Teoria della torsione

Torsione

• Equazioni generali
• Sezione circolare piena
• Sezione circolare cava
• Sez. cave di piccolo spessore - "Teoria di Bredt"
• Sez. quadrate e rettangolari di piccolo spessore
• Analogie tra equazioni, analogia idrodinamica = tubo cavo con liquido all'interno, come si muove il fluido? Ho analogie perché ho le stesse equazioni

1. Generali

Nelle basi ho due forze che risiedono, me ne calcolo le risultanti e vedo N=0; Tx=Ty=0. Momenti flettenti nulli, mentre momento torcente ≠0.

• Ht=Hrz=cost
• N=Tx=Ty=0
• Hx=Mg=0
• Hp: σx=σy=τxy=0
• σxy=0
• σ=0 generato da N e Tx,Ty
• τxz≠0; τyz≠0 generato dal momento torcente
• ∂τzx/∂x + ∂τzy/∂y + ∂σz/∂z = 0
• ∂τzx/∂x + ∂τzy/∂y = 0 derivare parziali
• Tensioni tangenziali devono essere τy an contorno τ=0 => τzx·nx+τzy·ny=0
• Uz=uz(x,y)=w(x,y) => ingobbamento dipende solo da x,y non da z, componente di spostamento unica direzione?
• Nel piano xy la cinematica della sezione è quella di corpo rigido.

ux= -θz(z)·y

uy= +θz(z)·x

Torsione

• Equazioni generali
• Sezione circolare piena
• Sezione circolare cava
• Sez. cave di piccolo spessore - "Teoria di Bredt"
• Sez. quadrate e rettangolari di piccolo spessore
• Analogie tra equazioni

(Analogia idrodinamica - tubo cavo con liquido all'interno, come si muove il fluido? Ho analogie perché ho le stesse equazioni)

1. Generale

Noi rappresentiamo le risultanti sulle due basi. Nelle basi ho due forze che agiscono, me ne calcolo le risultanti e vedo N=0; Tx=Ty=0. Momenti flettenti nulli, mentre momento torcente ≠0.

Hp: σx = σy = τxy=0

N=0 ; Tx=Ty=0

σxy ≠0

∂τzx/∂x + ∂τzy/∂y + ∂²σz/∂x² + ∂²σz/∂y² = 0

Tensioni tangenziali devono essere τy che contorno τz=0 ; τzx·nx + τzy·ny = 0

u2 = uz(x,y) = ω(x,y)

Nel piano x,y la cinematica della sezione è quella di corpo rigido.

ux = -θz·y

uy = +θz·x

(Mi accorgo che c'è torsione perché due sezioni ruotano una rispetto all'altra)

θ(x, z) = θz

Angolo di torsione[.] L_torsione [L^-1]

Metodo semi-inverso

In questo caso si usa metodo degli spostamenti

Soluzione a livello generale

Cinematica

Spostamenti:

u_x = -θz(y)

u_y = +θz(x)

u_z = ω(x, y)

Funz.W_I

COBB

Sarà = 0 se ho sezione piena o sezione cava

Deformazioni

ε_x = ∂u_x/∂x = 0;

ε_y = ∂u_y/∂y = 0;

ε_z = ∂u_z/∂z = 0

Elementini non si allungano e non si accorciano;

γ_xy = ∂u_y/∂x + ∂u_x/∂y = -θz + θz = 0

γ_yz = ∂u_z/∂y + ∂u_y/∂z

γ_zx = ∂u_x/∂z = -θy + ∂ω(x, y)/∂x

Staticità

σ_x = σ_y = σ_z = 0

τ_xy = 0

[τ_zx = Gγ_zx = G][∂ω/∂x - θ_y]

[τ_yz = Gγ_yz = G][∂ω/∂y + θ_x]

Sono sempre vie equaz. generali che mi servono per la soluzione

[Hp] Sezione circolare piena

Noi abbiamo il concetto di simmetria

Potrei avere sia la gialla che la blu

ω = 0

X simm.

In questo caso ho infinite simmetrie:

ho una sola condizione che mi dice che possono andare bene entrambe.

La condizione è dire che ω = 0

(quindi non avv. né girav nel il rosso).

Sfrutto la simmetria del problema.

+ Ora devo calcolare θ.

τ_zx = -G θ y

τ_zy = G θ x

Equilibrio statico:

Mt = ∫_A [-τ_zx y + τ_zy x] df

Mt = G θ ∫_A [y² + x²] df = G θ I_p

x² + y² = R²

I_p= momento d'inerzia polare rispetto al baricentro della sezione.

I_p = Inerzia polare = I_x + I_y

(In una sezione circolare non è facile calcolarsi I_x, I_y)

I_g/2 = I_x = I_y

θ = Mt   G θ I_p

Torsione→ Ricalcolo tutto ←

u_x = -θ_z y = -Mt z y            G θ I_p

u_y = θ_z x = +Mt z x            G θ I_p

u_z = w(x,y) = 0

* Statica *

τ_zx = -Mt z y        I_p

τ_zy = Mt z x       I_p

γ_zx = -θ_y = -Mt y        G θ I_p

γ_zy = θ_x = Mt x        G θ I_p

√(τ_zx² + τ_zy²) = Mt z        I_p

0 ≤ z ≤ R

→ Ha + senso avere sezioni circolari, caso di questa piastra, perché le componenti interne sono:

Sezioni piene hanno braccio piccolo e mi influenzano molto poco la tensione.

I lavorano in più sull'asse con Rmax

sezione che lavora maggiormente.

Andamento a foro

fora

Ho due forze risultanti x bracci che vanno Mt + le parti costanti

Mi fanno molto contributo σ_z

Abbiamo una perfetta analogia con il momento flettente

σ_z = Mt y flex       I_x

τ = Mt r    _p

Anello

τr = Ht/Ip * r

Distorsione

γ = Ht/GIp * r

Sotto azione di γ

Unica def che auto scexa verso il basso e le altre 2 verticali

le γ non cambiano con ϖ

γmax è quando τ = τr

non ho distorsione

Sezione circolare cava

➡ Raggio medio, spessore

R = Re + Ri / 2

Ri = R - b / 2

Re = R + b / 2

b = Re - Ri

➔ Deve esserci una simmetria geometrica e una simmetria delle azioni.

θr = Ht/GIp

Ia = Ip momento d'inerzia polare rispetto a G.

τρ = Ht/Ip * r (me la ricordo come analogia) con la flessione

γ = τr/G = Ht/GIp * r

ϖ = 0

Dipendono dalla variabile τ generico, in questo caso

Ri ≤ r ≤ Re

Ip = 1/2 π(R²e - R²i)

τ(R) = Ht/Ip * R - Ht/1/2π(R²e - R²i) * K

= Ht/2πR³b [4 + 1/4(b/R)²]

⇾ ➡ ➡ Questa dipende da Rmedio

(ho fatto cambio di variabile)

Se b → 0 caso non ha senso casi limite

Se b → R caso sez. circolare piena

r → R ⇾ τ(CR) = τ

Tau media nuovo spessore

Tensione tangenziale media.

Piccolo spessore

Se b << t

Spessore di piccolo spessore

Ho poca differenza tra τ_media e τ_max

Calcolare τ_media e calcolare τ_max

Obiettivo è tenere basse le τ

• Se raddoppio b, nutre e la τ mi diminuisce della metà, meno rispetto a variare dell’area con aumento del raggio
• 2b → τ ≈ 50%
• Se si raddoppia R, l'area diventa 4 volte + grande, quindi la tensione tangenziale diventa il 25% a parità di Mt
• 2R = 4 → τ ≈ 25%

(Meglio)

Nuovo spessore la τ torc.

• È costante

Sezioni cave di piccolo spessore

Teoria di Bredt

Hp: τ() = cost. nuovo spessore

Procedo prendendo un generico punto sulla linea media e misurando la distanza rispetto a un altro generico punto.

Ottengo la distanza massima e ho una misura globale della sezione, per poter dire che b è piccolo

Prendo una sezione generica b() e valuto Hp che qui abbiamo una τ_media che dipende da b → τ()

La τ = Forza / Area

Per trasformare tensione in una forza, la moltiplico per un'area generic. infinitesim... che dipende da b()d

Ora mi serve equivalenza statica tra momento torcente e tensioni tangenziali

M_t = ∫_A (−τ_zx y + τ_zy x) dA

...ma qui non ragiono con τ_nt, ma con una τ resultante.

M_t = ∫_c,m c(ξ), R(ξ) dξ = ∫ c(ξ), R(ξ), b(ξ) dξ

b(ξ_a) = b_a

b(ξ_b) = b_b

−τ_cab_a ∙ A + τ_cbb_a ∙ 1 = 0

τ_cab_a = τ_cbb_b = τ(ξ)b(ξ) = costante

τ(ξ)b(ξ) = cost

M_t = ∫_c,m c(ξ), R(ξ), b(ξ) dξ = τ(ξ)b(ξ) ∫_c,m R(ξ) dξ = τ(ξ)b(ξ) 2Ω = τ(ξ)b(ξ) 2 ∫ dA M_t = τb ∙ 2Ω

τ(ξ) = M_t / 2Ω b(ξ) (Formula di Bredt)

Θ e ω' → non sono semplici da calcolare con Bredt

Come calcolo Θ:

Lo faccio con le relazione di energia:

φ = ∫_A φ_dA dA = 1/2 x²g = 1/2v²g

φ = E x energia x unità di lunghezza

= 1/2G μt²

= 1/2∫_A(μt/2Ωb(ξ))² dA = 1/2A μt² 1/4Ω²b(ξ)² dA =

= 1/2G μt²/4Ω² ∫_A(dA/b(ξ))

∫_Ab(ξ)dξ

= 1/2G μt²/4Ω² = ∫_lm(dξ/b(ξ))

∫_lm dξ/b(ξ)

=> φ = 1/2μt Θ = 1/2 μt⁄G I_p = 1/2μt² G I_p

∼ μt²/G I_p = μt²/2G = μt²/4Ω²

= ∫_lm dξ/b(ξ)

I_p = 4Ω²∫_lm dξ/b(ξ)

x sez. circ. piena ➜ I_p = Mom. Inerz. ruote rispetto a G

x sez. circ. cava ➜ I_p = Geom. delle aree

x sez. circ. sottile ➜ I_p = lunghezza che è

Non è della geometria delle aree della sezione

Applicazione

b=cost

b < a

1) Geom. Aree

Ω = a²

2) Calcolo τ

τ(ξ) = μt / 2Ωb(ξ)

τ = μt / 2ab

Θ = μt / IP

IP = ∫_a^b bξ² dξ

= (a²)²₁/b + 1