Termodinamica applicata - prima parte

INTRODUZIONE

Un sistema aperto consente il passaggio di massa dalla superficie di controllo -> e, ad esempio, la condizione che si ha all'interno di un condotto, che va a confinare un fluido.

Un sistema e cio che si trova all'interno di una superficie di controllo; l'ambiente e, invece, cio che sta all'esterno della stessa.

Un sistema chiuso e uno nel quale non ci sono passaggi di massa dalla superficie di controllo.

I sistemi diabatici consentono lo scambio e la trasmissione di calore, al contrario di quello adiabatico.

Le ipotesi che vengono fatte sono le seguenti:

• non avvengono reazioni chimiche
• il regime di moto e stazionario (= le grandezze termodinamiche non variano e non dipendono dal tempo), non viene considerato il transitorio (= fase di avvio della macchina);
• il moto e unidimensionale (= si usa un'unica grandezza per rappresentare la sezione trasversale)

EQUAZIONE DI CONTINUITA

m1 = m2

= rho1A1u1 = rho2A2u2

A = piD²/4 = area della sezione trasversale

In generale si ha che: rho1 = f(T1, p1) -> e funzione della temperatura e della pressione

Per un fluido puro e monofase il numero di variabili indipendenti e v = 2.

La portata massica m e espressa in [kg/s]; quella volumetrica e [m³/s] o [m³/h].

V e la portata volumetrica, che normalmente e quella che viene misurata, grazie a dei trasduttori di portata.

m1 = rho1A1u1 = rho1V1

Se rho1 != rho2 -> V1 != V2, quindi la portata volumetrica non si conserva.

Portata specifica: G = m/A = rhouA/A = rhu si misura in [kg/m²s]

vA = Delta x/Delta t A = V/Delta t

Equazione di continuita in generale :

∂ρ/∂t + ∇(ρũ) = 0

divergenza del prodotto ρ, u

derivata della densita rispetto al tempo

ρ(x,y,z,t) ũ(x,y,z,t) -> u(x), approccio monodimensionale

software CFD

Esempio: consideriamo un condotto in cui fluisce un fluido con una portata di m̃ = 1 kg/s ; il fluido e aria ed ha una massa molare MA = 28.97 kg, p1 = 2bar, T1 = 300 K, u1 = 3m/s

p2 = 1bar, T2 = 290K. Ricavare v1 = ? A = ? v2 = ? u2 = ?

bisogna sempre indicare il punto in cui viene calcolato

Con l'aria puo essere assunto un comportamento di tipo ideale.

Applicando l'equazione di continuita :

m̃ = ρ1u1A = ρ2u2A

Dato che il gas e ideale si puo applicare la legge dei gas perfetti:

pV = RT

R = R̄/M -> massa molare

Il volume specifico e : v1 = RT1/p1 = 8314.300/(28.97.2.10⁵) = 0,43 m³/kg -> ρ1 = 1/v1 = 2.32 kg/m³

Quindi, ora che ho la densita : V1 = m̃/ρ1 = 0.43 m³/s

La sezione trasversale e A = V1/u1 = 0.143 m²

Il volume specifico in 2 e' v2 = RT2/p2 = 8314.290/(28.97.10⁵) = 0.832 m³/kg -> ρ2 = 1/v2 = 1.2 kg/m³

Quindi v2 = m̃/ρ2 = 0.83 m³/s

Consideriamo un ugello divergente, la portata si mantiene costante (il differenziale di dm̃ = 0)

m̃ = ρ1A1u1 = ρ2A2u2

dm̃ = 0 = dρ(uA) + du(ρA) + dA(ρu)

Divo per ρAμ

dm̃ = 0 = dρ(uA) + du(ρA) + dA(ρu)

dm̃ = 0/ρAμ = (dρ(uA) + du(ρA) + dA(ρu))/ρAμ

dρ/ρ + du/u + dA/A = 0

differenziale dell' eq. di continuita

PRIMO PRINCIPIO

Le ipotesi sono le seguenti: moto stazionario, non avvengono reazioni chimiche; vi e solamente un ingresso ed un uscita.

dQ - dL' = dh + du²/2 + gdz

Q₁₂ - L'₁₂ = Δh + Δu²/2 + gΔz

h = u + pv -> grandezza specifica [J/kg]

H = mh

se moltiplichi per la portata m ottieni il primo principio in termini di potenza.

Esempio:

Considerando l'aria come un gas ideale k = cp/cu = 1.4

cp = 1005 J/kgk    L₁₂ = 0   Δz = 0   Q₁₂ = 0   u₁ = 0

u₂ = 200 m/s   T₁ = 273 K   T₂ = 300 K

Q₁₂ = Δh₁₂ + Δu²/2

= 1005 (300 - 273) + [200²/2 - 0]

= 27135 + 20000 = 47135 J/kg

Esempio 2:

k = 1.4   L₁₂ = 0   Δz = 0   u₁ = 0   u₂ = 2 m/s   T₁ = 273 K   T₂ = 300 K   Q₁₂ = ?

Q₁₂ = 1005 (300 - 273) + 2²/2

= 27135 + 2 J/kg

in questo caso il contributo cinetico e trascurabile

Q₁₂ [J/kg]   L'₁₂ [J/kg]   p [W]

usa le lettere maiuscole anche per le grandezze specifiche

q - heat flow rate [W] in italiano e il flusso termico

q'₁₂ [W/m²] e un flusso termico specifico o heat flux

Esempio 3:

il fluido e acqua H₂O, p₁ = 1 atm (101325 Pa = 1 atm); cp = 4186 J/kgK, L'₁₂ = 0

Δz = 0   u₁ = 0 m/s   u₂ = 2 m/s (velocita tipica dell'acqua che scorre in un condotto)

Q₁₂ = Δh₁₂ + Δu²/