Studio di serie e sucessioni

Riassunto

Bernoulli

Bernoulli (1+x)^m ≥ 1+mx

Limiti con rapporto

• Se l < 1, a_n → 0
• Se l > 1, a_n → ∞
• Se l = 1, non si sa

Limiti con radice

• Se l < 1, ⁿ√ → 0
• Se l > 1, ⁿ√ → ±∞
• Se l = 1, non si sa

Gerarchia infiniti

l^an < m^an < aⁿ < n! < m^mn

Logaritmo < potenza e esponenziale < fattoriale < M^Mn

Proprietà algebriche

Raccogli i polinomi

Limite notevole

(1 + ^a⁄_n)ⁿ = e

* Ricondurre a questa forma

Altre proprietà

^a⁄_n = [^∞⁄_0⁰] → e^log_na⁄_n = ¹⁄_e^lognM

lim_n→∞ ^a⁄(M+1) = lim_n→∞ ¹⁄_n * quando si somma un valore assoluto a Mⁿ ma non si conta

lim_n→∞ ⁿ√P(n) Radice ennesima di un polinomio → 1

Riassunto

Bernoulli

Bernoulli (1+x)^m ≥ 1+mx

Limiti con rapporto

• Se ℓ < 1, a_n → 0
• Se ℓ > 1, a_n → ∞
• Se ℓ = 1, non si sa

Limiti con radice

• Se ℓ < 1, 2u → 0
• Se ℓ > 1, 2u → ±∞
• Se ℓ = 1, non si sa

Gerarchia infiniti

ln^m < m^a < aⁿ < n! < m^m

Logaritmo < potenza e esponenziale < fattoriale < M^M

Proprietà algebriche

Raccogli i polinomi

Limite notevole

(1 + ^μ/_m)^m = e

* Ricondurre a questa forma

Altre proprietà

μ^1/μ = [∞⁰] → e^logm/μ = ¹/_elog_M

lim _μ→+∞ ⁴/_(M+1) = lim _m→+∞ ¹/_μ * quando si somma un valore assoluto a M² non si conta

lim _m→∞ √^μ(P(μ)) Radice ennesima di un polinomio → 1

Induzione

Es: 3^m < m!

m > 6

1. Per prima cosa si fa il passo base:

Passo base: m = 7

3² < 7!

2187 < 5040 Vero!

2. Si fa il passo induttivo con Ipotesi e Tesi:

Passo induttivo:

Ipotesi: 3^m < m!

Tesi: 3^m+1 < (m+1)! * Nella tesi c'è m+1

3. Andiamo a dimostrare

3^m+1 = 3^m ⋅ 3

3^m ⋅ 3 < m! ⋅ 3

Le seconda parte è le seconda dell'ipotesi

La prima parte è la prima della tesi

Aggiungo il valori in più della prima parte

3^m+1 < 3 (m)! < (m+1)

Valore da portare a destra anche

(m+1) m! = (m+1)!

Sostituisco perché m+1 è sicuro > 3

Dato che m > 6

⇒ 3^m+2 < (m+2)!.

Induzione con k

c.s.    _∑ⁿk=1 (2k - 1) = m²

Passo base:    K = 1, m = 1

2 - 1 = 1²    Vero!

Passo induttivo:

Ipotesi:    _∑ⁿk=1 (2k - 1) = m²

Tesi:    _{∑ⁿ⁺¹k=1} (2k - 1) = (m + 1)²

* Serie che arriva a n + 1

_{∑ⁿ⁺¹k=1} (2k - 1) = _∑ⁿk=1 (2k - 1) + 2(n+1) - 1

= m² + 2m + 2 - 1 = m² + 2m + 1 = (m + 1)²

Sostituisco serie che va fino ad n con il suo valore

Valore della successione in n + 1

Successioni monotone

Teorema

Sia a_n una successione debolmente crescente allora a_n ha limite in &Ropf; (∪{+∞})

a_n → L = sup {a_n | n ∈ &Nopf;} ** e viceversa con debolmente limite

Teorema di esistenza del limite di funzioni monotone

{a_n} è monotona crescente e limitata quindi

∃ L ∈ &Ropf;: lim _n→+∞ a_n = L

Studio della serie

Studio della serie ∑_n=8^∞ a_n

1. Si controlla se è del ⁿ_n ≥ 0

A segno alterno

A segno qualunque

Si fa il limite della serie

lim_n→∞ a_n → 0

*Se fa 0, potrebbe convergere

Se non fa 0, non converge

Se c’è la condizione necessaria dobbiamo controllare se converge effettivamente

Condizione necessaria per la convergenza

Se ∑ a_n converge a ℓ &in; R Allora a_n → 0

Comportamento serie definⁿ≥0

Serie note:

1. Geometriche → qⁿ

Se -1 < q < 1, converge a 1/1-q

Se q ≥ 1, diverge a &plus;∞

Se q = -1, non esiste

Somma della geometrica

Es.: ∑_n=2^∞ (1/2)ⁿ

Geometrico con -1 < q < 1

Somma = ∑_n=0^∞ (1/2)ⁿ - (1/2) - (1/2)¹ (1/2)⁰ = 1/1-1/2 - 1/2 - 1 = 1/2

2) Telescopiche

* Ricondurre la serie ad una forma del tipo

Es: _Σk=2 ¹⁄_M - ¹⁄_M+1

* Fare somme parziali fino a che non iniziano a semplificarsi

Es: S₄ = (1 - ¹⁄₂) + (¹⁄₂ - ¹⁄₃) + (¹⁄₃ - ¹⁄₄) = 1 - ¹⁄₄

* Trovare la formula generale

Es: 1 - ¹⁄_K = S_k!

La somma della telescopica * è il limite della formula generale

Es: lim_k→∞ 1 - ¹⁄_μ = 1 → Somma

∞_Σm=2 a_m converge a 1

3) Armoniche generalizzate

→ ¹⁄_M^α se α > 1, converge

Se α ≤ 1, diverge

4) Armoniche logaritmiche

→ ¹⁄_M^αlogβM

• α > 1   ∀ β   Converge
• α = 1   β > 1   Converge
• α = 1   β ≤ 1   Diverge
• α < 1   Diverge

5) Rapporto

Se ^2u/_2u → l ∈ &reals; allora

• Se l < 1, Σ2u converge
• Se l > 1, Σ2u diverge
• Se l = 1, non si sa

* Si usa se ci sono prodotti tra fattoriali, es^u, pol, m^m

5) Radice

Se √ⁿau → l ∈ &reals; allora

• Se l < 1, Σdu converge
• Se l > 1, Σdu diverge
• Se l = 1, non si sa

* Si usa se c'è m^m o d^* spesso

6) Confronto

0 ≤ du ≤ bu

• Se Σdu diverge ⇒ Σbu diverge
• Se Σbu converge ⇒ Σdu converge

7) Confronto asintotico

du ~ bu

lim_u→∞ du/bu = l ∈ &reals;

l ≠ 0, l ≠ ∞

Se è un numero ≠ 0 o ∞ si può usare sicuro si prova il confronto normale (se muore, altro)

Si studia la nuova serie Σbu a se

• Se Σbu converge ⇒ Σ au converge
• Se Σbu diverge ⇒ Σ du diverge

Condensazione di Cauchy

Si usa spesso se ci sono prodotti tra logaritmi o log(log x)

∑a_n ~ ∑_2ⁿa_2ⁿ

Es: 1 / (μ logμ)(log(logμ))³

Uso Cauchy:

2ⁿa_2ⁿ = 2^t 1 / 2ⁿ(log2ⁿ)(log(log2ⁿ))³

Moltiplico tutto per 2ⁿ

Sostituisco 2^t ad n

Comportamento serie a segno variabile

Convergenza assoluta

Studio ∑|a_n| al posto di ∑a_n

Studio ∑|a_n| come nuova serie e "term ≥ 0"

Se ∑|a_n| converge => ∑a_n converge assolutamente

Se ∑|a_n| diverge => ∑a_n non sappiamo cosa fa

Comportamento serie a segno alterno

Convergenza assoluta

Come prima

Spesso si applica prima e poi Leibniz

Leibniz

Si usa quando c'è (-1)ⁿ per qualcosa di ≥ 0

∑(-1)ⁿ d_n (qualcosa)

• (i) d_n ≥ 0 deve
• (ii) d_n decrescente devi
• (iii) d_n -> 0

Se sono tutte vere => ∑d_n converge (non assolutamente)

Successioni per ricorsione

Es:

a₁=3

a_n=√2a_n+2

• (i) Dimostrare per induzione che a_n>2 ∀n∈N
• (ii) {a_n} monotona decrescente senza induzione
• (iii) Lim a_n

Induzione normale

*(i) Passo base a₁>2 3>2 Vero!

Passo induttivo:

Ipotesi: a_n>2

Tesi: a_n+1>2

a_n+1 = √2a_n+2 > √2⋅2 + 2

2a_n+1>√4=2

⇒ Tesi: 2a_n+1>2 Vero!

(ii)

2a≥2a_n+1

2a≥√2a+2

2a²≥2a+2

2a²−2a−2>0

2a<−1 ∨ 2a≥2 non!

Ci va bene!