Fisica Medica - Appunti

Moto rettilineo uniforme

• Traiettoria rettilinea
• Velocità v costante
• Δs/Δt = v

La legge oraria indica la dipendenza dello spazio dal tempo e non ha nulla a che vedere con la traiettoria. La pendenza della curva nel grafico indica la velocità.

Se il moto è rettilineo uniforme, la curva è una retta con pendenza costante.

Se il moto non è uniforme c’è invece una pendenza variabile e in due istanti successivi A e B, la retta congiungente è la velocità media Δs/Δt, mentre la tangente alla curva è la velocità istantanea.

Δs/Δt → ds/dt. È la derivata prima dello spazio rispetto al tempo.

v_ist = lim Δs/Δt = ds/dt, Δt→0

Accelerazione

Δv/Δt = a_media

a_ist = lim Δv/Δt = dv(t)/dt = d²s(t)/dt², Δt→0

Moto armonico

È un moto che avviene lungo un asse (monodimensionale) con velocità variabile in intensità e verso.

C’è un’accelerazione legata alla posizione del punto dall’equazione:

a(t) = −ω²x(t)

• ω = pulsazione del moto
• T = 2π/ω = periodo
• ν = ω/2π = frequenza

Un’equazione che lega derivate diverse della stessa funzione è detta equazione differenziale.

La soluzione dell’equazione è:

x(t) = x₀ cos(ωt + φ)

Derivata prima:

v(t) = −x₀ω sin(ωt + φ)

Derivata seconda:

a(t) = −x₀ω² cos(ωt + φ) = −ω²x

Condizioni al contorno (iniziali)

• φ = fase iniziale, indica di quanto l’osservazione è traslata rispetto a quella standard (che inizia a t = 0)
• x₀ = ampiezza (estensione del moto)

x = x(t = 0) = A cos(0 + φ) = A cos φ = x₀

v = v(t = 0) = −Aω sin(0 + φ) = −Aω sin φ = v₀

a = a(t = 0) = −x₀ω² = a₀

Dimensioni e unità di misura S.I.

• ω [t⁻¹] Hz (sec⁻¹)
• T [t] sec
• ν [t⁻¹] Hz (sec⁻¹)
• A [l] m
• φ adimensionale

Derivate temporali di vettori

x: posizione

ẋ: velocità

ẍ: accelerazione

Se il moto avviene non lungo una linea ma nello spazio si usano il vettore spostamento e il vettore posizione.

Esempio: Moto rettilineo uniforme in direzione e_x

s(t) = 25t i, verso dell'asse x

v(t) = ds(t)/dt = d25t i/dt = 25i

Moto in due dimensioni

• r di modulo r(t)
• θ di direzione e verso dati dall’apertura θ(t)
• Di componenti x(t) e y(t)

È dato dalle equazioni del moto circolare uniforme:

• r(t) rimane costante, cambia θ(t)
• θ(t) è lineare in t, quindi θ(t) = ωt (si percorrono archi uguali in tempi uguali)
• s(t) = rθ

In generale se ω non è costante:

• Velocità angolare ω = dθ/dt = ω(t) (rad/sec)

x(t) = r cos θ(t)

y(t) = r sin θ(t)

r(t) = [r cos θ(t)]i + [r sin θ(t)]j

θ(t) = ωt

r(t) = (r cos ωt)i + (r sin ωt)j

Rappresenta l’equazione oraria del moto circolare uniforme ed è costante.

v(t) = dr(t)/dt = (−rω sin ωt)i + (rω cos ωt)j

Velocità lungo la circonferenza:

v(t) = v_x(t)i + v_y(t)j

v(t) = √[(-rω sin ωt)² + (rω cos ωt)²] = rω

Il modulo della velocità è costante e non dipende da t.

Calcolo quanto vale la proiezione di v lungo il vettore r, per identificare la direzione di v istante per istante.

r · v = [(r cos ωt)i + (r sin ωt)j] · [(-rω sin ωt)i + (rω cos ωt)j] =

[(r cos ωt)i · (-rω sin ωt)i] + [(r sin ωt)j · (-rω sin ωt)i] + [(r cos ωt)i · (rω cos ωt)j] + [(r sin ωt)j · (rω cos ωt)j] =

= −r²ω cos ωt sin ωt + r²ω sin ωt cos ωt = 0

La velocità è ortogonale al raggio e tangente alla traiettoria.

a(t) = dv(t)/dt = −ω²r(t)

Accelerazione centripeta con modulo costante, direzione di r e verso opposto a r.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

• Traiettoria rettilinea
• Accelerazione costante

a(t) = dv(t)/dt

∫v(t) = ∫a dt = at + k

v(t = 0) = v₀ = k

v(t) = at + v₀

v(t) = dx(t)/dt

s(t) = ∫v(t)dt = ∫(at + v₀)dt = 1/2 at² + v₀t + k'

x(t = 0) = x₀ = k'

x(t) = 1/2 at² + v₀t + x₀

Caduta dei gravi

Accelerazione di gravità: g = 9,8 m/s²

Il vettore g è diretto lungo la verticale e rivolto verso il basso.

Cade da fermo

• t = 0
• z = 0
• v₀ = 0

Posizione a t = 1, 2, 3?

Velocità a t = 1, 2, 3?

Tempo prima che raggiunga il suolo?

z(t) = 1/2 gt²

v(t) = gt

z_fin = 49 = 1/2 gt_fin²

t_fin = (98/9,8)^1/2 = 10 s

Inizialmente viene lanciato verso l’alto

• t = 0
• z = 0
• v₀ = −19,6 m/s

t_zmax?

z_max?

t_fin?

z(t) = z₀ + v₀t + 1/2 gt²

v(t) = v₀ + gt

z(t) = 0 − 19,6t + 4,9t²

v(t) = −19,6 + 9,8t

Al culmine v = 0: t_zmax = 19,6/9,8 = 2 s

z_max = z(t_zmax) = −19,6 · 2 + 4,9 · 2² = −19,6 m

Al suolo z = 49: 49 = 0 − 19,6t + 4,9t²

t² − 4t − 10 = 0

t = 1/2 (4 ± √56) = 5,742 s

Lanciato con una velocità iniziale v₀

v₀ = v_0x i

Il moto lungo x non ha accelerazione:

x(t) = v_0xt

Il moto lungo z ha un’accelerazione g:

z(t) = 1/2 gt²

s(t) = x(t)i + z(t)k

Il vettore posizione (legge oraria) è:

s(t) = v_0xt i + 1/2 gt²k

Per trovare la traiettoria z(x), si ricava t da una delle due equazioni e la si sostituisce nell’altra:

z(x) = 1/2 g(x/v_0x)² = gx²/2v_0x²

La traiettoria è parabolica.

Il vettore velocità è:

v = ds/dt = v_0xi + gtk

Il vettore accelerazione è:

a = dv/dt = gk

Grave lanciato con velocità iniziale v₀

v₀ = v_0xi + v_0zk = v₀ cos θ i + v₀ sin θ k

x(t) = v_0xt = v₀ cos θ t

z(t) = v_0zt − 1/2 gt² = v₀ sin θ t − 1/2 gt²

D = gittata: la posizione in x in cui il grave tocca il suolo. Dipende da θ e dalla velocità iniziale. È massima a 45°.

x = v₀ cos θ t

z = v₀ sin θ · x/(v₀ cos θ) − 1/2 gx²/(v₀² cos² θ)

z = x tan θ − gx²/2v₀² cos² θ

z = 0, x = 0:

0 = x tan θ − gx²/2v₀² cos² θ

x = 2v₀² sin θ cos θ/g = v₀² sin 2θ/g

Dinamica

Un’interazione provoca una variazione dello stato di moto: varia il vettore velocità.

L’accelerazione è l’osservabile cinematica che fa desumere che ci sia stata un’interazione e quindi una forza.

Forza ↔ Accelerazione

Le tre leggi della dinamica sono:

1. Principio d’inerzia

Un corpo non soggetto a forze permane nel suo stato di quiete o moto rettilineo uniforme.

Se ci sono più forze agenti è determinante la risultante R.

La condizione di equilibrio traslazione di corpi inizialmente fermi è R = 0.

La velocità non è alterata in intensità, direzione o verso.

2. Legge di Newton

Un corpo soggetto a una forza accelera proporzionalmente all’intensità della forza nella direzione e nel verso della forza.

F = ma

Se ci sono più forze, la risultante non deve essere nulla e l’osservabile è l’accelerazione. Si ottiene un’equazione vettoriale:

F_x = m · a_x

F_y = m · a_y

F_z = m · a_z

La m si chiama massa inerziale ed indica l’inerzia di un corpo a dare una risposta cinematica ad una sollecitazione dinamica.

La massa inerziale è legata alla quantità di materia.

3. Principio di azione-reazione

Se un corpo A esercita una forza F_AB su di un corpo B, allora B esercita su A una forza F_BA uguale e contraria.

F_AB = −F_BA

Dimensione della forza: [F] = [m l t⁻²]

Unità di misura S.I.: 1 N = 1 Kg · 1 m/s²

Una forza di 1 N è quella che imprime a una massa di 1 Kg un’accelerazione di 1 m/s² nella direzione e nel verso della forza.

Una forza si può misurare in modo non cinematico con un dinamometro.

Equilibrio

• Stabile: se a seguito dello spostamento del sistema dalle condizioni di equilibrio insorgono forze spontanee che lo riportano nelle condizioni precedenti (es: B)
• Instabile: se uno spostamento provoca una forza non bilanciata che allontana il sistema dalla configurazione iniziale (es: C)
• Indifferente: se non insorge nessuna forza in seguito allo spostamento (es: A)

Forza peso

È la forza esercitata dalla Terra su un grave in sua prossimità. Si tratta di una forza a distanza, non occorre contatto fra il grave e la Terra.

P = mg

g è la stessa per tutti i corpi ed è costante su tutta la Terra. Ha direzione verticale ed è orientato verso il basso.

È un caso particolare della forza gravitazionale. A parità di m, la forza peso dipende dal pianeta.

In assenza di altre forze provoca un’accelerazione costante (un moto rettilineo uniformemente accelerato).

Forza normale

È una forza spontanea a contatto a cui è soggetto un corpo quando è appoggiato ad un altro. Ha direzione perpendicolare alla superficie di contatto. Non è un principio di azione/reazione perché le forze sono applicate allo stesso corpo.

• Oggetto fermo su un piano orizzontale:

ΣR = F = ma

P + N = 0

N = −P = mg

La reazione alla normale che il corpo esercita sul tavolo è una forza normale che il tavolo esercita sul corpo, mentre la reazione alla forza peso è la forza che il corpo esercita sulla Terra ed è uguale al peso della Terra rispetto al corpo.

• Oggetto su un piano inclinato:

P_// = P sin α

P_⊥ = P cos α

La componente perpendicolare è controbilanciata dalla forza normale.

La componente parallela invece in assenza di attrito non viene controbilanciata ed è una forza viva che genera il moto della massa m con accelerazione parallela al piano.

a_// = P_///m = g sin α

Tensione

Un filo è sottoposto a tensione quando viene stirato. La tensione è diretta come il filo e agisce in entrambe le direzioni. È possibile esercitare solo trazioni.

Forza di attrito

La forza di attrito ha un aspetto dissipativo ed un aspetto funzionale. Dipende dal numero di difetti che si creano tra lo strato monomolecolare delle due superfici a contatto.

Si risale alla presenza di attrito da una misura di a:

Se F ≠ ma, F₁ + F₂ = ma, allora esiste F_a.

• Per scivolamento: F_a

Finché il regime è statico, la forza di attrito si regola spontaneamente in modo da controbilanciare la forza applicata.

R = 0, a = 0, F = F_a

Oltre il limite di scivolamento:

R ≠ 0, a ≠ 0

La forza di attrito al limite di scivolamento è proporzionale alla forza normale.

F_{AS max} = μ_sN

μ_s è il coefficiente di attrito statico.

F_AK = μ_kN

μ_k è il coefficiente di attrito dinamico.

μ_e e μ_s sono coefficienti sperimentali e adimensionali.

Al massimo F_A = N, perché μ ≤ 1.

Piano inclinato

• P_// = P sin α
• P_⊥ = P cos α

P_// dipende dall’angolo, quindi è possibile entrare o uscire dal regime statico diminuendo o aumentando l’inclinazione.

L’inclinazione minima è quella in cui P_// + F_A = 0, e siccome F_A = F_{AS max} = μ_sN:

P_// = μ_sP_⊥

P sin α = μ_sP cos α

μ_s = tan α

Esistono dispositivi lubrificanti per ridurre μ (come il liquido sinoviale nelle articolazioni).

Attrito aerodinamico

La forza di attrito agisce con verso opposto alla velocità.

Nel caso di velocità elevate, dipende dal quadrato della velocità.

A = area della sezione trasversa del corpo

C = coefficiente di penetrazione, profilo aerodinamico (dipende dalla forma dell’oggetto).

Se un corpo suscita meno turbolenze nel fluido, esso subisce meno attrito.

Velocità limite: ho un grave che cade in un fluido subendo attrito. Man mano il corpo cade soggetto a g, la sua velocità cambia perché cambia t.

t = 0

t = t

t = t

Oltre la velocità limite il moto diventa rettilineo uniforme.

D_lim = P

1/2 CρAv_lim² = mg

Forza centripeta

Qualunque forza in grado di trattenere un corpo su una traiettoria circolare.

Forza centrifuga

È una forza apparente, data dall’assenza di forza centripeta.

Forza elastica

Ho una molla in moto in una dimensione (regime lineare).

Se si aumenta di un tratto x la lunghezza della molla rispetto alla lunghezza di riposo L, interviene una forza di richiamo non costante proporzionale all’elongazione.

F_el = −kx

x = scostamento

k = costante elastica

Unità di misura di k: N/m

• Se k è bassa la molla è molto deformabile
• Se k è alta la molla è poco deformabile

Moto generato dalla forza elastica:

F_el(t) = −k x(t)

F(t) = ma(t)

−k x(t) = ma(t)

−k/m è una costante positiva (k > 0, m > 0) e la chiamo ω²

a(t) = −ω²x(t) Moto armonico

ω è la pulsazione naturale data dal bilancio fra quanto è elastica la molla e quanta massa ha il corpo, dipende dal rapporto fra quanto è un sistema è responsivo e quanto è inerte.

Forza di gravità

È una forza a distanza determinata dall’interazione tra due corpi dotati di massa gravitazionale.

È il versore dell’asse 12 (la congiungente di 1 e 2).

Il segno negativo è determinato dal fatto che la forza è attrattiva e quindi è rivolta in senso opposto al versore 12.

G = 6,67 · 10⁻¹¹ N m² kg⁻² Costante di gravitazione universale

Vale il principio di sovrapposizione.

Gravità terrestre: Ho un corpo di massa gravitazionale m_g che interagisce con la Terra, di massa gravitazionale M_T.

Campo gravitazionale: è un campo di forze inespresse pronto ad esprimersi nel caso in cui una seconda massa entra nel campo. Origina dalla presenza di una massa, che copre lo spazio geometrico con un campo di forze in potenza.

Confronto con F = ma:

• Se m = m_g

In prossimità della Terra il raggio è quello della Terra.

r_min < r < r_max ci sono circa 8000 m tra mare e Everest, su R_terra ≍ 6300 km la massima variazione percentuale è di r ≍ 1‰, quindi di r ≍ 2‰.

Lavoro meccanico

Ho un punto materiale soggetto contemporaneamente a una forza e uno spostamento.

• Forza costante: (forza peso)

Il punto di applicazione di F subisce uno spostamento s.

Il lavoro meccanico è determinato dalla componente di F nella direzione di s.

Il lavoro p