Concetti Chiave
- La pallina ruota attorno a un asse verticale mantenuta da un filo di lunghezza L, formando un angolo θ.
- L'accelerazione centripeta ac è espressa come ac = ω²r, dove r è la distanza dall'asse di rotazione.
- La tensione T si compone di due forze: ma_c e mg, formando un triangolo rettangolo con i cateti.
- Utilizzando le proprietà dei triangoli rettangoli, si ottiene la relazione r = L sin θ.
- La formula finale per la velocità angolare è ω(θ) = √(g/(L cos θ)), collegando θ a ω.
Una pallina di massa
[math]m[/math]
ruota attorno ad un asse verticale con velocità angolare [math]\omega[/math]
costante trattenuta da un filo inestensibile di lunghezza [math]L[/math]
. Sia [math]\theta[/math]
l'angolo evidenziato in figura. Trovare la relazione
[math]\omega(\theta)[/math]
che lega l'angolo [math]\theta[/math]
alla velocità angolare [math]\omega[/math]
.
Chiamiamo
[math]a_c[/math]
l'accelerazione centripeta. Uno dei tanti modi di esprimere l'accelerazione centripeta è questo [math]a_c=\omega^2r[/math]
(1). Nel nostro caso [math]r[/math]
è la distanza tra la palla e l'asse di rotazione.
La tensione
[math]T[/math]
si compone di due forze: [math]ma_c[/math]
e [math]mg[/math]
, ovvero i cateti del triangolo rettangolo avente [math]T[/math]
(i tre vettori formano un triangolo rettangolo). Per un noto teorema dei triangoli rettangoli, vale [math]ma_c=mg \cdot \tan \theta \implies a_c=g \cdot \tan \theta[/math]
(2)
Per un altro teorema riguardante i triangoli rettangoli, vale
[math]r=L \sin \theta[/math]
(3)
Sostituendo (3) e (2) nella (1) ottengo
[math]g \cdot \tan \theta=\omega^2L\sin \theta[/math]
da cui, sapendo che [math]\sin \theta/(\tan \theta)=\ cos \theta[/math]
e isolando [math]omega^2[/math]
a secondo membro ho, dopo due conti, [math]\omega(\theta)=\sqrt{g/(L\cos \theta)}[/math]
FINE
Domande da interrogazione
- Qual è la relazione tra l'angolo [math]\theta[/math] e la velocità angolare [math]\omega[/math] per una pallina che ruota attorno a un asse verticale?
- Come si esprime l'accelerazione centripeta [math]a_c[/math] in questo contesto?
- Qual è la relazione tra la distanza [math]r[/math] e l'angolo [math]\theta[/math]?
La relazione è data dalla formula [math]\omega(\theta)=\sqrt{g/(L\cos \theta)}[/math], che si ottiene sostituendo le espressioni per l'accelerazione centripeta e la distanza dal centro di rotazione.
L'accelerazione centripeta è espressa come [math]a_c=g \cdot \tan \theta[/math], dove [math]g[/math] è l'accelerazione di gravità e [math]\theta[/math] è l'angolo formato dalla pallina con la verticale.
La distanza [math]r[/math] dalla pallina all'asse di rotazione è data da [math]r=L \sin \theta[/math], dove [math]L[/math] è la lunghezza del filo che tiene la pallina.
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