Esercizi esame Analisi 3

Name: Esercizi esame Analisi 3
Rating: 4.5 (2 reviews)
Author: krislash93

Revisionato il 09/06/2026

di krislash93

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Questo file raccoglie esercizi d'esame (con tracce) ed esercizi vari di analisi 3 su Curve e forme differenziali lineari, Integrali doppi e tripli, Superfici, Formule di Gauss-Green, Teorema …

Esame Analisi 3

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Gaudiello Antonio

Università Università degli Studi di Cassino e del Lazio Meridionale

A.A. 2016-2017

65 pagine

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Esercizi di analisi

Esercizio 1

Passando alle coordinate polari, calcolare

F = { (x,y): x₁ ≤ x ≤ x₂, 0 ≤ y ≤ x }

x > 0 ∬ arccos (x)^-1 dxdy

∬₀^π/2∫₀¹[arccos (ε^-1(ρ))] ρdθ = ∬₀^π/2∫₀¹[arccos (ε)] ρdθ∬₀^ε[t]¹ arc (cos θ) dρ

∫₀^t arccos[t](arccos)[arccos](t) - dt ∫ arccos(t) + ∫ arccos(t) - (forest) dt / − arccos (t) dtt² − ∫ x ds_A

LPL _x² =_B² = ¹⁄₂ arccos(t) = ¹⁄₂ arccos²(cos θ)

∫₀^1/2 arccos(cos θ)² dρ∫₀^1/2 [arccos²(cos θ) − arccos(cos θ)] dρ_π² : ∫₀⁰ [π² − 0] dp∫₁⁰ ^π² ¹⁄₂ (0 - 4) = ^π² / ₄

Esercizio 2

Esercizio in coordinate polari: calcolare ⁴∫₃ ³∫₂ arccos ^x/_√x²+y² dx dy

∫⁴∫₃ arccos (cos θ) pdφdρ∫⁴∫₃ arccos (cos θ) pdρdφ∫⁴∫₃ arccos (cos θ) cos θ dφ dφφ

^{φ_e - φ_i = ∫∫_φdφ}φ = arccos (cos θ)dφ = frac^-1/_√1-cosθ^2 dscos θ = t-arcsin θ = dtarccos (t) arccos (t) + frac^-1/_√1-t² dtx² - y² dy ds

∫¹⁵∫₂₀ = x²/2 - x² /frac₁² arccos (t) = 1/2 arccos² (cos θ)

1/2 ∫∫arccos³(cos θ) 1/2
^∫ ∫ 1/2 arccos²(cos θ) - arccos¹(cos θ) + dρ&frac1/2 ∫ρ² dρ&frac1/2 ∫y^-1 /2(2/4)

Esercizio 3

Utilizzando la formula di inversione calcolare

D= {(x,y) ∈ ℜ² : |x| ≤ 1 ; 1 + x ≤ y ≤ 2 }

D₁ = {(x,y) ∈ ℜ² : -1 ≤ x ≤ 0 ; 1 - x ≤ y ≤ 2 }

D₂ = {(x,y) ∈ ℜ² : 0 ≤ x ≤ 1 ; 1 + x ≤ y ≤ 2 }

∫_-1⁰ ∫_-x^2-y+1 dy) dx + ∫₀¹ ∫_1+x^2-y+1 (dy) dx = - ∫_-1⁰ ( ∫_1-x^t e^t dt) dx + ∫₀¹ ( ∫_t^e e^t dt ) dx

∫_-1⁰ (e^2-x+4 - 1) dx + ∫₀¹ [ 1/2 (e^2-1) ] dx ∫₀¹ (1/3 3^-2x ) dx + 1/2 ( 3^-3 )

∫₀¹ (1/3⁵) dx e² - 2e ∫_log(9)¹ (1/3 + 1/2 3^-5) dx + 1/log(9) [ ( 1/3 - 3^-2x ) + 1/2 (3⁵ - 1) - log(9) ] e²5

5 ⁵ 1 5 ⁵ 1 5 ⁵ 1(x )^a (x )^a (x )^a 5 ⁵ 1 5 ⁵ 1(x )^a (5 ⁵ 1)5 ⁵ 2 1 (x )^a (5 ⁵ 1)

Altro modo

ω = -e^-xsen(y) dx - e^-xcos(y) dy

∫ e^-xsen(y)f(x)-∫(-e^-xcos(y))lussoli

Chiude

Denitiva∮F = ∫e^-xsen(y) dx ➔dy ∮FyF(y) = -sen(y)dy-sen(y) e^-x + C₁(y) e^-x-cos(y) e^-x + C₁(y) = -e^-xcos(y)C₁(y) = COSTANTEF = -sen(y) e^-x + CF

π2 = -sen(y)e^-0 + C = 2-e + C = 2 ➔ C = 2 + ey = √(2 sin(x))

Can x ∈ [0, π] attorno all'asse-x

∫₀^π (π [y(x)]²) dx = 2π ∫₀^π/2 sin(x) dx l_{f = 2} df_{g = sin(x)} dφ_g = 1 φ' = -cos(x)

∫₀^π 2 tan(x) dx = 2 [-x

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