Problem solving e ottimizzazione: esperienze didattiche nel contesto scolastico

“Sapienza” Università degli Studi di Roma

A.A. 2007-2008

Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali

Tesi di laurea specialistica

in Didattica e Storia della Matematica

Esperienze didattiche

su problemi di ottimizzazione

Laureanda Relatore

Maria Cristina Migliucci Prof. Eugenio Montefusco

A mia madre

I miei traguardi sono i suoi

Il mio grazie a tutti coloro che ho avuto la fortuna di incontrare sulla mia strada, ognuno dei quali mi ha arricchito ed ha contribuito a formare e a realizzare la persona che oggi sono.

Grazie al Prof. Montefusco per la disponibilità, la pazienza e la fiducia che mi ha accordato.

Grazie alla Prof.ssa Tovena, che occupa un posto privilegiato nel mio cuore, per aver sempre gratificato il mio impegno e per avermi educato ai criteri di un lavoro accurato ed autonomo.

Grazie alla Prof.ssa Marinelli e alla Prof.ssa Sopranzi che, con il loro esempio e con la loro professionalità, hanno rafforzato la mia scelta verso la scuola.

Grazie alle mie colleghe, nuove preziose amiche, che hanno reso indimenticabile il mio primo anno di insegnamento supportandomi con un gratuito, serrato, severo tutoraggio.

Grazie ai miei amici di sempre che, da sempre, condividono con me il bello e il brutto, le gioie e le ansie.

Un grazie speciale a tutta la mia famiglia, unica sotto molti aspetti, perché, pilastro nella mia vita, mi regala amore costante, discreto, paziente e generoso.

Grazie a nonna Dolores, per me amica, confidente, consigliera, complice, sostegno, guida, ma soprattutto grande esempio di donna, di madre e di nonna.

Il mio grazie più profondo è per mio fratello Paolo, più piccolo ma anche più grande di me, che ben conosce e sopporta i miei difetti e a cui non sempre so dire il mio immenso amore e la mia profonda ammirazione.

Non da ultimo, grazie a mia madre, per tutto.

Indice

Presentazione

Introduzione 1

1. Il problema isoperimetrico 10

1.1 La disuguaglianza isoperimetrica nel piano 11

2. Disuguaglianze che implicano la disuguaglianza isoperimetrica 19

2.1 La disuguaglianza di Tolomeo 22

2.2 La disuguaglianza di Brahmagupta 26

3. Cenni di teoria geometrica della misura 31

3.1 Basi di teoria della misura 31

3.2 La misura di Hausdorff 38

3.3 Teoremi di ricoprimento 42

3.4 La misura di Lebesgue 43

3.5 Curve e continuità 44

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4. Alcuni problemi di massimo e minimo 58

4.1 Il problema di Didone 58

4.2 Il problema del quadrato opaco 60

5. Il test nelle scuole 66

5.1 Conclusioni 70

Appendice 72

Bibliografia 77

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Presentazione

Presentazione

Scopo di questa tesi è quello di presentare alcuni problemi dalla ricca storia e dall’immediata ed importante applicazione in ambito didattico.

L’origine del problema isoperimetrico è persa all’inizio della storia della matematica. Sappiamo che gli antichi greci cercavano proprietà isoperimetriche per il cerchio e la sfera. La teoria moderna delle superfici minime rappresenta una classe di problemi molto più ampia; si cerca infatti di trovare quelle superfici, dette ipersuperfici, che minimizzano l’area della superficie stessa rispetto ad una qualche proprietà. Grazie agli sviluppi, nel secolo scorso, della teoria geometrica della misura, abbiamo risultati di esistenza e di regolarità per la maggior parte dei problemi “naturali” isoperimetrici.

Nel primo capitolo si definisce il classico problema isoperimetrico in uno spazio euclideo e si danno alcuni argomenti elementari per la sua risoluzione in un piano euclideo. In particolare si fornisce una recente dimostrazione della disuguaglianza isoperimetrica, la quale non include però una vera e propria caratterizzazione dell’uguaglianza.

Successivamente si prova la disuguaglianza isoperimetrica usando le serie di Fourier.

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Presentazione

Nel secondo capitolo, si cerca di risolvere il problema isoperimetrico per i quadrilateri nel piano con quattro lati assegnati senza ricorrere all’utilizzo della disuguaglianza isoperimetrica dimostrata nel primo capitolo. Si giungono così a dimostrare la disuguaglianza di Tolomeo e la disuguaglianza di Brahmagupta e la proprietà del massimo per i quadrilateri in entrambi i casi.

Nel terzo capitolo si definisce la misura di Hausdorff e si scorrono le sue proprietà basilari. Ci si interessa poi particolarmente di insiemi di dimensione s, gli insiemi: insiemi di dimensione finita di Hausdorff s diversa da zero. Si caratterizzano poi gli insiemi come sottoinsiemi di unioni numerabili di curve o superfici rettificabili presentando così una teoria degli insiemi misurabili linearmente, cioè degli insiemi in .



2

1

In ultimo si dimostra il risultato di Blaschke (teorema 3.18), che rappresenta una delle basi per la dimostrazione dell’esistenza di una curva di massima misura con specifiche proprietà.

Nel quarto capitolo si propone poi la soluzione di due problemi di ottimizzazione: il classico problema di Didone, dimostrato con un approccio puramente geometrico attraverso la “manovra di Steiner”, ed il problema di Fred Almgren, più noto come il problema del quadrato opaco, la cui dimostrazione si basa appunto sul teorema di selezione di Blaschke.

Nel quinto capitolo, infine, si riportano i dati raccolti in alcune scuole di istruzione secondaria superiore presso le quali è stato proposto un questionario riportante alcuni problemi di ottimizzazione.

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Introduzione

Introduzione

Il primo problema di massimo nella storia si deve ad un’antica leggenda narrata anche nel I Libro dell’Eneide. Nel lontano 800 a.C. Elissa o Elisa (a noi nota come Didone, l’errante), principessa di origine fenicia, dopo la morte del marito Sicheo, fugge per mare insieme alla sorella e a pochi fedeli finché approda sulle coste africane. Lì chiede al re della Libia, Iarba, un pezzo di terra su cui fondare una città. Il re, folgorato dalla bellezza di Didone, non vuole dare ai fuggiaschi né asilo né terre ove stabilirsi, a meno che lei non acconsenta a sposarlo.

La donna rifiuta e ottiene da Iarba tanta terra “taurino quantum possent circumdare tergo” (“quanta una pelle di bue ne potesse circondare”, Eneide I, 367-368). Didone accetta la sfida e riesce ad occupare la terra necessaria per fondare Cartagine: chiede un paio di forbici, taglia in strisce sottilissime la pelle, le annoda e con il filo ottenuto recinta un bel pezzo di terreno a forma di semicerchio. Il problema di Didone è noto come problema isoperimetrico: fra tutte le curve piane di ugual perimetro qual è quella che racchiude la massima area? I Greci avevano capito che la soluzione era rappresentata dalla

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Introduzione

circonferenza (semicirconferenza nel caso di Didone), ma non ne possedevano una dimostrazione.

La soluzione geometrica rigorosa occupò i matematici per secoli. Vari tentativi di varia efficacia furono fatti da Archimede, Zenodoro, Pappo e poi in tempi più recenti da Eulero, Galileo, Legendre, L’Huilier, Riccati, Simpson, e, tra il 1838 e il 1841, Steiner fino a Hilbert.

Al di là del problema isoperimetrico, le questioni di massimo e di minimo hanno sempre avuto un grande valore nell’interpretazione dei fenomeni naturali, in relazione al principio aristotelico secondo cui la natura sceglie sempre la via più facile: nulla accade nell’universo che non faccia capo a qualche criterio di massimo o di minimo.

Il primo problema di massimo esplicitamente formulato è contenuto negli Elementi di Euclide, matematico alessandrino vissuto nel III secolo a.C.

Euclide, raccogliendo tutto il patrimonio di sapere costruito dagli studiosi che lo precedettero, offre, con la sua monumentale opera, il primo esempio di trattato scientifico per il metodo rigorosamente deduttivo usato. Negli Elementi, libro V prop. 27, Euclide scrive: “Di tutti i parallelogrammi applicati alla stessa retta (costruiti su una parte di retta) e deficienti (dal parallelogramma costruito sull’intera retta) di figure

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Introduzione

parallelogrammatiche simili e similmente situate rispetto al parallelogramma descritto sulla metà della retta, ha area maggiore quel parallelogramma che è applicato a metà della retta e che è simile al difetto.”

In termini moderni potremmo enunciare la proposizione nella seguente forma geometricamente modificata: dato un triangolo, se da un punto del lato si tracciano le parallele ad AC, ad AB, l’area del parallelogramma

BC

ABC D

AC AEDF

ED FD AB

è massima quando D è il punto medio di BC.

Nel caso particolare che AB e AC e l’angolo BAC sia retto allora tra tutti i rettangoli di perimetro dato, il quadrato è quello di area massima. (Non è difficile mostrare che fra tutti i triangoli con due lati assegnati, quello rettangolo avente per cateti tali lati ha area massima).

Ma tra le questioni note ai Greci si possono ricordare i seguenti problemi isoperimetrici:

• Fra tutti i poligoni convessi di n lati e di dato perimetro quello regolare racchiude l’area massima;
• Fra tutte le superfici piane, il cui contorno ha una data lunghezza, il cerchio ha l’area massima (problema di Didone);
• Fra tutti i solidi di data superficie la sfera ha il massimo volume.

Tra coloro che si interessarono di tali questioni ricordiamo Zenodoro (II secolo a.C.) che confrontò le superfici dei poligoni con

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Introduzione

ugual perimetro e dimostrò che l’area maggiore è racchiusa dai poligoni con maggior numero di lati e, fra tutti, dal cerchio, raggiungendo un’analoga conclusione (senza dimostrazione) per la sfera. I suoi risultati ci vengono riportati da Pappo nell’opera “Collezioni matematiche” il cui Libro V è dedicato proprio ai problemi di isoperimetria.

Si hanno anche altri risultati quali:

• Fra tutti i triangoli di assegnato perimetro, con la stessa base, quello che ha area maggiore è il triangolo equilatero;
• Fra i poligoni, quelli con area maggiore sono le figure convesse, in particolare i poligoni regolari;
• Tutti i segmenti circolari limitati da un arco di data lunghezza il semicerchio ha l’area massima (ancora il problema di Didone).

Successivamente all’opera di Euclide troviamo in Grecia il lavoro di Apollonio (circa 262 a.C. - 190 a.C.). L’opera che meritò ad Apollonio il titolo di Grande Geometra è intitolata “Coniche”. Il Libro V dell’opera di Apollonio tratta il problema della determinazione delle rette di lunghezza massima e minima che da particolari punti possono essere condotte a una conica. I suoi teoremi sui massimi e minimi sono in realtà teoremi sulle tangenti e sulle normali alle sezioni coniche di fondamentale importanza in campi quali la meccanica celeste e la dinamica terrestre.

Nel I secolo d.C. Erone di Alessandria, interessato alle misure in ottica e in meccanica, trasse nella sua Catrottica un’importante

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Introduzione

conseguenza dalla legge della riflessione secondo cui un raggio di luce proveniente da un punto P e incidente su uno specchio piano L in un punto R viene riflesso nella direzione di un punto Q tale che PR e QR formano con L angoli uguali. Erone mostrò che fra tutti i cammini possibili per andare da P a Q passando per lo specchio il cammino più breve è quello per cui gli angoli di incidenza e riflessione sono uguali. Come a dire che la natura conosce bene la geometria e la sfrutta a suo vantaggio. Dal risultato di Erone si possono derivare altre proprietà in geometria elementare quali le proprietà tangenziali dell’ellisse e dell’iperbole. Dobbiamo attendere il XVII secolo per avere altri risultati interessanti; in quel periodo, infatti, Fermat dimostrò che anche la legge della rifrazione della luce può esser enunciata in termini di un principio di minimo.

La soluzione di problemi di massimo e minimo mediante metodi puramente geometrici, cioè senza basarsi sull’ormai nato calcolo delle variazioni, continuò ad essere oggetto di studio. Nel secolo successivo Cramer mostrò che fra tutti i 5 poligoni piani convessi aventi come lati n segmenti dati, ha area massima quello inscrivibile in un cerchio. A L’huilier, vissuto a cavallo tra il XVIII e il XIX secolo, si deve l’opera di raccolta e riordino di quanto si conosceva fino allora sui problemi degli isoperimetri nel piano e nello spazio. Il famoso studioso di geometria Jacob Steiner, operante a Berlino nella prima metà dell’800, trattò numerose questioni di massimo e minimo utilizzando modi diversi per

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Introduzione

stabilire le proprietà isoperimetriche del cerchio e della sfera dalle quali dedusse numerosi applicazioni.

Una tra le questioni (già nota a Caratheodory) mostrate da Steiner è la seguente: tre villaggi A, B, C devono essere congiunti da un sistema stradale di minima lunghezza totale. Matematicamente il problema si traduce nel cercare, nel piano in cui giacciono i punti dati, un punto P tale che sia minima la somma a + b + c delle distanze di P rispettivamente da A, B e C. Sulla scia della dimostrazione delle proprietà tangenziali dell’ellisse si può vedere che la soluzione al problema è la seguente: se nel triangolo ABC tutti gli angoli sono minori di 2π/3, P è il punto che proietta ciascuno dei tre lati AB; BC; AC, secondo un angolo di 2π/3. Se un angolo è maggiore o uguale a 2π/3, il punto P coincide con il vertice di tale angolo. L’opera di raccolta e perfezionamento di Steiner fu continuata da R. Sturm nel suo libro “Maxima und Minima in der elementaren Geometrie” del 1910. Il risultato di Steiner più famoso ottenuto per via sintetica è il teorema sugli isoperimetri, ovvero che tra tutte le figure piane di dato perimetro il cerchio è quello che racchiude l’area massima. I suoi metodi sintetici furono attaccati dal punto di vista analitico dai suoi contemporanei, primo tra tutti Dirichlet. Sfortunatamente, infatti, Steiner ipotizzava l’esistenza della curva massimizzante, mentre ciò che dimostrò è il fatto che se tale curva esiste allora è una circonferenza. La dimostrazione di

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Introduzione

una curva massimizzante creò non pochi problemi ai matematici negli anni successivi fino a quando Weierstrass fece ricorso al calcolo delle variazioni. Un altro risultato fondamentale si deve a Hermann Schwartz, matematico di Berlino, che trattò e dimostrò il seguente problema: dato un triangolo acutangolo ABC, iscrivere in esso un triangolo di perimetro minimo. Egli dimostrò che esiste un solo triangolo di questo tipo ed è quello avente i vertici ai piedi delle altezze del triangolo dato.

Nel 1884 Schwartz dimostrò la proprietà di isoperimetria della sfera nello spazio tridimensionale, cioè che tra tutti i solidi con la stessa superficie la sfera è quella che ha il volume maggiore. Nel 1958 poi Ennio De Giorgi mostrò, utilizzando la “teoria dei perimetri”, che vale la stessa proprietà in uno spazio di dimensione maggiore, e che quindi la sfera ha la stessa proprietà in qualsiasi dimensione.

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Il problema isoperimetrico

Capitolo 1

Il problema isoperimetrico

Dato un dominio limitato (intervallo aperto) sulla retta reale, la misura discreta della sua frontiera è due. Dato un qualche sottoinsieme limitato aperto della retta, la misura discreta della sua frontiera è 2 (vale l’uguaglianza se e solo se l’insieme è un intervallo). Questa è la disuguaglianza isoperimetrica sulla retta.

Nel piano abbiamo tre formulazioni equivalenti del medesimo problema:

1. Consideriamo tutti i domini limitati in ² con lunghezza del bordo fissata, (cioè, tutti i domini presi in considerazione sono isoperimetrici). Cerchiamo il dominio che contiene la massima area. La risposta naturalmente è il disco. Notiamo che il valore specifico del perimetro non ci interessa perché tutti i domini di perimetro L₁ sono mappati con una similarità di ² a tutti i domini di perimetro L₂ per alcuni dati valori L₁ e L₂, e l’immagine, sotto questa similarità, di un’area massima per L₁ è un’area massima per L₂.
2. Si insiste su un’area comune di tutti i domini limitati presi in considerazione e ci si chiede come minimizzare il perimetro.

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Il problema isoperimetrico

3) Infine, si esprime il problema con una disuguaglianza analitica.