Taratura dinamica con ingresso a gradino - Strumento I'ordine - Termocoppia

Confronto dei metodi per il calcolo della costante di tempo di uno strumento del primo ordine

Relazione di laboratorio di misure

Abstract

Lo scopo dell’attività di laboratorio è quello di confrontare diversi metodi analitici per l’identificazione della costante di tempo di uno strumento del primo ordine, in particolare di una termocoppia, le cui specifiche tecniche non sono rilevanti per questo laboratorio. L’attività prevede che, dopo aver preriscaldato un riscaldatore a una temperatura costante, si colleghi la termocamera ad esso e si aspetti che il transitorio in salita terminasse. Infatti, poiché la temperatura iniziale della termocoppia è la temperatura ambiente e quella del riscaldatore è maggiore, è presente un gradino di temperatura che lo strumento, a contatto con la sorgente calda, non legge istantaneamente ma tramite un transitorio che porta, dopo un sufficiente tempo, a una lettura a regime che coincide con l’effettiva temperatura del riscaldatore.

Si esegue il processo tre volte registrando i dati attraverso la scheda di acquisizione myDAQ. Le tre acquisizioni sono composte dai dati relativi alla lettura della termocoppia in Volt di un primo intervallo in cui viene letta la temperatura ambiente, di un secondo intervallo che corrisponde al tempo che ci impiega la termocoppia a compiere il transitorio per portarsi alla temperatura del riscaldatore e infine un terzo che è la lettura dopo aver tolto la termocoppia dal riscaldatore.

Per il calcolo della costante di tempo del transitorio in questione, si utilizzano tre metodi. Il terzo risulta a priori quello più preciso, poiché il primo è fortemente dipendente dall’istante di tempo assegnato come inizio transitorio, mentre il secondo metodo dipende da una derivata calcolata su pochi punti che possono essere affetti da disturbi in quanto sono gli istanti in cui la termocamera entra in contatto con la sorgente calda.

Per quanto riguarda i risultati, τ₂ si discosta significativamente dalla τ₁ e dalla τ₃. Questo scostamento può essere dovuto al motivo sopracitato.

Indice

• Introduzione
  • Modello strumenti del primo ordine
  • Metodi per determinare la costante di tempo
    • Metodo 1
    • Metodo 2
    • Metodo 3
• Corpo del lavoro
  • Strumenti
  • Setup sperimentale
  • Analisi dati
    • Acquisizione e smoothing
    • Identificazione
    • Calcolo costante di tempo
• Conclusioni

1. Introduzione

1.1 Modello strumenti del primo ordine

È possibile modellizzare gli strumenti di misurazione con una equazione differenziale. Nel caso di strumenti del primo ordine, la modellizzazione relativa è un’equazione differenziale del primo ordine a termini costanti:

τ₁ (dy/dt) + y(t) = K (dx/dt)

con:

τ: costante di tempo
Sensibilità statica: S = 0

Inserendo τ e S nell'equazione differenziale di partenza si ottiene:

τ (dy/dt) + y(t) = K (dx/dt)

Risolvendo l’equazione differenziale si ottiene:

y(t) = y₂ + (y₁ - y₂) e^-t/τ

1.2 Metodi per determinare la costante di tempo τ

La taratura di uno strumento del primo ordine consiste nel determinare la sua prontezza, τ, cioè la costante di tempo che si può determinare con i tre seguenti metodi:

1.2.1 Metodo 1

Questo metodo identifica la costante come il tempo per il quale si raggiunge il 63,2% del gradino. Imponendo t = τ, ovvero andando a studiare l’istante di tempo dopo che sia passato un tempo τ dall’inizio del transitorio, la soluzione dell'equazione differenziale diventa:

y(τ) = y₂ - 0,3679 (y₁ - y₂)

[formula 1.2.1] da cui si ricava la costante di tempo τ

1.2.2 Metodo 2

Questo metodo trova la costante come l’ascissa dell’intersezione tra la tangente alla curva in y₀ e la retta orizzontale y₂. Si può dimostrare come la costante di tempo coincida con l’ascissa del punto di intersezione tra la tangente della curva a inizio transitorio (cioè a y₀) e la retta orizzontale y = Kx₂, ovvero il valore a regime.