Transitori

Transitori

Finora abbiamo studiato circuiti in regime stazionario (DC) i = C _dVC/dt ⇒ V_C(t) = costante i = 0 V_L = L _diL/dt ⇒ i_L(t) = costante V = 0.

Ora vedremo i transitori: variazione dello stato energetico (passaggio da uno stato ad un altro).

• Generatori variabili (gradino)
• Guasto
• Interruttore nei circuito

Aperto -——> i = 0

Chiuso -——> V ≠ 0

Il resistore è un elemento dinamico (senza memoria) ⇒ interruttori su resistori implicano ripercussione istantanea.

C, L: equazioni differenziali ⇒ sono elementi dinamici.

Grandezze fondamentali: variabili di stato.

V_C = 1/C ∫ i dt -> variabile di stato: V

W_L = 1/2 Li² -> variabile di stato: I

Le equazioni costruttive C, L e (C, LL) sono ancora valide.

Esempio

T si include in t=0.

E - V_R - V_L - V_C - 0 ⇒ E - R i - L di/dt - 1/C ∫ i dt - 0 _{eq. differenziale in i}

V_R = R i

V_L = L di/dt

i = C _dVC/dt ⇒ V - 1/C ∫ i dt

Circuiti lineari ⇒ eq. differenziali ordinari a coefficienti costanti ⇒ metodo di Cauchy.

La soluzione:

• Soluzione dell'omogenea associata: o(t)
• Particolare p(t)

(a_m ⁿ dⁿx(t)/dt) + ... (a₁ dx(t)/dt) + a₀x(t) = b₁(t)_forzante

(a sono termini noti e costanti)

x(t): igonota.

C'è serve conoscere la condizione iniziale: x(0) = x₀ ⇒ conoscere lo stato energetico del circuito prima del transitorio ↓

Conoscere le variab. di stato prima del transitorio.

x(t)

Calcolare x(t = 0⁺)

Ma ho wgualo x(t = 0^-)

x(t = 0^-) = 1/2 x(t = 0⁺)

Ce lo dice il postulato a pag. novatransitori.

Transitori

Fino abbiamo studiato circuiti in regime stazionario (DC).

v_L = L (di/dt) v = 0

Ora vedremo i transitori: variazione dello stato energetico (passaggio da uno stato ad un altro).

• Generatori variabili (gradino)
• Guasto
• Interruttore nel circuito

—> Aperto —> i = 0

—> Chiuso —> V = 0

Il resistore è un elemento dinamico (senza memoria) —> interruttori _su resistor.

C, L: equazioni differenziali —> solo elementi dinamici.

Grandezze fondamentali: variabili di stato.

V_L = L di / dt —> variabile di stato: V

W_C = 1/2 C v² → . . . : I

Le equazioni costitutive C. L. C. sono ancora valide.

Esempio

E - V_R - V_L - V_C = 0

v_R = R i .

V_L = L di/dt

i = C dv/dt —> v = 1/C ∫ i d t

Circuiti lineari —> eq. differenziali ordinarie a coefficienti costanti —> metodo di Cauchy.

La soluzione:

• Soluzione dell’omogenea associata: o(t)
• Coefficiente b(k)(t)

Ci serve conoscere la condizione iniziale: x(t^-) = x₀

Calcolare x(t⁰) = 0 → ci dice il postulato a pachnova.

Postulato di continuità dell'energia

Le variabili di stato non possono avere variazioni istantanee di energia → x(t=0⁺)=x(t=0^-).

Soluzione dell'omogenea associata o(t)

d_n^my⁽ⁿ⁾+d_n-1^my^(n-1)+ ... + d₀^my = 0

(a_md_n)^m + (a_md_n-1)^m + ... + a₀x(t) = 0

Polinomio caratteristico: o(t)

a_nλⁿ + a_n-1λ^n-1 + ... + a₀ = 0

o(t) = k₁t^λ₁ + k₂t^λ₂ + ... + k_nt^λ_n e^o_n con d_n, d_n-1, ..., d_m, < 0

Sono i termin bi noti.

Calcolabili imponendo le condizioni iniziali.

τ_γ= -1/λ_n = costante di tempo !!!

Un transitorio si considera esaurito dopo 5 τ nella costante di tempo più grande.

Soluzione particolare: ρ(t)

Se b(t) = B → ρ(t) = PB_costante P_costante

Equazioni I ordine: RC, RL

Equazioni II ordine: RLC

Grado correlato al numero di induttori e condensatori.

Circuiti RC

t = 0 si chiude in t = 0

ε = v_R - v_C = 0 → ε - RC dv_C/dt - v_C = 0

v_R = Ri

i = C dv_C/dt

RC dv_C/dt + v_C = ε (eq.1)

Eq differenziale del primo ordine.

d(v_C)/dt + v_C/RC = ε/RC

La soluzione:

v_C(t) = o(t) + ρ(t)

o(t):

dv_C/dt + v_C/RC = 0

1) v_C(t₁, t₂)

o(t) = A e^-t/RC

A = v_C0 - ε

v_c(t) (s)

v_c(t) = (V_c0 - E) e^-t/RC + E = V_c0 e^-t/RC - E e^-t/RC + E [1 - e^-t/RC]

Calcoliamo la corrente.

i_c(t) = C dvc/dt = C d/dt [(V_c0 - E) e^-t/RC + E] = C [-1/RC (V_c0 - E) e^-t/RC] = 1/R (E - V_c0) e^-t/RC

Circuito R

La t=0 deviatore va da 1 a 2.

E - v_R - v_L = 0 → E - R i - L di/dt = 0

v_R = Rij

v_L = L di/dt

La soluzione:

i(t) = o(t) + p(t)

o(t): di/dt + R/L i = 0

i -R/L 0 → → λ = -R/L

o(t) = A e^λt = A e^{-R/L t}

p(t): di/dt + R/L i = E/L

b(t)=B → p(t)=P

di/dt + R/L P = E/L → P = E/R

i(t) = A e^{-R/L t} + E/R

i(t)|_t=0 = I_c0 = A e^{-R/L 0} + E/R = A + E/R = A

i(t) = I_c0 e^{-R/L t} + E/R

i(t) = ( I_c0 - E/R ) e^{-R/L t} + E/R

i(t)t

V_C(t) = L \(\frac{di}{dt}\)

d/dt [(I₀ - \(\frac{E}{R}\)) e^{\(-\frac{t}{\tau}\)} + \(\frac{E}{R}\)] = -\(\left[\frac{R}{L}(I₀ - \(\frac{E}{R}\)) e^{\(-\frac{t}{\tau}\)}\right)\)

(E - RI₀)e^{\(-\frac{t}{\tau}\)}

Confronto circuiti RC e RL

RC \(\frac{dv_C}{dt}\) + \(\frac{v_C}{RC}\) = \(\frac{E}{RC}\)

RL \(\frac{di}{dt}\) + \(\frac{i}{\tau}\) - x_F\(\frac{d}{dt}\) x(t) = -\(\frac{x(t)}{\tau}\) + x_F

Transitorio.

x(t₀) = x₀

Formula generale.

x(t) = (x₀ - x_∞) e^{\(-\frac{t - t₀}{\tau}\)} + x_∞

Con τ = RC o τ = \(\frac{L}{R}\)

Circuito RLC

E = V_R - V_L - V_C = 0

V_R = Ri

V_L = L di/dt

i = C dv_C/dt

V_C(t) = 1/C ∫ i(t)dt

E - Ri - L di/dt - 1/C ∫ i dt = 0

R di/dt + L d²i/dt² + i/C = 0

d²i/dt² + R/L di/dt + 1/LC i = 0

λ_1,2 = - b ± √(b² - 4ac)/2a = - R/2L ± √((R/2L)² - 1/LC)

R/2L = α

1/√LC = ω₀

α > ω₀ → ∆ > 0

i(t) = Ae^λ₁t + Be^λ₂t

E - Ri(0) - L di/dt|_t=0 = 0

di/dt|_t=0 = λ₁Ae^λ₁t + λ₂Ae^λ₂t

E - V_c0/L=> i(t) = (E - V_c0)/(λ₁ - λ₂) (e^λ₂t - e^λ₁t)

i(t) = (E - V_c0)/2L(α² - ω²₀) [(α² - ω²₀)t - e^αt]

Risposta sovrasmorzata.

α = ω₀ → Δ = 0

i(t) = (A + Bt)e^-αt radici λ₁ = λ₂ = -α

Applicando le condizioni iniziali:

i(t₀) = 0 → A = 0

v_c(t ≥ 0) = v_c0 → E - Ri - l di/dt = v_c = 0

E - R i(t₀) = -di/dt |_t0 V_c(0) = 0

di/dt |_t0 = -E / L

V_c0 = 0

di/dt |_t0 = 0

E/L = V_c0 / L

di/dt |_t0 = Be^-αt + B t e^-αt

di/dt |_t0 = B ⟹ B = E - V_c0 / L

i(t) = (t(0) - E + V_c0) / L t e^-αt

λ₁, ₂ = -α ± α × (√α² - ω₀²) = -α ; α² - ω₀²

(i(t) = (t(0) - E + V_c0 ) / L t e^-αt

Smorzamento critico.

α < ω₀ → Δ < 0

λ _1,2 = -α ± α √(-1 ²-ω₀²) = α π(-ω₄4² + ω₂²)-2 ο = -α + i ω_d

-α ω₀² (√α² + ω₀²)

ω_d = ω₀²α₂ - Fusizone naturale smorzata

α - α(√α² - ω₀) = ≡ ω_1,2 = -α ± i ω_d

Riprendiamo la soluzione per α > ω₀ e modifichiamola:

i(t)=(E-V_c0)/(2i(t)=(E-V_c0)/(Lπ−ω_d)⁴e^22t−2

i(t)=(E-V_c0/2L ω₄) [e^{-i ω_π 2L ω_2̶} e^{i ω_t} - e^t ] : e^-αtt π_t] : [ cos (ω x t) 1 e^-αt

i(t)=(E-V_c0/L ω_d) Sin (ω_dt) e^-αt

Risposta sottosmorzata.

Esercizio 1

Dati:

R = 100 Ω

C = 100 μF

E_S = 40 V

T_s = chiude in t = 0

cond. inizialmente scarico

Richieste:

• 1) E_{p, max} ? t_{Ep, max} ?
• 2) P_c(t₁₀₀) ?
• 3) t E_p ? P_c = ¹⁄₂ E_{p, max}

1) V_c(t) = (V_c0 - V_E) e^-t⁄_RC + V_E = E_S(1 - e^-t⁄_RC) [V]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ → RC = 0,01 = 10 ms

i(t) = C dvdt = - (V_c0 - V_E) ¹⁄_R e^-t⁄_RC = ^E_S⁄_R e^-t⁄_RC [A]

E_p = ¹⁄₂ cv_c² = ^cE_S2⁄₂ (1 - e^-t⁄_RC)²

P_c = ^E_S2⁄_R e^-t⁄_RC [W]

E_p, max = ^cE_S2⁄₂ = 1 [W]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t_{Ep, max} = 0 s

2) P_c (t = ∞) = 0

3) ^cE_S2⁄₂ e^-2t⁄_RC = ¹⁄₂ E_{p, max} = ¹⁄₂ ^cE_S2⁄₂ → 0,5 [W]

e^-2t⁄_RC = 0,5 → e^-t⁄_RC = ^√2⁄₂ → ln 0,5 → -^t⁄_RC ln(0,5) = 0,5 [ms]

Esercizio 2

Dati:

E₁ = 7,5 V

R = R_s = 10 Ω

L = 0,5 H

ind. inizialmente scarico

T_s = chiude in t = 0

Richieste:

• 1) I_R (t_→∞) = ?
• 2) I_L (t_→∞) = ?
• 3) P_c analitica

1) I_R = ^E₁⁄_Rs → A,2 [A]

2) I_L(t = ∞) = ^E₄⁄_Rin = Z_L [A]

I_{L t=0}⁰ = ^E₄⁄_R2 = 1,2 A

3) i(t) = (I_∞ - I_∞0) e^-t⁄_τ\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + I_∞0 = 1,2 - 1,2 e^-t⁄_τ\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ τ = ^L⁄_Rv = 50 ms\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Non consideriamo R₁\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Perche Nel ➞ Termino Qa\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Resistenza Vista Dall-\\nMisfitore moltiplicatore di corrente

R_th

minimizza\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ VR_th - moinho R_ext¹

R_th^-1 =

P_c = \ \ E₄² = E_tradein - E₂= e₃²⁄_x x x

P_L = E₄ - E₄⁄₁- e^-t⁄_τ [W]

Esercizio 3

Dati R₁ = 60 kΩ = R₂ R₃ = 30 kΩ R₄ = 20 kΩ C = 2 μF E₁ = 8 V E₂ = 2 V T si chiude a t = 0 E₂ = circuito a regime  (Tutto teso)

Richieste Vc(t) * T^* per cui Wc = ¹⁄₂ Wc0

Vc(t) = (V₀ - V_∞) e^-t/RC + V_∞

V_c0 = Vc = V_∞

V_c0 = ^{E₁ R₂}⁄_{R₁ + R₂}   E₁ = 4 V

(Il blocco destro non conta, C si comporta come un aperto e ha la tensione pari ai capi di R₁ = R₃ nullo)

W_c = ¹⁄₂ C V_c0² = 16 μJ

Usiamo il teorema di Thevenin per riportarci al caso base.

Usando Millman:

V_cB = ^{E₁_R₂ + E₂ R₁ + R₄}⁄_{R₁ + R₂ + R₄ + R[} = 3.25 V

R_eq = (R₁/R₂ + R₂)/R₂/R₂ + R₄ = 15 kΩ

V_cE = V_cB - E₂

V_cB = R₃ V_cE

Usando L^∞E^′

E_q = V_AB = V_cB = V_R = 2.5 V

V_c(t) = (V₀ - V_∞) e^-t/RC + V_∞

4 V   2.5 V   0.03 s

W_c - ¹⁄₂ CV¹² = ¹⁄₂ W_c0 - ¹⁄₄ CV_c2 - V²c0 = V²CO2- ^t⁄_{* RC}³ = e^-t/RC + 2.5 = V_c0

t^* = - ^<⁄_{ln(V₂/V₂ - V₂} - V₂background.)

t^* = 1 - ^V₂∞⁄_ln^3t - ^V₀∞ EObject.