Tavola1 Laboratorio di meccanica applicata alle macchine

ESERCITAZIONE 1 ALESSANDRO CARELLA 7077125

In questa prima esercitazione viene richiesto di calcolare per via grafico-analitica il momento frenante esercitato da una forza F agente su di un freno a tamburo, equilibrato, a ceppi flottanti ruotanti in senso orario

Dati

Da tabella assegnata: A = 1 B = 3

Raggio tamburo -> R = (200 + 4 A) mm = 204 mm

Angolo di abbracciamento -> alpha = (100 + B)° = 103°

FA = 30 mm

AB = 3 R = 612 mm

CD = (80 + 0,2 B) mm = 80,6 mm

DH = 200 mm

Coeff. di attrito -> f = 0,3

|F| = 30 kgf

Qui di seguito rappresento lo schema del sistema

Scala 1:30

Scala forza: 1 mm = 1,5 kgf

Il sistema e composto da 7 corpi rigidi e non essendo di peso e necessario verificare le equazioni cardinali della statica, in modo da permettere al tamburo di ruotare e velocita costante tramite l'applicazione di un momento frenante

Equazioni cardinali

1. sum Fi = 0
2. sum Mi = 0

Principio dal corpo 1

Le forze applicate su tale corpo sono:

• F: completamente nota e applicata in H
• R21: reazione vincolare del corpo 2 sul corpo 1 applicata in C, completamente incognita
• R31: reazione vincolare del corpo 3 sul corpo 1 applicata in D, completamente incognita

Per risolvere graficamente l'equilibrio dobbiamo costruire il triangolo delle forze che esso chiude per trovare la forza completa di una forza e quindi le direzioni delle altre due

Per questo motivo passiamo al corpo 2

disegno R32, R12

Su tale corpo sono applicate:

• R12: applicata in C, e pari a -R21 e rappresenta la reazione vincolare del corpo 1 sul corpo 2
• R32: applicata in B, e la reazione vincolare del corpo 3 sul corpo 2

Per rispettare l'equilibrio dobbiamo confermare una coppia (si soddista cosi la I condizione) di braccio nullo (si soddista la II condizione)

Di conseguenza avremo stessa retta di applicazione che sara proprio la retta passante per BC

Torniamo quindi al corpo 1 e costruiamo il triangolo delle forze

Utilizzando il punto K (punto di intersezione ne delle direzioni di F e di R21) troviamo la direzione di R31, ovvero la direzione della retta passante per i punti K e D

Rappresento ora il triangolo delle forze relativo al campo 1

Misurando la lunghezza da vettori e confrontando con la scala indicata otteniamo:

• |R₂₁| = |R₁₂| = 70,5 kgf
• |R₄₁| = |R₃₁| = 81 kgf

Le uguaglianze scritte sopra derivano dall'applicazione del principio di azione e reazione nelle coppie naturali. Per il campo 2 valeva che: R₃₂ + R₂₃ = 0

Risulta quindi: |R₂₃| = |R₃₂| = 70,5 kgf

Analizzo ora il corpo 3

Sul corpo 3 agiscono le reazioni R₂₃, R₄₃, R₀₃

Per l'equilibrio quindi deve risultare:

- R₂₃ + R₄₃ + R₀₃ = 0

e che le rette di applicazione si intersechino in un unico punto

Tuttavia per le reazioni R₂₃ e R₀₃ sappiamo solo che i rispettivi punti di applicazione, ovvero Q e A

Passando al corpo 4, ovvero il corpo, vediamo che esso e sottoposto a 2 reazioni: la reazione R₃₄ applicata in Q a l'opposta a R₄₃ e la reazione R₅₄ pari alla risultante delle reazioni distribuite che riceve dal corpo 5 (tamburello), che e applicata in un punto P₀ (incognito per il momento)

Per l'equilibrio vale: R₃₄ + R₅₄ = 0

Per soddisfare la II condizione sara necessario avere grazie nullo e che le 2 reazioni abbiano stessa retta di applicazione, ovvero quella passante per i punti Q e P₀

Otteniamo la circonferenza di Routh per individuare il punto Po

La circonferenza ha le seguenti caratteristiche:

• Diametro dR = 4R sin(a/2) / (d + sin a) = 230,87 mm
• Tangente in O
• Centro nella bisettrice di d

Per individuare Po includiamo arbitrariamente un punto della circonferenza che chiamiamo K

Da questo punto K tracciamo una retta inclinata di φ, ovvero l'angolo di attrito

φ = tan^-1(f) = 16,70°

Il punto di intersezione tra questa retta e la Circonferenza di Routh e proprio il punto Po

Tracciando la retta passante con Po e Q, abbiamo individuato la retta d'azione della risultante delle forze scambiata tra corpo 4 (cappo) e corpo 5 (turbina)

Trovando al corpo 3

Dal punto di intersezione K delle direzioni di R₂₃ (e R₃₂) e di R₄₃ (e R₃₄) troviamo la direzione di R₀₃, ovvero quella della retta passante per K e A.

A questo punto possiamo costruire il triangolo delle forze.

Rispettando i vettori e confrontando con l'ausilio della scala risulta che:

• |R₀₃| = |R₃₀| = 91,5 kgf
• |R₄₃| = |R₃₄| = 150 kgf

=> Viene cosi verificata la relazione:

R₀₃ + R₄₃ + R₃₂ = 0

Per Q vogliamo 4 vale R₃₄ + R₅₄ = 0, con:

• |R₃₄| = |R₄₃|
• |R₅₄| = 150 kgf

R₅₄ avra come direzione la retta passante per i punti P0 e Q e punto di applicazione Q

Passando al corpo 6, useremo lo stesso metodo usato per lo studio del corpo 4

Costruiamo quindi la circonferenza di Romiti per trovare la retta di applicazione della risultante delle azioni in gioco tra corpo e tamburo

Per il corpo 6 vale R₅₆ + R₃₆ = 0, per cui la retta passante per i punti P₀ e U e la retta di applicazione di R₅₆ e R₃₆

Per conoscenza R₃₆ = - R₆₂, studiamo il corpo 7

Per il corpo 7 vale R₀₇ + R₆₇ + R₁₇ = 0

Conosciamo internamente R₁₇ = - R₂₇ per il principio di azione e reazione

Di R₆₇ = - R₃₆ conosciamo la direzione

Trovo cosi la direzione di R₀₇

direzione R₁₇

direzione R₆₇

direzione R₀₇

Verifico quindi R₀₇ + R₆₇ + R₁₇ = 0 chiudendo il triangolo delle forze

In questo modo riusciamo a misurare (usando la scala di conversione)

|R₆₇| = |R₇₆| = 102,5 kgf

|R₀₇| = |R₇₀| = 106,5 kgf

Cosi completiamo lo studio dell'equilibrio del corpo 6:

R₇₆ = -R₆₇ per il III principio

R₇₆ + R₅₆ = 0 per l'equilibrio che e verificato (II cardinale) perche i corpi si scambiano le forze sulla retta passante per i punti R e U

Ricavamo dunque il corpo 5, che è soggetto all'azione di 3 forze:

• R₆₅ = - R₅₆ con ||R₆₅|| = 169,5 kgf dovuta all'internazione con il corpo 6
• R₄₅ con ||R₄₅|| = 150 kgf ottenuta dallo studio precedente del corpo 4
• R₀₅, ovvero l'azione del telaio incongruente al corpo 5, in O

R₀₅ si può tuttavia ottenere con l'equilibrio del corpo 5, ovvero:

• R₀₅ + R₄₅ + R₆₅ = 0

Il momento che stiamo cercando si ricava calcolando il momento dovuto a R₄₅ e R₆₅ rispetto a O

in scala

b₁ = 0,8 cm

b₂ = 0,7 cm

M_O = ||R₄₅|| · b₂ + ||R₆₅|| · b₁

||R₄₅|| = 150 kgf = 1471,5 N

||R₆₅|| = 169,5 kgf = 1697,925 N

b₁ = 80 mm

b₂ = 70 mm

=> M_O = 214,838 N·m in senso antiorario