Fondamenti di telecomunicazioni - Appunti

Quesito: Esprimere nel dominio delle frequenze la condizione necessaria e sufficiente perché una funzione X(t) assuma i valori riportati a fianco

X_m = X(mT) = X₀ m=00 m≠0

Soluzione

Calcoliamo la trasformata della serie {X_n}:

X_s(ω) = ∑_m=-∞^+∞ X_m e^-jωmT = X₀

Poiché:

X_s(ω) = ¹⁄_T ∑_k=-∞^+∞ X^(w+kω₀)

Allora:

¹⁄_T ∑_k=-∞^+∞ X(w+kω₀) = X₀

∑_k X(w+kω₀) = TX₀

In questo caso ω₀ = ^2π⁄_T, poiché X_m = X(mT) quindi:

∑_k=-∞^+∞ X^{(w+k2π⁄_T)} = X₀T

Per l'unicità della trasformata questo rappresenta condizione necessaria e sufficiente.

Quesito: Esprimere nel dominio delle frequenze la condizione necessaria e sufficiente perché una funzione X(t) assuma i valori riportati a fianco

X_m = X(mT) = {x₀ m = 00 m ≠ 0}

Soluzione

Calcoliamo la trasformata della serie {X_m}:

X_s(ω) = ∑_m=-∞^+∞ X_m e^-jmωT = x₀

Poiché:

X_s(ω) = 1/T ∑_k=-∞^+∞ X_{(ω + kω0)}

Allora:

1/T ∑_k=-∞^+∞ X(ω + kω₀) = x₀

∑_k X(ω + kω₀) = T*X₀

In questo caso ω₀ = 2π/T poiché X_m = X(mT) quindi:

∑_k X_{(ω + k ^2π/T)} = x₀T

Per l'unicità della trasformata questo rappresenta condizione necessaria e sufficiente.

Quesito: Calcolare lo spettro di un segnale PAM con codice ΔMI, cifre binarie prima della codifica equiprobabili, impulsi rettangolari di ampiezza unitaria con duty cycle 0,5

Soluzione

Poiché il segnale in esame, da ora S(t), ha valor medio nullo abbiamo solo lo spettro di potenza distribuito.

G_S(ω) = ¹/_T |G(ω)|² { + 2 Σ_k[-]²coskωT} = 0 = ¹/₂

G_S(ω) = ¹/_T |G(ω)|² {¹/₂ - 0 + 2 [¹/₄ - 0] cosωt }= ¹/_T |G(ω)|² (¹/₂ - ¹/₂ cosωT) = ¹/_1T |G(ω)|² sen² ωT/2

|G(ω)|² = ?

G(ω) = ∫ g(t)e^-jωtdt= ¹/_T/4∫ e^-jωtdt= I/₂ sen ωT/⁴/_ωT/⁴

|G(ω)|² = ¹/₄(^{sin ωT/4}/_ωT/4)²

Spettro potenza distribuito:

G_S(ω) = ¹/_πT²/₄(^{sin ωT/4}/_ωT/4) sen²ωT/2

Riferito alle frequenze:

G_f(f) = 2πG(2πif) ; T = ¹/_Bs= ¹/_2Bs sinc^f/_2Bs sen² πf/_Bs

Quesito: Calcolare lo spettro di un segnale PAM con codice ΔMI, cifre binarie prima della codifica equiprobabili, impulsi rettangolari di ampiezza unitaria con duty cycle 0,5

Soluzione

Poiché il segnale in esame, da ora S(t), ha valor medio nullo abbiamo solo lo spettro di potenza distribuito.

G_S(ω) = ¹⁄_T |G(ω)|² {< c_n² > - < c_m² > + 2 ∑_k [< c_nc_m+k > - <c_n >²] cos kω T}

<c_m > = 0

<c_m² > = ¹⁄₂

G_S(ω) = ¹⁄_T |G(ω)|² {¹⁄₂ - 0 + 2 [¹⁄₄ - 0] cosω T}= ¹⁄_T |G(ω)|² (¹⁄₂ + ¹⁄₂ cosω T) = ¹⁄_T |G(ω)|² sen²(ωT/₂)

|G(ω)|² di?

G(ω) = ∫ g(t) e^-jωt dt= ¹⁄₂ ∫ e^-jωt dt= ¹⁄₂ sen(ωT/₄) / (ωT/₄)

|G(ω)|² = ¹⁄₄ (sin ωT/₄ / ωT/₄)²

Spettro potenza distribuito:

G_S(ω) = ¹⁄_.T^T₄ (sin ωT/₄ / ωT/₄)² sen² ωT/₂

Riferito alle frequenze:

G_f(f) = 2π G(2πf) ; T = ¹⁄_Bs= ¹⁄_2Bs sinc²(f/_2Bs) sen²(πf/_Bs)

Quesito: PAM: Definizione e calcolo dei 2 spettri

Soluzione

Il segnale PAM è una successione di impulsi modulati in ampiezza (Pulse Amplitude Modulation).

Dati:

• {a_n} una serie temporale a potenza finita
• g(t) funzione a energia finita

Il segnale PAM è dato da:

S(t) = Σ_m=0^+∞ a_m c_m g(t - mT) = {a_m} ∗ g(t)

Calcolo dei 2 spettri:

Spettro di potenza:

G_s(ω) = _[()]/ dove ()= è la funzione di autocorrelazione.

Ricordando la definizione di convoluzione si può scrivere la funzione di autocorrelazione come:

()={c_r} ∗ Φ() con c_n =

Quindi:

_[()]/ = ₁/ {Φ()} ∗ {c_n}= ₁/ [()]Γ^∞[c_n² + a_m² + Σ_{∞ ↔}[a_m² + a_n²]]

Tale spettro distribuito si sovrappone allo spettro a righe della componente periodica.

A_m = 2C_m dove C_m=

Quesito: Definire la funzione impulsiva e calcolarne la trasformata secondo Fourier

Soluzione

Impulso di ampiezza A e durata ν:

χ(t) = { A -_ν/₂ < x < +_ν/₂ 0 x< -_ν/₂ v x> +_ν/₂

Trasformata secondo Fourier:

Χ(w) = ∫_-∞^+∞ χ(t) e^-jwt dt= A ∫_-ν/2^+ν/2 e^-jwt dt= Aν ^{SIN wν/2}/_wν/2

Spettri:

Ampiezza → V(w) = |Χ(w)|/_ν = ^Aν/_ν|SIN wν/2|/_wν/2

Fase → Ψ(w) = { 0  x(w)>0 π  x(w)<0

Quesito: Descrivere e rappresentare con schemi a blocchi commentati il processo di conversione D/A per la ricostruzione del segnale originario

Soluzione

Per maggior chiarezza schematizzo la conversione A/D:

x(t) → {x_n} campionamento → {q_n} quantizzazione → {b₁ ... b_m} codificazione

Dato in ingresso un segnale PAM a cifre binarie detta anche successione di parole di codice:

{b_m¹ ... b_m^M} → decodificatore → {q_m}

Ottengo {q_m} serie dei valori campionati e quantizzati, anche questo è un segnale PAM.

→ filtro passa-basso → equalizzatore → segnale originale

Segnale ricostruito albero di una costante.

Rimozione della suddetta costante.

Segnale originale a meno della perdita di informazioni data dalla quantizzazione.

Quesito: Dimostrare e descrivere il teorema del campionamento nel dominio dei tempi

Soluzione

Premesse:

• f_o = frequenza di campionamento
• f_m = massima frequenza a cui è rappresentabile lo spettro di X
• w_m = massima pulsazione a cui è apprezzabile lo spettro di X(t)

Teorema

Se f_o > 2f_m

Allora la conoscenza dei valori campionati individua in maniera univoca la funzione originaria X(t).

Dimostrazione

In virtù di: X_s(w) = ¹/_T ΣX(w+ko) la conoscenza dei valori campionati equivale a quella della ripetizione periodica della trasformata X(w) di X(t) con periodo w_o = ^2π/_T.

Considerando |X(w)| e la sua ripetizione periodica possiamo notare che qualora i termini |X(w+ko)| occupino bande distinte è possibile risalire da X_s(w) a X(w).

La separazione avviene quando:

ω_m < ω_o - ω_m ⇒ ω_o > 2 ω_m

Ovvero, riferito al dominio delle frequenze:

f_o > 2 f_m

In altri termini:

Quando la frequenza di campionamento è maggiore del doppio della massima frequenza di x(t) la conoscenza dei valori campionati individua in maniera univoca la funzione originaria.

Quesito: Descrivere i 3 passi della conversione A/D e il segnale numerico ottenuto

Soluzione

1. Campionamento (x(t) → {x_m})
2. Frequenza di campionamento
3. f_o > 2f_m per evitare l'aliasing
4. Campionamento
5. {x_m} / x_m = x(mT)   T = 1/f_o
6. Quantizzazione in L valori
7. q_m = { -M < x_m < 2M - M0 - 2M/L < x < 0 + 2M/Lx > M - 2M/L}
8. Codificazione dei valori campionati
9. I valori vengono codificati in parole di m bit dove m ≥ log₂ L
10. La serie binaria così ottenuta verrà utilizzata per generare un segnale PCM

Quesito: Definire la risposta impulsiva di una rete lineare e dimostrare il legame con la funzione di trasferimento di una rete lineare

Soluzione

Risposta impulsiva di una rete lineare:

h(t) = lim_Δ→0 Y(t)

Dato x(t) = ∫_-∞^∞ x(ξ) δ(t-ξ) dξ come ingresso.

La risposta di Q è:

Y(t) = ∫_-∞^∞ x(ξ) h(t-ξ) dξ = x(t) * h(t)

Legame con la funzione di trasferimento:

Passiamo al dominio delle frequenze:

&Fscr;{Y(t)} = H(ω) &Fscr;{D(t,Δ)}

Passiamo al limite per Δ → 0

&Fscr;{Y(t)} → &Fscr;{h(t)} &rbrace; → H(ω) = &Fscr;{h(t)}

&Fscr;{D(t,Δ)} → 1

Quesito: 100'000 flussi di 30 pacchetti/minuto. Pacchetto nel sistema meno di 4 ms con probabilità 0,95

1. Pacchetti al secondo per la linea di uscita?
2. Dimensione RM di uscita tale che la perdita abbia probabilità minore di 10^-6.

Soluzione

1. λ = ³⁰/₆₀ * 100'000 = 50'000 pac/s

1 - e^-(μ-λ)t ≥ 0,95

e^-(μ-λ) _t ≤ 0,05

μ - λ > 3=> μ ≥ ³/_t + λ = ³/_0,001 + 50'000 = 53'000

2. A_o = ^λ/_μ = ^50'000/_53'000 ≈ 0,944

P(k + 1) = ^{(1 - A_o)(A_o)k+1}/_{1 - Ao^k+2} < 10^-6

^{≤ 6,06(0,944)k+1}/_{1 - 0,944^k+2} < 10^-6

K = 175 => 1,12 ⋅ 10^-6

K = 177 => 9,88 ⋅ 10^-7

Calcolare e disegnare gli spettri di ampiezza e di fase di un impulso rettangolare di ampiezza 4 e durata τ

Laboratorio di: discreta temporalità aperiodica.

Trasformata:

X(ω) = ∫_-∞^+∞ χ(t)e^-jωt = ∫_-τ/2^τ/2 e^-jωt dt = Aτ sen ω τ/2

Calcolo degli spettri:

V(ω) = |X(ω)|/π = Aτ/π |sen ω τ/2|/ω τ/2

ψ(ω) = {0 x(ω) > 0 π x(ω) < 0}

Quesito: Il protocollo Aloha: Ricavare l'espressione del throughput normalizzato in funzione del traffico totale normalizzato

Soluzione

Siano:

• b = Lunghezza in bit di ogni pacchetto
• λ = Frequenza dei pacchetti trasmessi con successo
• λ_R = Frequenza pacchetti ritrasmessi
• λ_T = λ + λ_R
• ρ = bλ = Throughput
• G = bλ_T = Traffico totale
• R = Capacità canale bit/s

Allora si possono definire:

Throughput normalizzato = ρ = bλ/RT

Traffico totale normalizzato = G = bλ_T/RT = b/R = Tempo di trasmissione di un pacchetto

Ho successo se nessun altro trasmette nei T secondi prima e dopo di me, fenomeno approssimabile con Poisson:

P_S = e^-λ_T2T

Inoltre P_S = λ/λ_T per definizione:

{P_S = e^-λ_T2T

P_S = λ/λ_T ⇒ λ = λ_T e^-λ_T2T

Tλ = Tλ_T e^-λ_T2T

ρ = λT ; G = Tλ_T

ρ = G e^-2G

Protocollo CSMA/CD: Ricavare l'espressione del throughput S in funzione del parametro α

Definiti:

• N₀ = numero di stazioni
• P_t = probabilità di trasmissione
• 1/2α = intervallo di trasmissione
• ω = intervallo di contesa
• A = probabilità di successo di una trasmissione

Si ha:

A = N₀P_t(1-P_t)^(N-1) ma con P_t = 1/N₀ A = (1 - 1/N)^N0-1

Calcoliamo la lunghezza media dell'intervallo di contesa:

E[ω] = ∑_i=0^∞i · (1-A)ⁱ·A = (1-A)/A

L'utilizzazione massima è data da:

S = ^1/2α⁄_{1/2α + (1-A)/A} = ¹⁄_{1 + 2α (1-A)/A} = [1 + 2α (1-A)/A]^-1

Ricavare e disegnare gli spettri di ampiezza e fase di una oscillazione modulata a prodotto

Sia S(t) oscillazione modulata S(t) = X(t) • V₀(t)

Dove:

X(t) = ∫ V(ω) cos[ωt - φ(ω)] dω (segnale modulante)

V₀(t) = cos(ω₀t) (oscillazione portante)

Siano V(ω) e φ(ω) gli spettri di X′(t)

| | V(ω) | \ \ ω_i ω_m ω | | _)φ(ω) ‾‾‾‾‾‾ ω_i ω_m ω

Ricordando: cos α • cos β = 1/2 cos(α+β) + 1/2 cos(α-β) si ha:

S(t) = cos ω₀ t ∫ V(ω) cos [ωt - φ(ω)] dω= 1/2 ∫ V(ω) cos[(ω₀ + ω)t - φ(ω)] dω + 1/2 ∫ V(ω)cos[(ω₀ - ω)t - φ(ω)]dω_ωi

50 terminali che inviano 60 pacc/min di dimensione media 64 bytes con tempo minore di 10 millisecondi con probabilità 0,95

Si determini la minima velocità in Kbit/secondo per la linea di uscita.

λ = 50 . 1 _pacc/sec = 50 _pacc/s

F(x) = 1 - e^-(μ-λ)t = 1 - e^{-(μ-50).0,01} ≤ 1 - 0,95

e^{-(μ-50).0,01} ≤ 0,05

[ln(0,05) = -3]

(μ-50).0,01 ≥ 3

μ ≥ ³⁄_0,01+50 = 350 _pacc/s

V = 350 _pacc/s . 64 _bytes/pacc = 22′400 _bytes/s

22′400 . 8 ^bit⁄_s = 179′200 ^bit⁄_s = 179,2 Kbit/s