Teoria di Elettrotecnica

Riassunto teoria primo parziale

Ipotesi di costanti concentrate

Ipotesi di costanti concentrate ≫ = )1. (Quando la dimensione del dispositivo che sto considerando è molto più piccola della lunghezza d’onda--posso approssimare le leggi di Maxwell--posso considerare trascurabile la dimensione del dispositivo ≫ = /)2. (T= periodo del tempo t= tempo di transito, ossia il tempo che impiega il segnale ad interessare il dispositivo.

Polo= terminale.

Multipolo= costituito da più terminali.

Circuito= unione di multipoli.

Linearità

Linearità X Y X --> αX + βXY1 1 2 αY + βY1 22 Y + YX + X1 2 1 21 2.

Se accade questo il sistema è lineare (il dispositivo è lineare quando le equazioni utilizzate sono lineari).

Lineare= una grandezza caratteristica (come R, C, L) non dipende dalla grandezza che lo “attraversa” (i, V…).

Lineare→ vale il principio di sovrapposizione (se non è lin. non vale il principio di sovrapposizione).

Permanenza o tempo varianza

La permanenza afferma che la risposta di un circuito dipende solo dalla sua forma e non dal tempo (quindi le equazioni avranno i coefficienti indipendenti dal tempo, ma le variabili sono dipendenti dal tempo).

Elementi attivi e passivi

• Passivi = non è in grado di dare energia oppure, se è in grado di darla, può dare solo quella accumulata. L’elemento passivo (come un resistore) assorbe energia e la dissipa.
• Attivi= elementi in grado di dare energia.

Bipolo passivo: utilizzatore. Bipolo attivo: generatore.

Per gli elementi passivi: ⋅ ⅈ < 0 se --> l’elemento sta erogando energia (quindi ho trovato che è attivo) ⋅ ⅈ > se --> l’elemento sta assorbendo energia (ho constatato che è passivo).

Per gli elementi attivi: ⋅ ⅈ < se --> l’elemento sta erogando energia ⋅ ⅈ > 0 se --> l’elemento sta assorbendo energia.

1° legge di Kirchhoff

Presa una superficie che taglia il circuito (o un nodo) la somma algebrica delle correnti convergenti è =0 (quindi la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti).

2° legge di Kirchhoff

Preso un percorso chiuso del circuito e scelto il verso di percorrenza, la somma algebrica delle tensioni è =0.

Tipi di dipoli

• Resistore= elemento passivo (assorbe energia e la dissipa).
• Generatore ideale indipendente di tensione= elemento attivo (la tensione non dipende da niente).
• Generatore ideale indipendente di corrente= elemento attivo (la corrente non dipende da niente).
• Corto circuito= si ha quando la resistenza è nulla (V=0 tensione nulla--> coincide con il GT disattivato).
• Circuito aperto= modella un resistore con resistenza infinita (i=0 corrente nulla --> coincide con il GC disattivato).

Elementi in serie= i terminali dei due elementi sono collegati con un solo nodo.

Elementi in // = entrambi i terminali dei due elementi sono collegati tramite due nodi =.

Resistori in serie= stessa corrente, 1 1 = =.

Resistori in // = stessa tensione, =.

GT in serie= somma algebrica delle tensioni porta ad avere un unico generatore.

GT in //= hanno tutti la stessa tensione con la stessa polarità.

GC in serie= hanno tutti la stessa corrente sia come intensità sia come verso ⅈ = ⅈ.

GC in // = somma algebrica delle correnti porta ad avere un unico generatore.

Partitore di tensione

Partitore di tensione: costituito da due resistenze e un generatore di tensione in serie.

Il generatore ripartisce la sua tensione nei due resistori in modo proporzionale al valore della resistenza presa in = ⋅ considerazione. ∑.

Partitore di corrente

Partitore di corrente: costituito da due resistenze e un generatore di corrente in //.

Il generatore ripartisce la sua corrente nei due resistori in modo proporzionale al valore della conduttanza della ⅈ = ⅈ ⋅ resistenza presa in considerazione (inversamente proporzionale alla resistenza). ∑.

Circuito duale

Un circuito può essere considerato duale rispetto ad un altro circuito se: ⅈ ↔ ↔.

• Nelle formule si possono scambiare e.
• A elementi in // di un circuito corrispondono elementi in serie dell’altro.
• A un generatore di corrente di uno corrisponde un generatore di tensione dell’altro.

Teorema di Millman

Se si ha un circuito costituito da vari rami in // tra loro, ciascuno costituito da una resistenza e un GT in serie, si può ∑ ⋅ = applicare la seguente formula: ∑ 2.

Principio di sovrapposizione degli effetti

Dato un circuito lineare nel quale ci siano più generatori, la grandezza richiesta può essere calcolata come la somma di tutte le singole grandezze di ogni generatore per volta (si deve far agire un generatore per volta, quindi gli altri vanno disattivati).

Principio di sostituzione

Se un circuito è costituito da due parti A e B e se la parte B (che non trasformo) si comporta come un generatore, nella parte A posso utilizzare solo il tipo di generatore opposto a quello che si trova nella parte B.

Teorema di Thevenin

Un circuito lineare accessibile da due terminali, questo è equivalente a un circuito costituito da un generatore di tensione e una resistenza in serie, dove il generatore di tensione eroga la tensione a vuoto (ai due terminali non vi è attaccato niente) e la resistenza equivalente è uguale alla resistenza ai due terminali quando tutto il circuito è disattivato.

Limite di applicabilità: se un circuito si comporta come un generatore di corrente, non posso applicare Thevenin.

Teorema di Norton

Dato un circuito lineare accessibile da due terminali, questo è equivalente a un circuito costituito da un generatore di corrente e una resistenza in //, dove la corrente equivalente corrisponde alla corrente di corto circuito dei terminali a cui applico il teorema e la resistenza equivalente è uguale alla resistenza ai due terminali quando tutto è disattivato.

Limite di applicabilità: se la rete che voglio trasformare si comporta come un generatore di tensione, non posso applicare Norton. =

Se in un circuito sono applicabili sia Thevenin sia Norton:

Differenza principio di sostituzione e Thevenin/Norton

• Principio di sostituzione: la tensione è dipendente da tutto il circuito (sia la parte modificata sia quella non modificata). Eccezione: c’è un caso in particolare in cui con il principio di sostituzione la tensione dipende dalla parte non modificata.
• Th e Norton: la tensione è indipendente da ciò che viene attaccato ai terminali 3.

Analisi generale di un circuito

Grafo= ciò che si ottiene sostituendo ciascun elemento del circuito con un segmento.

• Grafo connesso= un grafo si dice connesso se da qualunque nodo del grafo è possibile raggiungere un qualsiasi altro nodo del grafo con un percorso di rami.
• Grafo orientato= su ciascun elemento viene scelto un verso arbitrario (il verso scelto individua tensione e corrente sul circuito seguendo la convenzione utilizzata).

Ramo= il segmento che nel grafo corrisponde ad un elemento del circuito.

Nodo= punto del grafo in cui sono attaccati due o più rami.

Anello= insieme di rami che formano un percorso chiuso, tale da attraversare ciascun nodo interessato una sola volta.

Taglio= considerata una linea chiusa che divide in due parti il grafo, il taglio è l’insieme di rami interessati dalla linea. Quindi il taglio è un insieme di rami tali che la loro eliminazione rende il grafo risultante non connesso.

Albero= insieme connesso di rami che comprende tutti i nodi del grafo senza formare percorsi chiusi → N° rami= N-1.

Coalbero= insieme di rami che non appartengono all’albero → N° rami= R-N+1.

Anello fondamentale= percorsi chiusi costituiti da rami di albero e rami di coalbero. → N° anelli fond = R-N+1.

Taglio fondamentale= taglio con un solo ramo di albero e rami di coalbero → N° tagli fond = N-1.

Sottoinsieme di tensioni indipendenti

-->Le tensioni dei rami dell’albero costituiscono un insieme di tensioni indipendenti (infatti non esistono legami tra di esse, non essendo possibile scrivere la 2° legge di K con soli rami di albero, in quanto non ci sono anelli sull’albero).

-->Le tensioni dei rami di coalbero sono tutte esprimibili in funzione delle tensioni dei rami di albero.

Sottoinsieme di correnti indipendenti

-->Le correnti dei rami di coalbero costituiscono un insieme di correnti indipendenti (infatti non esistono legami tra di esse, perché non esistono tagli costituiti solo da rami di coalbero. L’albero infatti interessa tutti i nodi del grafo e quindi un taglio qualsiasi deve per forza comprendere per lo meno un ramo di albero).

-->Le correnti dei rami dell’albero sono tutte esprimibili in funzione delle correnti dei rami di coalbero (tramite la 1° legge di K applicate ai tagli fondamentali) 4.

Metodo alle maglie

Applicabile solo a circuiti planari.

Circuito planare= circuito in cui gli elementi (rami) non si intrecciano tra loro.

Si suppone che per ogni maglia scorra una corrente= corrente fittizia (in realtà non esistono).

• Caso favorevole= GC sul ramo perimetrale.
• Caso sfavorevole= GC su un ramo interno.

Metodo ai nodi

Metodo ai nodi (sempre applicabile).

Si sceglie un nodo di riferimento e si applica la prima legge di K. agli altri nodi.

Si suppone che per ogni nodo vi sia una tensione di nodo, ossia la tensione tra un certo nodo e il nodo di riferimento.

• Caso fortunato= GT direttamente collegato al nodo di riferimento.
• Caso sfortunato= GT non direttamente collegato al nodo di riferimento.

N° eq= N – 1 – N (GT coll al nodo di rif) + N (GT non coll al nodo di rif).

Generatori controllati

Sono elementi attivi e sono elementi a due porte (a una porta c’è un generatore → la grandezza erogata dal generatore di una porta dipenderà da una grandezza legata all’altra porta).

Rete a due porte: ha 4 terminali che si comportano a due a due come porte (porta= coppia di terminali in cui la corrente che entra è uguale alla corrente che esce).

--> Porta bilanciata= i due terminali non sono collegati.

--> Porta sbilanciata= i due terminali sono collegati.

4 tipi di generatori controllati:

• Generatore di tensione controllato in tensione ⅈ =01{ = ⋅ 2 1.
• Generatore di tensione controllato in corrente =01{ = ⅈ2 1.
• Generatore di corrente controllato in tensione ⅈ =01{ⅈ = 2 1.
• Generatore di corrente controllato in corrente =01{ⅈ = ⋅ ⅈ2 1.

Teorema di Miller

Dato un circuito al cui interno c’è una resistenza R collegata tra i nodi 1 e 2 (≠ dal nodo di riferimento 3) e di cui si 2 = conosce il rapporto, tale circuito è equivalente a in circuito in cui c’è una resistenza tra il nodo 1 e il nodo di 1 riferimento e un’altra resistenza tra il nodo 2 e il nodo di riferimento.

Le nuove resistenze sono date dalle seguenti formule: = = e1 21− −1.

Forma duale del teorema di Miller

-->Questo circuito è equivalente a --> −2 = con il rapporto 1 5.

(−1) = (1 − ) = E le formule delle resistenze sono date dalle seguenti formule: e1 2.

Condensatore ideale

Condensatore ideale è un elemento ≥ 0 ⅈ ⅈ).

• Passivo (-.
• Lineare = la grandezza caratteristica C non dipende dalla grandezza che lo “attraversa” (i), ovvero che anche se i e V variano nel tempo, C rimane una costante.
• Tempo invariante= se il condensatore è ideale, la C non varia nel tempo.

ⅆ()ⅈ() = ⅆ [][] [][, = ⋅ ≥ 0 → = ⅈⅈ ] = =[]ⅆ [].

Differenze tra condensatore reale e ideale:

• 1) --Reale: il valore della capacità varia nel passare del tempo --Ideale: la capacità non varia.
• 2) --Reale: oltre un certo limite della V il dielettrico si fora --Ideale: non perde mai energia + −) )(0 = (0.

Il condensatore è un elemento con memoria e la sua relazione di continuità è data da:

Condensatore in serie: 1 =.

Condensatore in serie: 1∑ = ∑.

Condensatore in //:

Induttore ideale

Induttore ideale è un elemento ≥ 0).

• Passivo (-.
• Lineare = la grandezza caratteristica L non dipende dalla grandezza che lo “attraversa” (i), ovvero che anche se i e V variano nel tempo, L rimane una costante.
• Tempo invariante= se l’induttore è ideale, la L non varia nel tempo.

ⅆ()() = ⋅ ⅆ2 [][] [,= ℝ = ] = = [][][H]ℝ []+ −) )ⅈ(0 = ⅈ(0.

Relazione di continuità: = ∑.

Induttore in serie: 1 =.

Induttore in //: 1∑ 6.

Trasformatore ideale

Trasformatore ideale è un elemento ideale (P=0) e passivo.

Caratteristica principale: il trasformatore riesce a variare il valore della tensione/corrente della porta.

--trasformatore primario= porta dove c’è l’alimentazione.

--trasformatore secondario= porta dove si trova qualcos’altro.

→ Se n > 1 trasformatore in discesa (dalla 1° alla 2° porta la V si abbassa) > ⅈ < ⅈ,1 2 1 2.

→ Se n < 1 trasformatore in salita (dalla 1° alla 2° porta la V si alza) < ⅈ > ⅈ,1 2 1 2.

Se la tensione cresce la corrente decresce e viceversa. Se, guardando la porta dove voglio la Req, c’è prima n e poi 1: 2.