Fondamenti di Automatica e controlli automatici

Risposta di sistemi lineari (tempo continuo)

_Ẋ(t) = A_x(t) + B_u(t) equazione di aggiornamento dello stato

y(t) = C_x(t) + D_u(t) equazione di uscita

t ∈ R

A ∈ R^n⨉n matrice dinamica

x(t) ∈ Rⁿ

B ∈ R^n⨉p matrice di ingresso

u(t) ∈ R^p

C ∈ R^q⨉n matrice di uscita

y(t) ∈ R^q

D ∈ R^q⨉p legame diretto ingresso-uscita

Data una condizione iniziale fissata x_o ed un segnale di ingresso noto u(t) per tutti i tempi t > 0, x(t) è la soluzione sia dell'equazione di aggiornamento dello stato sia le condizioni iniziali è detta risposta nello stato

X(0) = X_o. (C.i.)

Fissato u(t), t > 0

x(t) soddisfa ẋ(t) e y(t)

x(t) → è detta risposta nello stato

x(t) = ψ(t, X_o, u(.))

u(.) = u segnale noto che bisogna conoscere tutti i valori di u(.) nell'intervallo t ≥ 0

Mettendo x(t) nell'equazione di uscita si ottiene la risposta in uscita y(t)

y(t) = η(t, X_o, u(.)) risposta in uscita

Proprietà - sovrapposizione degli effetti

Fissiamo:

X_a all'ingresso u₁(.) e dalla c. iniziale X(0)

X_b all'ingresso u₀(.) dalla c.i. X_b = X(0)

∀ α, β ∈ R le funzioni X(t) = αX_a(t) + βX_b(t) è la detta risposta nello stato all'ingresso u(.) = αu₁(.) + βu₁(.) dalla c X(0) = αX_t + βX

Affinché valga tale proprietà è necessario che i pesi α+β siano esattamente ad ulteriore rispetto le altre componenti X_{x b}, z_l q₁

Risposta di sistemi lineari

Ẋ(t) = A x(t) + B u(t) equazione di aggiornamento dello stato

y(t) = C x(t) + D u(t) equazione di uscita

t ∈ R

x(t) ∈ Rⁿ

u(t) ∈ R^p

y(t) ∈ R^q

A ∈ R^n×n matrice dinamica

B ∈ R^n×p matrice di ingresso

C ∈ R^q×n matrice di uscita

D ∈ R^q×p diagramma di blocco ingresso-uscita

Dato uno stato iniziale fissato x_o ed un ingresso noto per tutti i tempi t ≥ 0, la x(t) che soddisfa sia l'eq. dell'aggiornamento dello stato che le condizioni iniziali è detta risposta nello stato

x(0) = x_o. (c.i.)

Fissato u(t), t ≥ 0

x(t) soddisfa ẋ(t) e y(t)

x(t) → è detto risposta nello stato

X(t) = ψ(t, x_o, u(∙))

u(∙) = dato significa che bisogna conoscere tutti i valori di u nell’intervallo t ≥ 0

Mettendo x(t) nell’equazione di uscita si ottiene la risposta in uscita ŷ(t)

y(t) = η(t, x_o, u(∙)) risposta in uscita

Proprietà - sovrapposizione degli effetti

Lavoriamo: X_a all’ingresso u₁(∙) e dalla c.i. x(0);

X_b all’ingresso u₀(∙) dalla c.i. X_o = X(0)

∀ α, β ∈ R le funzioni X(∙) = α X_a(∙) + β X_b(∙) è la nostra risposta nello stato all’ingresso α u₁(∙) + β u₁(∙) dalla c

X(∙) = α X_* + β K

Affinché valga tale proprietà è necessario che i pesi α + β siano sottostanti allo stesso ingresso le due componenti x_a e x_b e u_u

Attenzione

Attenzione!

Sia () la risposta all'ingresso (∙). C.I. ⇒ ^+̅()= ̅

X() la risposta all'ingresso (∙). da C.I. ⇒ ^-̅()= ̅

Non è vero questo segnale

∀ ⁺()=( ) ()( )= la risposta all'ingresso

∊( ) ()−( ) () delle c.i.: ⁺(χ)= ⁺

Esegui il vettore equivalente si vede nella prima componente i vett nella seconda

Ciò potrebbe essere vero solo se ()=

Risposta libera del sistema

Risposta libera del sistema (delle sole iniziali x_o)

X()= Φ( )

Y_e()= ( _o)

Fine evento degli effetti di una condizione iniziale x_o

Risposta forzata

Risposta forzata (all'ingresso ())

X()= Φ( ι_o, ())

Y()= ( ι_o, ())

Assume che il sistema parta da condizioni iniziali null= ⃢∊ è applicato l'ingresso Usando la sovrapposizione degli effetti di mostra che:

()= Φ( _o, ⃢(.))= ()+ ()= =(.)=