Water Resources Engineering - Idrologia e propagazione delle correnti superficiali

Water settore: ICAR/02 resources engineering

Teoria ed esercitazioni Matlab

UNIMORE Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Filippo Ribes

Appunti scritti da Filippo Ribes

Gli appunti sono stati scritti sulla base delle lezioni svolte dal Professor Stefano Orlandini e delle sue dispense.

Per dubbi, chiarimenti o altro, mi trovi su Instagram: ig: NoteWave_RF fig: fil_ribes

Teoria

Introduzione all’idrologia

Idrologia e ciclo idrologico: L'idrologia è la scienza che descrive quantitativamente il ciclo idrologico. Il ciclo dell'acqua è composto da diversi processi (possiamo iniziare da qualsiasi punto del ciclo). Partiamo dalla precipitazione, che è il flusso d'acqua dall'atmosfera alla superficie terrestre ("land surface"). Questo può essere in forma solida (neve, grandine) oppure in forma liquida (pioggia).

Quando questa precipitazione interagisce con la superficie terrestre, abbiamo un partizionamento dell'acqua in:

• Deflusso superficiale ("surface runoff"), che è la quantità di precipitazione che fluisce sopra la superficie terrestre. Lo possiamo avere quando c'è acqua in eccesso proveniente dalle precipitazioni che non riesce ad infiltrarsi totalmente nel terreno, per cui rimane in superficie;
• Infiltrazione ("infiltration"), che è l'acqua che dalla superficie terrestre si infiltra nel suolo, verso il sistema di acque sotterranee, fluendo nel sotto-superficie ("subsurface").

Nell’immagine sottostante viene mostrato il ciclo idrologico in termini quantitativi in scala globale. Figura 1 - Ciclo idrologico in scala globale

Bacino idrografico e capillarità

Il bacino idrografico ("hydrographic basin") è il terreno che raccoglie le acque che transitano attraverso il corso d'acqua nella sezione considerata. Quando tra i grani di sabbia sono presenti acqua e aria, l'acqua nella sabbia è a una pressione inferiore rispetto a quella atmosferica, quindi l'acqua è in tensione e c'è capillarità. Il salto di pressione lungo l'interfaccia acqua – aria è spiegato dalla legge di Laplace.

Quando dobbiamo spiegare l'idraulica di un dominio di suolo insaturo ("unsaturated soil domain"), è essenziale la spiegazione di diversi fenomeni, come l'infiltrazione, l'exfiltrazione, etc... che vedremo in seguito.

Probabilità di accadimento e tempo di ritorno

La pericolosità di un evento alluvionale può essere stimata in base all’opera in esame, alla probabilità annuale che l’evento si verifichi e alla sua ricorrenza media:

\[ \frac{1}{T} = P \]

dove:

• P: probabilità annuale di accadimento di un evento;
• T: periodo di ritorno (o ricorrenza media).

Se abbiamo, ad esempio, un evento centennale per una determinata opera (ovvero \[ T = 100 \]), allora avremo probabilità del 1 % di vederlo ogni anno. Va però specificato che non è per forza detto che l’evento si verifichi per forza una volta ogni 100 anni, poiché NON possiamo prevedere quando avverrà: è probabile che un evento di questo tipo si verifichi 10 volte in 1000 anni, ma potrebbero verificarsi anche tutti e 10 nello stesso secolo.

Curva costi/benefici

Il valore ottimale (detto optimum) per una buona protezione è \( T = 200 \). Per capirne il motivo, consideriamo i due casi seguenti:

• Si progetta l'area per un periodo di ritorno basso (sotto i 200 anni): i costi saranno bassi, ma l’opera sarà maggiormente esposta ai danni;
• Si progetta l’area per un periodo di ritorno alto: i costi saranno alti, ma l’opera sarà più protetta e, quindi, meno esposta ai danni.

Si capisce come allora vadano considerate due curve: una curva legata ai costi ed una curva legata ai danni. L'analisi costi benefici definisce la funzione del costo totale (in blu in figura 2), che ha un minimo e questo minimo corrisponde a un periodo di ritorno di \( T = 200 \), che minimizza quindi i costi pur mantenendo un buon livello di protezione. Figura 2 - Curva costi - benefici

Equazione del bilancio di massa

Consideriamo un sistema qualsiasi e distinguiamo:

• ciò che entra nel sistema ("inflow");
• ciò che esce dal sistema ("release discharge");
• volume immagazzinato.

Allora, la relazione che lega queste grandezze è l’Equazione del Bilancio di Massa ("Mass Balance Equation") in forma globale:

\[ \Delta S = I - O \]

Se come sistema consideriamo l’atmosfera, allora avremo che l’evaporazione equivarrà a \(E\) e la precipitazione equivarrà a \(P\), ottenendo: \[ E - P = \Delta S = 0 \]. Ponendo \(\Delta S = 0\), si ottiene la seguente relazione:

Dunque, se il volume dell’acqua atmosferica è pari a 12’900 km³ mentre il volume di precipitazione è 450’000 + 119’000 = 577’000 km³ (somma rispettivamente fra il volume di precipitazione dall’oceano e dal continente), possiamo calcolare il tempo massimo in cui le goccioline d’acqua ("droplets") rimangono in atmosfera prima di precipitare al suolo:

Per questo motivo, possiamo fare previsioni meteo accurate al massimo per 8 giorni.

Bilancio idrico a scala regionale

Dalla figura 3 seguente, definiamo:

• E_surf: evaporation from the surface;
• E_g: evaporation from the groundwater;
• T_surf: transpiration from the surface;
• T_g: transpiration from the groundwater;
• I: infiltration;
• G_in: groundwater inflow;
• G_out: groundwater outflow;
• S_in: stream inflow (portata in ingresso);
• S_out: stream outflow (portata in uscita);
• G_s: groundwater to stream (è l’acqua sotterranea che va in superficie).

Figura 3 - Componenti del ciclo idrologico di un sistema aperto

Allora, possiamo scrivere i due seguenti bilanci:

\[ \Delta S = (E_{surf} + E_{g} + T_{surf} + T_{g} + S_{in}) - (G_{in} + G_{out} + S_{out} + G_{s}) \]

che sommati ci danno il Bilancio Globale di un sistema aperto:

\[ \Delta S_{global} = (E + T) - (G_{in} + G_{out} + S_{out} + G_{s}) \]

Radiazione netta

Dal sole arriva sulla terra una potenza di circa 1’000 Watt. La radiazione netta è ciò che arriva dal sole (in termini di radiazioni lunghe o corte) a cui viene sottratto ciò che viene riflesso (ovvero ciò che è disponibile al suolo). Se abbiamo un terreno privo di acqua, tutti i 1’000 Watt vengono spesi per il "flusso di calore sensibile" (ovvero per il riscaldamento dell’ambiente); se invece abbiamo un terreno con dell’acqua, una parte di questi 1’000 Watt viene spesa per il flusso di calore sensibile ed una per il "flusso di calore latente" (ovvero per il passaggio di stato da liquido ad aeriforme) (il termine "latente" significa che l’energia solare viene impiegata per il cambiamento di stato ma NON per il riscaldamento dell’ambiente).

Definiamo quindi:

• Flusso totale netto = flusso di calore sensibile + flusso di calore latente;
• Flusso di calore sensibile: riscalda l’ambiente;
• Flusso di calore latente: produce evaporazione o traspirazione SENZA RISCALDARE L’AMBIENTE.

Evaporazione

Evaporazione: L'evaporazione è il processo per il quale l'acqua liquida cambia forma e si trasferisce nell'atmosfera sotto forma di vapore d'acqua. Per descrivere questo processo dobbiamo iniziare con un bilancio energetico. Il processo avviene grazie al Sole che, grazie alla sua energia, permette un energy flux (\(Q\)), che è il flusso energetico a onda corta (nel senso che la temperatura del corpo emettitore è molto alta, e la relazione tra le onde emesse dal corpo e la sua temperatura è del tipo: \(\lambda = 1\)). Dal Sole non proviene solo un flusso importante per l'idrologia, ma anche per la vita del Pianeta.

Il calore emesso dal Sole produce un aumento della temperatura di tutto ciò che è presente sul pianeta, compresa l'atmosfera. Questa è influenzata quindi dal calore del sole e, in virtù della sua temperatura, questa emette a sua volta delle radiazioni a onda lunga (\(\lambda\)). Quindi abbiamo radiazioni solari in arrivo sia da parte del sole che da parte dell'atmosfera, quindi due radiazioni incidenti (\(Q_{sun} + Q_{atm}\)), e quando queste due radiazioni vengono intercettate dalla superficie terrestre abbiamo un riflesso di radiazioni a onda corta (\(Q_{short}\)) e a onda lunga (\(Q_{long}\)), quindi due radiazioni riflesse. In questo bilancio semplificato possiamo poi riconoscere altri termini, come:

• \(Q_{emit}\): radiazione emessa dalla superficie terrestre in virtù della propria temperatura;
• \(Q_{store}\): radiazione dell'energia solare che è immagazzinata nel sistema terrestre;
• \(Q_{latent}\): flusso di calore latente ("LATENT HEAT FLUX"), è dovuto al processo di evaporazione o traspirazione ed è l’energia impiegata per favorire il passaggio di stato da liquido a vapore dell’acqua ("latente" perché viene impiegata energia ma NON avviene un riscaldamento dell’acqua e dell’ambiente circostante);
• \(Q_{sensible}\): flusso di calore sensibile ("SENSIBLE HEAT FLUX"), dovuto al processo di riscaldamento.

Quanto detto è rappresentato dal disegno sottostante. Figura 4 - Bilancio energetico

Il bilancio energetico che ne deriva è dunque il seguente ( \(Q_{net} = Q_{short} + Q_{long}\) che può essere scisso nei due termini \(Q_{latent}\) e \(Q_{sensible}\):

È poi possibile definire il flusso di evaporazione come:

• \(Q_{latent}\) : flusso di calore latente [J/m²s] (è quindi l’energia destinata al processo di evaporazione);
• \(\rho_{w}\): densità dell’acqua, che è circa 1000 kg/m³;
• \(\lambda\) (L): calore latente di evaporazione [J/kg]. È una proprietà fisica del liquido ed è funzione della temperatura e rappresenta l‘energia che dobbiamo fornire ad un corpo idrico per favorire l’evaporazione di 1 kg di acqua. Ad esempio, se T = 20°C, L = 2,453 × 10⁶ J/kg.

Il denominatore rappresenta quindi l'energia richiesta per far evaporare 1 m³ d'acqua. In una sola giornata calda, l’evaporazione sarà dell’ordine dei 2 – 4 mm. Sembra poco, ma se li moltiplichiamo per un area estesa, come ad esempio l’area del bacino de PO, pari a 70’000 km², ovvero 70’000 x 10⁶ m², allora otteniamo un’evaporazione pari a 21’000’000 m³ d'acqua. I processi di evaporazione muovono quantità d’acqua enormi, quindi sono molto importanti.

Processi di trasporto

Per caratterizzare il processo evaporativo appena visto, abbiamo bisogno di 3 processi:

• Processo di trasporto turbolento della massa;
• Processo di trasporto turbolento del calore sensibile;
• Processo di trasporto turbolento della quantità di moto.

Processo di trasporto turbolento della massa

Obbedisce alla Legge di Fick, ovvero la legge di diffusione molecolare del trasporto di massa, che parte col presupposto di avere un trasporto di massa tra un punto 1 e un punto 2 che dipende dal contenuto d'acqua dell'atmosfera in questi punti. Se il contenuto d'acqua in 1 è maggiore, il trasporto di massa avverrà da 1 a 2 e viceversa.

La formula è la seguente:

• \(J\): flusso di massa;
• \(\rho_{a}\): densità dell’aria;
• \(D\): coefficiente di diffusività;
• \(q\): quantità di vapor d’acqua nell’atmosfera;
• z: coordinata verticale. \(J\) è posta positiva verso l’alto. La derivata di \(q\) rispetto a \(z\) è il tasso d’incremento da 1 a 2, quindi è positiva quando \(q\) è minore in 1 rispetto a 2, ma questo NON è il caso in cui il flusso va da 1 a 2 abbiamo bisogno di mettere il segno negativo all’inizio.

Processo di trasporto turbolento del calore sensibile

Obbedisce alla Legge di Fourier, ovvero la legge che dice che ciò che guida il trasporto di calore sensibile è il cambiamento di temperatura da un corpo più caldo a uno più freddo:

• \(Q\): flusso di calore;
• \(\rho_{a}\): densità dell’aria; \(\approx 1000 \text{ kg/m}^3\);
• \(c_{p}\): calore specifico a pressione costante (circa 1000 J/kg°C);
• \(K\): coefficiente di diffusività;
• z: coordinata verticale.

Processo di trasporto turbolento della quantità di moto (ovvero del "momentum")

Obbedisce alla Legge di Newton, ovvero la legge in cui se abbiamo un flusso d'aria, questo ha una sua velocità che è parallela alla superficie terrestre. Tale velocità aumenta man mano che ci allontaniamo dal suolo secondo una legge logaritmica:

• \(\tau\): shear stress.

Tale è la stessa legge impiegata in Idraulica per caratterizzare le leggi di resistenza del moto di un liquido in una tubazione, ovvero la Legge di Prandtle, ma con una formula un po’ diversa:

\[ u = \frac{u^{*}}{\kappa} \ln \left( \frac{z - d}{z_{0}} \right) \]

• \(\kappa\): costante di Von Karman (vale circa 0,41);
• \(z_{0}\): lunghezza di scabrezza;
• \(d\): zero plane displacement;
• \(u(z)\): velocità alla quota z;
• \(u^{*}\): velocità d’attrito (friction slope);
• \(\tau\): tensione tangenziale media all’interfaccia fra parete e fluido;
• \(\rho\): densità del fluido (quindi dell’aria).

Equazione di Penman

Questi tre processi appena visti possono quindi essere combinati per dar luogo all’Equazione di Penman. Per capirla, conviene introdurre alcune equazioni sull’umidità dell’atmosfera:

Umidità specifica dell’aria

È il rapporto tra la massa di vapor d’acqua (\(m_{v}\)) e la massa di aria secca (\(m_{d}\)) in un determinato volume:

\[ q = \frac{m_{v}}{m_{v} + m_{d}} \]

Umidità relativa

Può essere espressa come il rapporto tra la densità di vapore (\(\rho_{v}\)) e la densità di saturazione (\(\rho_{vs}\)) moltiplicato per 100:

\[ RH = 100 \times \frac{\rho_{v}}{\rho_{vs}} \]

Con queste premesse e con i tre processi prima illustrati, si ricava l’Equazione di Penman di seguito riquadrata (in cui sono riportati anche i vari passaggi per determinare i termini di \( E_{p} \)). Questa esprime l'evaporazione potenziale (perché si assume che, per ricavarla, alla superficie del suolo vi sia una condizione al contorno inferiore di uno strato sottile di vapor d’aria con vapor d’acqua in condizioni di saturazione). Il suo lato sperimentale è stato verificato considerando di avere un prato con vegetazione di 30 cm di altezza in condizioni di irrigazioni ottimali (quindi abbondanza d’acqua) sotto queste condizioni, l’equazione funziona.

Termine radiativo:

Termine di ventilazione:

• \(\gamma\): costante psicrometrica;
• R_n: radiazione netta (radiazione incidente – radiazione riflesse);
• e_s: pressione di vapore a saturazione;
• e_a: umidità dell’aria;
• h: quota alla quale si misurano queste grandezze ("screen height"). Ad esempio, se stiamo misurando l’evaporazione sopra un bosco, questa andrà messa sopra la chioma vegetale (h è invece attribuita alla quota del terreno se stiamo considerando un prato, altrimenti equivale all’altezza del bosco se stiamo considerando un bosco, quindi qualcosa dotato di una certa altezza);
• r_a: resistenza aerodinamica alla diffusione del vapore. Se abbiamo una giornata con aria ferma, quindi afosa, non abbiamo turbolenza non ci sono scambi verticali una particella d’acqua che passa dallo stato liquido allo stato vapore incontra una grande resistenza nel risalire nell’atmosfera (ALTA RESISTENZA AERODINAMICA); viceversa, se abbiamo un vento forte su una superficie molto scabra (ad esempio se abbiamo piante alte), allora avremo una forte turbolenza questa favorirà gli scambi trasversali rispetto alla direzione di trasporto dell’aria una particella d’acqua che passa dallo stato liquido allo stato vapore incontra una bassa resistenza nel risalire nell’atmosfera (BASSA RESISTENZA AERODINAMICA). Dunque, tanto maggiore sarà la velocità dell’aria, tanto minore sarà la resistenza aerodinamica.

La seconda frazione presenta, a numeratore, una somma di due termini, detti “termine radiativo” (termine di sinistra, riquadrato in rosso) e “termine di ventilazione” (termine di destra, riquadrato in blu). Alla quota (ovvero alla superficie del suolo), nel derivare l’Equazione di Penman, si assume che vi sia uno strato di aria in condizioni di vapore saturo. Questo è verificato quando abbiamo un corpo idrico o quando abbiamo una coltura ben irrigata.

Quindi, le grandezze che influenzano maggiormente l’evaporazione potenziale (o quella effettiva, se c’è disponibilità d’acqua) sono tre:

• Radiazione solare (R_s);
• Umidità dell’aria (RH);
• Velocità del vento.