liquidi newtoniani τ µ= xdz d Fd F tdA dF x n d sσ τ τ x xy xz π τ σ τ=Nasce un tensore degli sforzi:  yx y yz τ τ σ zx zy z+ ∆t t   ∫ π= ⋅ ⋅dL d A d sπ =>= ⋅dF dA fs t ε γ γ   x xy xz γ ε γ∆ =   Nasce anche un tensore delle deformazioni:  yx y yz γ γ ε   zx zy z∂ ∂∂v vvε ε= =ε = yx z ; ;x zy ∂∂ ∂yx z ∂ ∂ ∂ ∂  ∂v  1 v vv∂ 1 v1 v γ = +γ  γ = +y y= +  x zz x  ; ;   yz xzxy ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ 2 z y2 y x  2 z x   

Proprietà dei tensori

• τ τ=- Le matrici sono simmetriche pertanto ij ji
• Esiste sempre una terna di riferimento per cui il tensore risulta diagonale, sulla diagonale saranno allora presenti le tensioni principali tali per cui si ha: ε ε εσ σ σ+ + + +  x y z x y zp pp pεσ = =p p; m m3 3ε
• Ad esempio mi dà un’idea di quanto velocemente si allontanano le facce su piani xy. Ez p εε ε così anche per e. Complessivamente mi dà un’idea della variazione di volume yx p m totale, che non risente della terna di assi presi come riferimento, pertanto la somma delle tre σtensioni principali è un invariante. Grazie a questa sua proprietà noi assumiamo come m valore della pressione sul fluido, proprio perché non dipende dall’orientamento. Un caso più σ σ σ σ= = =estremo è quando (sfera).x y z pp p
• I tensori possono essere scissi in due parti, la prima riguarda la variazione di volume (non tiene conto della forma), la seconda invece riguarda le velocità di deformazione lungo assi e angoli (tiene conto della forma):  ε ε ε γ γ− 0 0    m x m xy xz  ε γ ε ε γ∆ = + − = ∆ + ∆0 0      m yx y m yz iso forma  ε γ γ ε ε−0 0        m zx zy z m σ σ σ τ τ− 0 0m x m xy xz  π σ τ σ σ τ π π= + − = +0 0   m yx y m yz iso forma  σ τ τ σ σ−0 0   m zx zy z m π µ
• Esiste una relazione che lega i tensori: =>=− ∆2forma formaπ π µ= − ∆2iso forma

Categorie in base alle velocità

• A seconda delle velocità abbiamo tre categorie possibili: dvτ µ= ≅< < 0xm/s => velocità molto basse, => cioè non ci sono 0 v 20o dz σ = pazioni tangenziali e tutte le tensioni principali sono uguali e valgono. È un m sistema adatto a tutte le macchine alternative dove abbiamo volumi di controllo. Nei motori alternativi le velocità sono sui 15 m/s (nella F1 si arriva a 40 m/s), il fluido ha in genere una velocità prossima a quella dello stantuffo.
• < < ÷ m/s => le azioni tangenziali sono ancora piccole ma trascurarle 20 v 60 80o potrebbe provocare un’approssimazione eccessiva. Dipende dall’esperienza.
• > ÷ m/s => In questo caso le azioni tangenziali non sono trascurabili. È il v 60 80o caso di impianti con turbine a vapore dove seguo una massa nello spazio. Generalmente l’espansione non riesce quasi mai isentropica proprio a causa della azioni tangenziali, si sceglie allora un esponente m (o un rendimento) in base all’esperienza.

f∫ p+ = ∆ + ⋅*Q L U p dvNel primo principio io utilizzo, in questa formula il termine si riferisce w m i π σ= Lpalla sola variazione di volume (senza considerare la forma). Mentre nel termine wiso m mπio vado invece a inglobare tutti i termini dovuti alle azioni tangenziali (tengo della forma). forma

∫ = +Tds Q LNel secondo principio ho: pertanto nel diagramma T-s l’area sottesa dalla curva w m+Q L Lrappresenta. Se è adiabatica rappresenta solo pertanto l’adiabatica si distingue w wm mLdall’isentropica proprio a causa del termine: w m1T Tm 2 Se adiabatica2is Se adiabataticas s

I principio in forma sostanziale (Lagrangiano)

Individuo una massa e ne seguo l’evoluzione nello spazio. Il sistema di riferimento è sulla massa. Adatto a macchine di tipo volumetrico.

= + +*dq dl du defs c , w , gr= +*du du dut ch 2 2v u∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + + = + + = + +e e e e E dm E dm E dm dm dm gzdmrelc , w , gr c w gr c w gr 2 2= −( dl ) ( dl )fs rs fs re

riferito alla massa (divido per dm): = + +*dQ dL dU dEfs c , w , gr∆forma non differenziale in un intervallo: t = +∆ +∆*Q L U Efs c , w , grdm •= min forma di potenza (moltiplico per la portata): • • • •= +∆ +∆*Q L U m E mfs c , w , grdt

f∫+ = ∆ + ⋅*Q L U p dvvale inoltre la relazione (che non è stata dimostrata): w m if∫che, assieme al primo principio mi dà: = − ⋅ − ∆ −L p dv E Lfs c , w , gr w mi

I principio in forma locale (Euleriano)

Individuo un volume (di controllo) e guardo cosa vi succede nel tempo. Il sistema di riferimento è sul volume di controllo. Adatto a macchine di tipo compressori o turbine.

= + +*dq dl di ei c , w , gr

riferito alla massa (divido per m): = + +*dQ dL di dEi c , w , gr∆forma non differenziale in un intervallo: t dm •= min forma di potenza (moltiplico per la portata): • • • •= +∆ +∆*Q L i m E mi c , w , grdt

n m• • • •∑ ∑= + + − +*Q L m (i E ) m (i E )in generale per più bocche: i i uj jc , w , gr u c , w , gr ij j= =j 1 j 1

f∫+ = ∆ + ⋅*Q L i v dpvale inoltre la relazione (che non è stata dimostrata): w m if∫che, assieme al primo principio mi dà: = − ⋅ − ∆ −L v dp E Li c , w , gr w mi

Dimostrazione primo principio in forma locale

M M1 2dm dm Dimostrazione primo1 1 principio in forma locale: dm dm2 2dm dmNel mio volume di controllo entra una massa ed esce una massa.1 2= =dm dm M MSe il moto fosse stazionario avrei anche che1 2 1 2+ = +M dm M dmIn un caso generale la massa nel volume di controllo è.1 1 2 2= + ∆ + ∆*q l u eScrivo il primo principio in forma sostanziale: fs c , w , gr

Per ricavare il lavoro consideriamo tutte le superfici in movimento sulle quali fare lavoro: = + +dl l dt dl dlfs i a au idove = = =dl F dx p A dx p v dma 1 1 1 1 1 1 1 11 = = =dl F dx p A dx p v dma 2 2 2 2 2 2 2 22sono i lavori delle due masse infinitesime  =è lavoro meccanico che so che c’è l dtiquindi si ottiene: = + +dl l dt p v dm p v dmfs i 1 1 1 2 2 2

Per ricavare il calore si riutilizza la medesima espressione: =dq q dt

Per ricavare l’entalpia lo stesso processo: = +u M u dm ut 1 1 1 11 = +u M u dm ut 2 2 2 22 = + + + + + +Complessivamente si ottiene: qdt l dt p v dm p v dm M u dm u M u dm u i 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2= + ∆ + ∆ ⋅q dt l dt ( pv ) dm u dm i = +i ( pv ) usapendo che l’entalpia si definisce come si ottiene: = + ∆ ⋅qdt l dt i dm i= + ∆ ⋅q dt l dt i dm iq l = + ∆= + ∆ q l i=>ii im m 

Entalpia e energia interna

∆ = − ∆ = −U c (T T ) i c (T T )v f i p f iRelazioni utili: T∫λ λ = == + − =* *R pQ dv c dT c c R = *pv R Tv v p vv v cT =p∫ λλ = − = − k*= + R v =mQ dv c dT costpvpp p p cv−k 1 p k c c f (il “k=1,4” si usa solo per ricavare e, per il resto uso “m” se non è isentropica)=T T   p vf i p 1 =L 0(Si suppongono le trasformazioni isentropiche Δs = 0; e termini di energia nulli ΔE )c,w,grw

Si ha (da usare quando ho calore non nullo):  −m 11 1 ff    −− −  f f f 1m 1 m 1   p p  m m m p− m1 m 1 m m∫ ∫ ∫     ⋅ = = = ⋅ = ⋅ =i iv dp v dp v dp v p p v p p p v p  m m      m m i i i i i i i i i− − − p p m 1 m 1 m 1 p           ii i i i i −m 1 pm m m   − −m  m 1 m 1( ) ( )β β f= − = − = −v p 1 v p 1 RT 1  m m    i i i i i− − −   m 1 p m 1 m 1  i 

[ ]m m ff f f f     v v 1 1 f∫ ∫ ∫ ∫ −m m m 1− − −⋅ = = = = ⋅ = ⋅ =m 1 m 1 m   i ip dv p dv p dv p v v dv p v v v p v v i i i i i i i i i− − iv v 1 m 1 mii i i i  −m 1f   − −1 m 1 m     v p1 v 1 1 1  −m m 1  ( )β        f f= = − = − = −v p v p 1 v p 1 v p 1      m  i i i i i i i i− − − −  1 m v 1 m v 1 m p 1 m           i i i  i

 −m 1   p Tm m m m − mm 1  ( )β  − = − = − = −f fv p 1 RT 1 RT 1 R (T T )  m   i i i i f i− − − − m 1 m 1 p m 1 T m 1   i i  

Lavori di compressione\espansione

Tp p2p 2 p2 T 12 2 '2 2T is 2 '2 is1p ism1 kL Tc pol L1 c1v sc = =p= kisentropic a ( L 0 ) : pv cos tk −k 1 w=c R c=>v p ≠ =k mpolitropic a ( L 0 ) : pv cos t= −R c c wp v= − + ∆ + ∆Q L i E =>c c , w , gr

−k 1   − −m 1 k 1 1( ) β β= ∆ = − = − = −L i c T T c T 1 RT 1   ηm k yc p 2 1 p 1 c 1 c   ck −k 1  −( ) k 1β= − = −L c T T RT 1  è il lav. isentropico.kc p 2 1 1 cisis  k2 m  −2 m 1∫ β= + = − + = +∫ L