Fondamenti di Automatica - Analisi

2° parte analisi

Principio di sovrapposizione degli effetti

ẋ Ax(t Bu( t) sistema dinamico lineare invariante a tempo continuo(t) = )+ix k 1) Ax Bu sistema dinamico lineare invariante a tempo discreto( + = (k )+ (k )

L'effetto combinato di più cause è pari alla somma degli effetti prodotti dalle singole cause, quindi avviene la decomposizione della soluzione in due soluzioni particolari: una che dipende esclusivamente dalle condizioni iniziali e l'altra che dipende dal solo andamento della variabile indipendente.

Teorema: evoluzione libera e risposta forzata

Dato un sistema dinamico lineare invariante a tempo continuo/discreto si chiama evoluzione libera x o x u la soluzione corrispondente al caso in cui la variabile indipendente sia(t) (k ) (t ) l l x o x k nulla e lo stato iniziale x(0) sia quello assegnato. Si chiama risposta forzata la(t ) ( ) f f soluzione corrispondente al caso in cui lo stato iniziale x(0) sia nullo e la variabile indipendente u(t) abbia l'andamento assegnato.

x x x(t) = (t)+ (t) l f

x k x x( ) = (k )+ (k ) l f

Sistemi dinamici lineari invarianti a tempo continuo

Calcolo dell'evoluzione libera

•  Ha almeno un autovalore reale λ i x v v, autovettore relativo all'autovalore=c λ0 i i i i soluzione evoluzione libera:

tλ x t) x e( = il 00

Se soluzione convergente (all'aumentare di t la soluzione tende a zero ad λ <i una velocità esponenziale )0

Se soluzione divergente λ >i

Se soluzione costante λ =0i

•  Ha tutti autovalori reali e distinti

x può stare ovunque0

Gli autovettori associati agli autovalori sono n e tutti linearmente indipendenti tra di loro e formano una base n-dimensionale del sottospazio.

n∑x c v=0 i i1

La soluzione è data dalla somma delle soluzioni associate a queste condizioni:

n∑ tλx c v e= it i i1

x(t), quindi, è la combinazione lineare dei modi naturali. 1

L'inverso degli autovalori reali negativi con il segno cambiato prende il τ =−i λ itλ nome di costante di tempo del modo naturale e vi i

•  Autovalori complessi e distinti

vα±iβ ±iva bad una coppia di autovalori complessi coniugati è associata una coppia di autovettori complessi coniugati.

x v c v=c +0 a a b b

In questo caso l' evoluzione libera sarà:

tα [ ]x sen t+ cos(ω t+(t)=me (ω φ )v + φ )vl a b

√ 2 2m= c ccon ,ossia il modulo+a b

{{ cc aa arctan se csen ≥0φ = bcm

φ= φ= bc cb acos arctan se c 0φ = + π <bm c b0

Se la traiettoria è una spirale che va all'infinito α> 0

Se la traiettoria è una spirale che va a zero α<

Se la traiettoria è circolare costante α=0

Un'evoluzione libera che si origina nell'auto-spazio generato dai vettori parte reale e parte immaginaria dell'autovettore complesso, resta confinata in tale sottospazio per ogni t, tale auto-spazio è detto sottospazio invariante per la dinamica del sistema.10

Se si definisce una costante di tempo che rappresenta la τ =−α< k λ k costante di tempo della legge temporale relativa all'inviluppo dell'ampiezza della sinusoide.

L'espressione generale dell'evoluzione libera sarà:

μ νt tλ α∑ ∑ [ ]x c v e me sen t+ v cos( t+(t)= + (ω φ ) + ω φ )vil i i a b1 1

μ ν∑ ∑x c v v c v= + (c + )0 i i ka ka kb kbi k=1 =1 k k

∞ A t∑At Esponenziale di matrice : e := k!k =0

Calcolo della risposta forzata

• La risposta forzata è per definizione:

t A(t−∫ τ)e Bu( τ)d τ0

Nel caso in cui la variabile indipendente assuma valori costanti u(t)=u(costante):

t∫ A Aφ φe Bd u , e evoluzione libera con xφ =t −τφ (0)=B0

Allora dopo aver calcolato gli autovalori e gli autovettori sappiamo che:

1. Se vale: λ ≠0i

t 1∫ λ φ λte d φ = (e −1)α0

1. Se vale: λ =0i

t∫ d φ =t0

Sistemi dinamici lineari invarianti a tempo discreto

Calcolo dell'evoluzione libera

•  Ha almeno un autovalore reale λ i x v v, autovettore corrispondente al autovalore=c λ0 i i i i allora l'evoluzione libera è:

ikx v(k )=c λl i i

•  Ha tutti autovalori reali e distinti

x si può scrivere come combinazione lineare degli autovettori:0

n∑x c v=0 i i1

E la soluzione sarà:

n∑ ik v, e rispettivamente gli autovalori e gli autovettori di Ax c v(k )= λ λ il i i ii=1

{ {convergente 1 0 alternanteλ ∣< λ <∣ i ik (grafici sul quaderno)

v divergente 1λ = 0 non alternanteλ ∣> λ >∣i i i i

Costante costanteλ ∣=1 λ =0∣ i i

L'inverso del logaritmo naturale del modulo degli autovalori in modulo minori1 dell'unità e con il segno cambiato prende il nome di costante di χ =−i ln ∣λ ∣ik contrazione del modo naturale vλ i i

•  Autovalori complessi e distinti

vα±iβ ±iva bx v c v=c +0 a a b b

L' evoluzione libe