Esercizi Idraulica T

Idraulica T - Esercizio 1 - Spinta su paratoia verticale (14/04/16)

Dati

δ = 7500 N/m³ → 7,5 kN/m³ - d₂ = 1 m L = 3 m - d₁ = 2 m

Rappresentare graficamente i diagrammi delle pressioni sulla parete verticale e sul fondo del serbatoio, determinare:

1. Il modulo della spinta esercitata sulla paratoia AB del fluido δ, ed il relativo centro di applicazione;
2. Il modulo della forza X applicata in B, tale da garantire l’equilibrio della paratoia.

a) Calcolo della spinta nella paratoia AB

S = ρ G · A = (δ · Y_G) · A = δ · (d₁ + _d2) (d₂ · L) = 7,5 · (2 + ¹⁄₂) · (1 · 3) = 56,25 kN

Calcolo del centro di applicazione della spinta S

Y_G = d₁ + _d2 = 2 + ¹⁄₂ = 2,5 m

A = d₂ · L = 1 · 3 = 3 m²

J_X0 = L · ^d₂3⁄₁₂ = ^{3 · 13}⁄₁₂ = ³⁄₁₂ = ¹⁄₄ = 0,25 m⁴

Y_C = Y_G + ^J_X0⁄_{YG · A} = 2,5 + ^0,25⁄_{2,5 · 3} = 2,53 m

Siccome si ha un andamento trapezoidale delle pressioni sulla paratoia è stato necessario calcolare l'affondamento del centro di applicazione della spinta e, come si può vedere, rispetto ad Y_G = 2,5 m risulta essere sempre poco più basso.

Invece con una distribuzione triangolare o rettangolare non occorre calcolare l'affondamento perché è già noto, ed è rispettivamente ²⁄₃ h e ^h⁄₂.

Idraulica T - Esercizio 1 - Spinta su paratoia verticale (14/04/16)

Dati

δ = 7500 N/m³ → 7,5 kN/m³ - d₂ = 1 m L = 3 m - d₁ = 2 m

Rappresentare graficamente i diagrammi delle pressioni nella parte verticale e nel fondo del serbatoio, determinare:

1. Il modulo della spinta esercitata sulla paratoia AB del fluido δ, ed il relativo centro di applicazione;
2. Il modulo della forza X applicata in B, tale da garantire l'equilibrio della paratoia.

a) Calcolo della spinta nella paratoia AB

S = ρg · A = (δ · Y_G · A = δ · (₁ + ₂)(d₂ · L) = 7,5 (2 + ¹/₂) · (1 · 3) = 56,25 kN

Calcolo del centro di applicazione della spinta S

Y_G = d₁ + ^d₂/₂ = 2 + ¹/₂ = 2,5 m

A = d₂ · L = 1 · 3 = 3 m²

J_Xo = L · ^d₂3/₁₂ = ^{3 · 13}/₁₂ = ¹/₄ = 0,25 m⁴

Y_C = Y_G + ^J_Xo/_{YG · A} = 2,5 + ^0,25/_{2,5 · 3} = 2,53 m

Siccome si è un andamento trapezoidale delle pressioni sulla paratoia è stato necessario calcolare l'affondamento del centro di applicazione della spinta e, come si può vedere, rispetto ad Y_G = 2,5 m risulta essere sempre poco più in basso.

Invece con una distribuzione triangolare o rettangolare non occorre calcolare l'affondamento perché è già noto, ed è rispettivamente ²/₃ h e ^h/₂.

b) Calcolo del modulo della forza X

Calcolo del modulo della forza X affinché le paretine incernierate in A siano in equilibrio.

Equilibrio alla rotazione: ΣM^(A) = 0 → ΣM^(A) = M^(A)(S) + M^(A)(X) = 0

M^(A)(S) = -S∙b_s = -S∙(Y_c-d₁) = -56,25∙(2,53-2) = -29,81 kNm

M^(A)(X) = X∙b_x = X∙d₂ = X∙1 = X kNm

Andando a sostituire:

M^(A)(S) + M^(A)(X) = 0 → -29,81 + X = 0 → X = 29,81 kNm

Nell'ipotesi in cui le forze X sia applicata nel baricentro della paretina AB, il suo modulo aumenta o cala?

Se X fosse applicata nel baricentro la forza deve essere più grande rispetto a quella determinata in corrispondenza della base della paretina, perché quando andiamo a scrivere l'equilibrio alla rotazione si ha un braccio diminuito e quindi: serve una spinta maggiore per tenere in equilibrio le paretine.

Più precisamente la forza raddoppia.

M^(A)(S) = -S∙b_s = -S∙(Y_c-d₁) = -56,25∙(2,53-2) = -29,81 kNm

M^(A)(X) = X∙b_x