Esercizi Probabilità

Esempio introduttivo al calcolo combinatorio

In un ristorante il menu prevede 4 antipasti e 2 primi...

In quanti modi posso ordinare il pranzo? 4 . 2 = 8

E se il menu prevede anche 3 piatti per secondo? 2 . 9 . 3 = 24

Principio fondamentale del calcolo combinatorio

Si effettua una sequenza ordinata di n scelte, ad esempio antipasto, primo, secondo, con m₁ possibilità per la 1^a scelta, m₂ per la 2^a scelta, ... m_n per la n^a scelta.

Allora vi sono m₁ . m₂ ... m_n di sequenze possibili...

Disposizioni

Esempio: quanti pin del cellulare se...? Sto facendo delle scelte...

10 10 10 10 = 10⁴

Ho m elementi (m = 10)

Ho da fare n scelte (n = 4)

Regola: ho mⁿ... o meglio mⁿ disposizioni

Disposizioni semplici

Quanti pin del cellulare esistono, senza poter ripetere la stessa cifra...?

10 9 8 7 = 10 . 9 . 8 . 7 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 / 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 10! / 6! = 10! / (10-4)!

Ho m elementi (m = 10) da sistemare

Ho n posti in cui essi... senza ripetizioni (n = 4)

Regola: ho m! / (m-n)! disposizioni semplici

Esempio introduttivo al calcolo combinatorio

In un ristorante il menu prevede 4 antipasti e 2 primi...

In quanti modi posso ordinare il pranzo? 4 . 2 = 8

E se il menu prevede anche 3 piatti per secondo? 2 . 9 . 3 = 24

Principio fondamentale del calcolo combinatorio

Se effettui una sequenza ordinata di n scelte, ad esempio antipasto, primo, secondo, con m₁ possibilità per la 1^a scelta, m₂ per la 2^a scelta, ... , m_n per la n^a scelta.

Allora avrai un n. di sequenze possibili uguale a m₁ . m₂ ... . m_n

Disposizioni

Esempio: quanti pin del cellulare se...? Sto facendo delle scelte

10 10 10 10 = 10⁴

Ho m elementi (m = 10)

Ho da fare n scelte (n = 4)

Regola: ho mⁿ = 10⁴ possibili sequenze o meglio mⁿ disposizioni

Disposizioni semplici

Quanti pin del cellulare esistono, senza poter ripetere la stessa cifra?

10 9 8 7 = 10 . 9 . 8 . 7 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 / 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = ^10!/_6! = ^10!/_(10-4)!

Ho m elementi (m = 10) da riusare

Ho n posti in cui inserire semplici ripetizioni (n = 4)

Regola: ho ^m!/_(m-n)! disposizioni semplici

Permutazioni

Quante possibili password posso scrivere usando le 5 vocali:

5 4 3 2 1 = 5!

Regola: se ho n elementi distinti, posso fare n! permutazioni

N.B. E se gli elementi non sono distinti?

Quanti anagrammi posso fare usando le lettere AAAAA BBCD?

Se fossero state lettere distinte avrei avuto 9! risposte. Però gli scambi delle lettere A tra loro o delle lettere B tra loro lasciano la parola uguale. Quindi avrei meno di 9! risposte, ovvero 9! / 5! 2!

Esercizio 1

Quante possibili password di 5 lettere posso scrivere usando le 21 lettere dell'alfabeto italiano:

21 21 21 21 21 --> con ripetizione

21 20 19 18 17 --> senza ripetizione

Esercizio 2

Quante possibili password di 5 lettere posso scrivere, sapendo che la 2^a e la 3^a lettera sono uguali e la 5^a non consonante:

21 21 21 21 16 --> = 21 21 21 21 16

La posizione 3^a è obbligata ad essere uguale alla 2^a

Esercizio 3

In quanti modi posso regalare 4 giocattoli a 7 bambini (ciascun bambino può ricevere più di un giocattolo)

Sono 4 le scelte da fare

Esercizio 4

Ho 6 libri (italiano, latino, greco, mate, fisica, chimica)

In quanti posso disporre questi libri in uno scaffale?

6! permutazioni

In quanti modi posso disporli mettendo a destra quelli umanistici e a sinistra quelli scientifici?

= 3! . 3!

In quanti modi posso disporli mettendo quelli scientifici, vicini tra di loro e quelli umanistici vicini tra loro?

3! . 3! . 2

Devo cambiare quando si scambiano tra di loro

Esercizio 5

Un bambino gioca con i lego. Egli ha 10 pezzi rossi, 5 gialli, 5 neri.

In quanti modi può metterli in fila?

20! totale

10! 5! 5! quelli che si ripetono

Formula di Stirling

N.B. Formula di Stirling

Se _n è grande, allora _n! ≈ √_2πn . √_nⁿ . e^-n

Ovvero lim⁡_{n→∞ n}! / √_2πn . _nⁿ . e^-n = 1

Nuovo problema

Se ho un insieme di n elementi distinti, quanti sono i possibili sottoinsiemi