Termotecnica

Termotecnica: scambiatori a tubi concentrici

Aspetti generali

Lo scambiatore a tubi concentrici è costituito da un tubo infilato dentro l’altro, un fluido scorre all’interno del tubo interno e l'altro scorre nello spazio anulare compreso tra tubo interno e tubo esterno, mantello dello scambiatore.

A seconda di come decido di alimentare lo scambiatore posso considerare il comportamento di quello stesso scambiatore in equicorrente e in controcorrente.

Più o meno la resa dell'alimentazione in controcorrente è maggiore della resa dell'alimentazione di equicorrente, quindi:

• A parità di potenza che devo scambiare conviene l’equicorrente perché ha una superficie di scambio minore.
• Se devo massimizzare la potenza scambiata conviene utilizzare un controcorrente perché a parità di superficie aumenta la potenza scambiata.

In entrambi i casi, di equicorrente e controcorrente, la curva risultante del raffreddamento o del riscaldamento dipende dall’esistenza del motore “differenza di temperatura” e sarà esponenziale/logaritmica.

Osservando dall’esterno ciò che accade all’interno dello scambiatore, si osserverà che nel tempo di percorrenza, spazio tra ingresso ed uscita dello scambiatore, ciascun fluido modificherà esponenzialmente/logaritmicamente la propria temperatura, modifica diversa a seconda del tipo di alimentazione.

Vantaggi e svantaggi

Equicorrente

EQUICORRENTE = L:O ✗✗

Sono note le condizioni di ingresso dei due fluidi: tiT0 = temperatura di ingresso del fluido caldo, t0 = temperatura di ingresso del fluido freddo To.

Quando i fluidi si trovano a diversa temperatura: interagiscono e quindi modificano la propria temperatura, quindi le loro temperature si avvicinano perché il fluido caldo si raffredda e il fluido freddo si scalda.

Siccome le temperature non andranno mai a combaciare, i to due fluidi continueranno a interagire tra di loro, ma sempre meno: ci sarà uno scambio termico che i fluidi mettono in atto per arrivare ad una condizione di equilibrio.

Scambiando meno la conseguenza dello scambio darà meno ✗0 L intensa: il fluido caldo e il fluido freddo modificheranno la loro temperatura, il primo in diminuzione e il secondo in aumento, sempre meno, quindi l’andamento della temperatura è caratterizzato da una pendenza della curva sempre minore.

Quindi, queste curve sono rappresentate bene per mezzo di una curva esponenziale proprio perché ciascuna rappresenta il modo che ha spontaneo di cambiare la portata del fluido in relazione al fatto che sente al suo esterno l’ambiente a temperatura diversa. Dato che noi poniamo la diretta proporzionalità tra causa ed effetto in forma lineare, viene fuori una curva logaritmica/esponenziale.

Quindi avremo: TL = temperatura di uscita del fluido caldo, tL = temperatura di uscita del fluido freddo.

Il fluido caldo si può raffreddare non al di sotto di tL e viceversa.

L’eguaglianza tra le due temperature di uscita si verifica solo nel caso in cui la superficie di scambio sia infinita o quando il coefficiente di scambio tende all’infinito. Quindi, ci sarà un asintoto matematico al quale le due curve tendono.

Il grado di avvicinamento delle due curve all’asintoto in condizioni di uscita dipende da quanto riescono ad interagire, più interagiscono più tenderanno ad avvicinarsi le temperature. Quindi il coefficiente di scambio giocherà sul grado di avvicinamento delle due curve all'asintoto matematico a cui tendono se x tendesse all’infinito.

Per descrivere la volontà di un sistema di modificare la propria temperatura in relazione ad una quantità di calore scambiata, pensiamo alla legge della calorimetria che mi dice che a fronte di una quantità di calore somministrata o sottratta ad un sistema, esso modifica di conseguenza la sua temperatura di un in ∆T relazione a quella che è la sua capacità termica che racconta proprio l’entità dell’inerzia termica. Fissato un certo Q calore che viene somministrato o sottratto al sistema, il sistema modificherà corrispondentemente la sua temperatura a patto che non siano in atto cambiamenti di fase: CMDTA - Capacità termica.

Capacità termica = disponibilità o riluttanza del sistema a modificare la temperatura.

Fissato Q, è tanto maggiore quanto cm è minore. ∆T

Il nostro caso è in condizioni di regime stazionario però non scriviamo questa relazione, ma scriviamo: GCATq = Capacità termica di flusso.

Capacità termica di flusso = riluttanza del sistema a modificare più o meno consistentemente la propria temperatura.

Quindi, la temperatura media sarà collocata più verso l’alto o più verso il basso in relazione al fatto che uno dei due fluidi abbia una maggiore disponibilità a modificare la sua temperatura.

Controcorrente

CONTROCORRENTE = L:O ✗✗

Se GC > gc

Se GC>gc.

L’espressione che mette in relazione l’entità dello scambio, causa, con la variazione di temperatura conseguente, effetto, nell’ipotesi che il mantello sia adiabatico: GCDTq = gcdt GCDT - gc.ATq =

Nel momento in cui la capacità termica dei due fluidi non sia uguale corrispondentemente i si devono ∆T adeguare per fare in modo che il prodotto GC∆T sia lo stesso.

Mi devo aspettare in questo caso che la variazione di temperatura del DtDT fluido caldo sia minore della variazione di temperatura del fluido < In questo caso: freddo ti.

Allora immaginiamo di entrare ad una certa To temperatura T0 con il fluido caldo ed entrare a una AT certa temperatura tL con il fluido freddo. t.

Devo immaginare una variazione di temperatura del to, fluido caldo che sia piccola rispetto al freddo, ipotizzo la temperatura di uscita del caldo TL e quindi trovo il che caratterizza la variazione di ∆T d-temperatura tra ingresso e uscita del fluido caldo.

Adesso devo, compatibilmente con questa condizione per cui GC>gc, ipotizzare una variazione ti di temperatura del fluido freddo che sia maggiore, ipotizzo la temperatura di uscita del fluido freddo t0 e trovo il ∆t. ✗0 L

Quindi è compatibile con la condizione. ∆t>∆T

Ipotizzando che il coefficiente globale di scambio, cioè la capacità di interazione, sia la stessa tra ingresso ed uscita, mi devo aspettare che la capacità di scambio sia la medesima in entrambe le parti dello scambiatore. Per cui mi aspetto che l’entità dello scambio sia maggiore dove il salto di temperatura è maggiore. In questo caso è nella parte di ingresso dello scambiatore, per cui la pendenza, rappresentativa del gradiente, è maggiore in questa parte. ti

Se GC < gc

Se GC<gc.

Il caso è analogo al precedente, ma i e le ∆T pendenze saranno invertiti, per cui abbiamo: To AtDT > AT

Si osserva come ora è in x=0 che la differenza di temperatura è maggiore rispetto a x=L, quindi mi I devo aspettare che a parità di efficienza di to scambio, cioè a parità di capacità di interazione, d-l'entità dello scambio sia maggiore dove è maggiore la differenza di temperatura, quindi in x=0 dove mi ti devo aspettare conseguenze più pronunciate, quindi modifiche locali più pronunciate e quindi pendenze maggiori della curva. ✗0 L

Se GC = gc

ti se GC=gc si avrà: To DtDIDT Quindi a parità di GC i sono uguali e quindi si ∆TI avrà la stessa variazione complessiva di to temperatura e, conseguentemente al fatto che l’entità dello scambio sarà uguale, Dt localmente l'entità della modifica sarà uguale, cioè mi devo aspettare la stessa pendenza delle ti curve da una parte e dall'altra, ma anche la stessa pendenza di una curva rispetto all’altra.

Per cui le curve partono parallele e arrivano ✗0 L parallele con la stessa pendenza.

L'andamento di temperatura non è più logaritmo esponenziale, ma è un esponenziale degenere. In questo caso, però non è più corretto parlare di differenza di temperatura media logaritmica, ma dobbiamo parlare di differenza di temperatura.

Dimensionamento termico

DIMENSIONAMENTO TERMICO le il/ // /in ///

L’asse x è l’asse longitudinale dello scambiatore in cc, individuo: t una testata in x=L una testata contrapposta in x=0.

Immaginiamo il verso di percorrenza del fluido nello spazio anulare e il verso di percorrenza nello spazio centrale, tubo interno: T fluido caldo al centro e fluido freddo nello spazio anulare.

Ipotizzo che il mantello dello scambiatore sia adiabatico.

Solitamente si tende a far sì che il fluido caldo scorra nello spazio t anulare. ""O'" " " d'" " ' É" ,×

Siccome la temperatura è variabile sezione per sezione, eseguo un’analisi differenziale andando a vedere cosa accade nel generico elemento infinitesimo di scambiatore tra la sezione x e la sezione x+dx, scrivo poi un bilancio. Il bilancio dice che a fronte della differenza di temperatura locale T-t ne deriva uno scambio termico attraverso la superficie di scambio, posso scrivere: superficie infinitesima di interazione termica tra i due fluidi dqiUIDedxlt- ldq-gcdt q-GC.AT

Trasmittanza reciproco della resistenza termica totale che è la somma delle resistenze termiche TRASMITTANZA attraversate in serie dal flusso termico, c’è una parete tra i fluidi.

Quindi ci sarà una resistenza conduttiva attraverso il tubo.

Il fluido freddo va aumentando la sua temperatura lungo lo scambiatore tra 0 e L, perché entra in x=L ed esce in x=0, quindi scriveremo:

N.B. Seguo il verso dello scambiatore e non del singolo fluido, nel caso della percorrenza verso x il dt è negativo.

Mentre, il fluido caldo va riducendo la sua temperatura, quindi scriviamo:

In realtà, seguendo lo scambiatore notiamo che la temperatura del fluido caldo aumenta.

Estraggo i dt e dT: dadq-gcdtdt-igcdq-GCdtdt-e.deGCFaccio la differenza tra dt e dT: dt-dt-ndqggfldlt.tl dqk= -K

Al posto di dq posso scrivere l'espressione quantificativa dello scambio e quindi scrivere: dlt- k UITDelt- kdx f.IT?-UitDeKdxlnI-tl= UitDeKL=UitDegc- I/

Ipotizzo che U sia costante perché è lo stesso lungo l’intero scambiatore e risolvo separando le variabili: K è variabile con x perché variano i calori specifici con la temperatura, ma la considero costante e pari al valore medio.

Quindi, integro ipotizzando che U sia costante, hc costanti, tra x=0 e una generica ascissa x ottengo l’andamento della differenza di temperatura lungo lo scambiatore: ltoTo -

Posso sostituire al posto di gc e GC le corrispondenti espressioni delle temperature che conteggiano la presenza del flusso, perché a livello globale posso scrivere: )GCITO Ig- - )gatto tig- -

A questo punto posso estrarre 1/gc e 1/GC e ottenere: ITo1 -=GC 9"gI=ᵗ;

Sostituendo nella prima relazione: I tl )( Tp( ti Totoln Uit- Del - --=toTo q-I tlln )VIDEL- ( Tottitito= --toTo q-I tl )) ](([ln tiToUit to Ti- Del -= - -toTo q-I tl ) ]()(ln [Vit ti- toDel tito= - - --toTo q- SA }% ↳ &ln - ]( )Uit [ ti( UStoDel to Tr= q --- - -I ti 9-

Riassumendo:

• Dispongo di una portata di fluido caldo, G, che deve modificare la sua temperatura di una certa quantità, fluido secondario, GCDT.
• Noto il da raggiugnere, conoscendo G e C calcolo q ∆T q =
• Conosco la temperatura di disponibilità del fluido freddo, primario, quindi posso fissare un e ∆t gcdt ricavare gc q =
• Altrimenti posso ricavarlo impostando la portata.
• Ora conosco le condizioni di uscita del fluido freddo.
• Conosco, quindi, le quattro temperature e sono in grado di ricavare la DTML.
• Conoscendo la DTML, stimato U per mezzo delle correzioni, ricavo S, superficie laterale del tubo interno, USIDTMLq =

Per calcolare U dobbiamo fare una serie di considerazioni, innanzitutto U non è una trasmittanza così come l'abbiamo ricavata, perché di fatto l'espressione è: 1U = È Le1 ++hi

Il fluido con minore capacità di scambio impone la capacità di interazione termica tra i due fluidi: in regime tutto ciò che un fluido cede viene ricevuto dall’altro, se l’altro non è in grado di ricevere più di tanto il fluido che cede è intrinsecamente limitato nella capacità di interazione termica.

-2/10%-10310%102 aeriformi [hf.MY "-910.110] liquidi, 103 104 vapori saturi:-}1=010-3 & -910-5-2-910K

Quindi comunque la resistenza termica offerta dal tubo è in ogni caso trascurabile rispetto a quella offerta dai fluidi. "ÈT tTi

Coefficiente globale di scambio per superficie cilindrica

Ricavo l’espressione del coefficiente globale di scambio per superficie cilindrica, per cui si hanno un raggio interno e un raggio esterno. Ti Te>

Immagino che: Ti = temperatura media di sezione Te = temperatura media dello spazio anulare.

Al di là del fatto che i due ambienti, esterno ed interno, non sono ambienti liberi, per cui di fatto lo strato limite nel tubo invade l'intero condotto, noi siamo abituati a vedere una caduta di TeRe temperatura in prossimità delle superfici limite della parete e nel caso di parete piana noi sappiamo che l’andamento di Ri temperatura è lineare. Mentre nel caso di parete cilindrica l'andamento di temperatura è tipicamente logaritmico.

Partendo r coefficiente globale di scambio. da questa schematizzazione dobbiamo ricavare l'espressione del Definiamo t’ e t’’ come le temperature delle superfici limite, interfaccia.

Quindi posso dire che il flusso termico q può essere calcolato con riferimento allo scambio convettivo nell'ambiente interno, con riferimento allo scambio conduttivo attraverso lo spessore del tubo e con riferimento allo scambio convettivo dal lato esterno.

Dal momento che chi si pone come elemento di intermediazione è il tubo, caratterizzato da una superficie limite interna e una esterna e queste due superfici limite hanno estensione diversa, bisogna decidere convenzionalmente se fare riferimento alla superficie limite interna o a quella esterna, tipicamente negli scambiatori si fa riferimento alla superficie esterna del tubo interno. Ci sono però delle situazioni in cui è conveniente far riferimento alla superficie limite interna, quando per esempio la superficie limite esterna sia alettata. In questo caso però trattandosi di un tubo liscio si mantiene la convenzione del riferimento alla superficie limite esterna. )HIZITRILITI t'g-

Con riferimento allo scambio convettivo interno posso scrivere: -_

Dal momento che a me interessa mettere in evidenza, cioè far comparire esplicitamente la superficie limite esterna, ai fini del calcolo questa la posso scrivere moltiplicando e dividendo per il raggio esterno: * )Llti ÈHIZITRI superficie limite2u-ret-q-hisefielti.tlq - -_ esterna)

Espressione del flusso termico scambiato per convezione tra il fluido che scorre nel tubo con la superficie limite del tubo supposta ad una certa t’ incognita.

Il salto di temperatura è tanto maggiore rispetto all’altro fluido quanto minore è la capacità di scambio.

Questa considerazione è molto importante perché si può dire che, dal momento in cui il tubo è tipicamente di un materiale metallico piuttosto conduttivo e quindi l’andamento logaritmico non è molto accentuato, t’-t’’ poco pronunciata, mi devo aspettare che i maggiori salti siano nei due ambienti esterno ed interno, rispetto al salto che posso andare a leggere all'interno del tubo, perché tutto sommato il tubo ha una conducibilità molto elevata e ha uno spessore molto piccolo, per cui tutto sommato t’-t’’ è molto contenuto. Quindi in una situazione del genere mi accorgo che il tubo si trova più o meno tutto alla stessa temperatura e soprattutto si trova più o meno alla temperatura del liquido rispetto alle aeriforme: è il liquido che controlla la temperatura del tubo, è il fluido che ha maggiore capacità di scambio che controlla la temperatura del tubo.

Posso direttamente ricavare: qt'Ti =- Rihi Se Re

Per quanto riguarda l’andamento di temperatura all’interno del tubo, tra raggio t'interno e raggio esterno, è logaritmica naturale, perché il flusso termico in condizioni • di regime stazionario deve essere costante.

Ipotizzando materiale omogeneo ed isotropo e che il tubo cilindrico abbia