Statistica medica - Indici, grafici, probabilità e test diagnostici

Statistica

La statistica si occupa dei dati e della loro analisi, rendendo visibile natura e significato delle informazioni ad essi associati.

Statistica descrittiva – metodi e tecniche per l'esplorazione e la sintesi dei dati.

Inferenza statistica – metodi e principi per inferire le caratteristiche generali di un fenomeno osservando una parte di manifestazioni dello stesso.

In statistica si hanno tre "oggetti" importanti:

• Unità statistica – l’oggetto dell’osservazione.
• Variabile – carattere dell’unità statistica che può venire assumendo almeno due espressioni diverse.
• Modalità – espressione unica di una variabile in un’unità.

Matrice dei dati

Righe = unità statistiche

Colonne = variabili

Celle = modalità

Variabili

• Qualitative – modalità in forma di nomi, aggettivi, ecc.
• Nominale – non ordinabile: (gruppo sanguigno).
• Ordinale – ordinabile: (livello di istruzione).
• Quantitative – modalità espresse come numeri.
• Discrete – valori finiti rappresentati con numeri interi: (numero di figli).
• Continue – valori infiniti, risultanti di una misurazione: (altezza).

Statistica

La statistica si occupa dei dati e della loro analisi rendendo visibile natura e significato delle informazioni ad essi associati.

Statistica descrittiva - metodi e tecniche per l'esplorazione e la sintesi dei dati.

Inferenza statistica - metodi e principi per inferire le caratteristiche generali di un fenomeno osservando una parte di misurazioni dello stesso.

In statistica si hanno tre "oggetti" importanti:

• Unità statistica - l'oggetto dell'osservazione.
• Variabile - carattere dell'unità statistica che può variare assumendo almeno due espressioni diverse.
• Modalità - espressione unica di una variabile in un'unità.

Matrice dei dati

Righe = unità statistiche

Colonne = variabili

Celle = modalità

Variabili

• Qualitative - modalità in forma di nomi, aggettivi, ecc.
• Nominale - non ordinabile (gruppo sanguigno).
• Ordinale - ordinabile (livello di istruzione).
• Quantitative - modalità espresse come numeri.
• Discrete - valori finiti, rappresentati con numeri interi (numero di figli).
• Continue - valori infiniti, risultati di una misurazione (altezza).

Distribuzioni

Rappresentano i modi in cui le modalità si distribuiscono in ogni unità.

Distribuzione per unità: modalità osservate in ciascuna unità.

Titolo di studio

• Media superiore
• Media superiore
• Laurea triennale
• Laurea magistrale

Distribuzione di frequenze

Distribuzione di frequenze: insieme delle coppie (modalità, frequenze).

(sj) Frequenza assoluta: numero di osservazioni di una modalità xj della variabile X.

Le coppie (xj, gj) si possono rappresentare come distribuzione di frequenze assolute.

(pj) Frequenza relativa: frazioni di unità che presentano la modalità xj della variabile X.

Se moltiplicato per 100 si ottengono le frequenze percentuali.

Per le distribuzioni di frequenze su variabili quantitative è necessario dividere le classi di modalità, ovvero intervalli contigui e disgiunti di modalità:

[x₀; x₁), [x₁; x₂), [x₂; x₃) ... [x_k; x_k+1)

Per fare ciò si ordinano le modalità, si definiscono le classi e si contano le modalità in ogni classe.

Indici di tendenza centrale

Moda ➞ modalità a cui è associata la frequenza assoluta più grande.

Mediana ➞ modalità associata all'unità statistica in posizione centrale.

Quantili ➞ dividono le modalità in quattro: il primo quantile (Q₁) è il limite superiore del 25%, il secondo quantile (Q₂) coincide con la mediana ed è il limite superiore del 50%, e il terzo quantile (Q₃) è il limite superiore del 75%.

Valore minimo 25% 25% 25% 25% Valore massimo.

Media ➞ somma dei valori diviso il numero di valori:

M = x_i / N media semplice.

M_p = x_i g_i / g_i media ponderata.

La media è poco robusta perché risente molto di ciò che succede nelle code della distribuzione, a differenza della mediana che risente poco.

12 12 12 16 18 19 28 35 38 38 40

Moda: 12 Media: 24,4 Mediana: 18

Q₁: 12 Q₂: 19 Q₃: 38

Indici di dispersione

Range - differenza tra il valore massimo e il valore minimo.

Range interquartile - differenza tra il primo e il terzo quartile.

Varianza - misura del quadrato degli scarti dalla media.

var = σ² = ^{∑(x_i - x̄)²} / _{N - 1}

Deviazione standard - deriva dalla varianza sotto radice.

DS = σ² = √var = √^{∑(x_i - x̄)²} / _{N - 1}

Coefficiente di variazione - rapporto tra la deviazione standard e il valore assoluto della media.

CV = ^σ / _|x̄|

Rappresentazioni grafiche

• Variabile qualitativa nominale → diagramma a torta o a barre.
• Variabile qualitativa ordinale → diagramma a torta o a barre.
• Variabile quantitative discrete → diagramma a barre.
• Variabile quantitative continue → istogramma.

Diagramma a torta

Utile a rappresentare le frequenze relative dividendo un cerchio in settori il cui angolo al centro è proporzionale alla frequenza relativa della modalità corrispondente.

p₁ = 0,25 , α = 90°

p₂ = 0,375 , α = 135°

p₃ = 0,375 , α = 135°

Σ = pᵢ = 360°

Diagramma a barre

Si forma con rettangoli disgiunti con altezze proporzionali alle frequenze (relative o assolute).

s₈ = 9

sᵦ = 4

s = 6

s = 7

Istogrammi

Costruito con rettangoli che hanno come base l'ampiezza delle classi d e altezza la densità di frequenza (distinguendosi per l'area che rappresenta la frequenza relativa).

A -> = A

A -> b

(a) Se le delle classi f uguale, si costruisce un istogramma a basi uguali.

(b) Se le f P sono simili, le f sono variabili, si disegnano rettangoli con aree uguali ma basi e altezze diverse.

(a) (b)

Grafico scatola e baffi o box plot

Viene utilizzato per confrontare due grafici paragonando gli indici visivamente.

• Forma costruendo i punti base.
• Una scatola che racchiude valori tra Q₁ e Q₃ (amp. interquartile).
• I baffi, esterni alla scatola da Q₁ e al valore minimo e da Q₃ al valore massimo.
• Una linea orizzontale nella scatola, altezza di Q₂ (mediana).

In caso di valori estremi "lontani" dagli altri si indicano come punti esterni, detti outlier.

Outlier valore massimo Q₃ Q₂ Q₁ valore minimo.

Grafici box plot a confronto.

Diagramma di dispersione

Viene utilizzato per rappresentare distribuzioni doppie di misure quantitative per misurare la correlazione e valutare lo senso della loro associazione.

La covarianza (cov) indica la relazione tra le variabile.

_{COV = ∑(xi - X̄)(yi - Ȳ) / n-1}

• COV > 0 relazione diretta.
• COV < 0 relazione inversa.
• COV = 0 nessuna relazione lineare.

Si utilizza il coefficiente di correlazione lineare di Pearson per indicare quanto è lineare la correlazione.

_{r = COV(x,y) / DS(x) . DS(y)}

(Assume valori tra -1 e 1)

• r = 1 relazione diretta perfetta.
• r = -1 relazione inversa perfetta.
• r = 0 nessuna relazione lineare.

Tabelle di contingenza

Tabelle di contingenza utilizzate per rappresentare due variabili qualitative e determinare eventuali legami tra i due.

Frequenze assolute: No (32), Sì (25)

Frequenze marginali: Totale (38), Totale (19)

Le frequenze assolute possono portare a ottenere le frequenze relative percentuali dividendo per le frequenze marginali.

Si possono rappresentare con diagrammi a barre o diagrammi a nastro per paragonare le variabili.

Probabilità

Definizione classica - se un esperimento può avere n possibili esiti che, escludendo a vicenda ed equamente possibili, e se m di questi esiti hanno la caratteristica A, si definisce probabilità di A il rapporto m/n.

Definizione frequentista - se si ripete un esperimento n volte e un evento con caratteristica A si verifica m volte, la frequenza relativa m/n è approssimativamente la probabilità di A.

Definizione soggettiva - la probabilità dell'evento A misura il grado di fiducia che un individuo ripone nel verificarsi di determinati eventi, in base alle proprie conoscenze.

La probabilità P(A) esprime l'incertezza relativa al verificarsi di un evento.

P(A) è sempre compresa tra 0 e 1.

Se P = 1 l'evento è certo.

Se P = 0 l'evento è impossibile.

Eventi complementari

Due eventi A e A̅ sono complementari quando il verificarsi di A esclude il verificarsi di A̅ ma uno dei due si verifica sicuramente.

P(A) + P(A̅) = 1

P(A̅) = 1 - P(A)

Unione di due eventi

Se A e B sono incompatibili (non possono verificarsi contemporaneamente)

P(A∪B) = P(A) + P(B)

Se A e B non sono incompatibili:

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

Intersezione di due eventi

Se A e B sono indipendenti: (il verificarsi di A non influenza B)

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B)

Se A e B non sono indipendenti:

P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B|A) = P(B) ⋅ P(A|B)

dove P(B|A) è la probabilità condizionata di B dato A e P(A|B) viceversa.

Teorema di Bayes

Dato P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B|A) = P(B) ⋅ P(A|B)

Si ha P(A|B) = P(A) ⋅ P(B|A) / P(B) in cui P(A) è la P a priori di A.

P(A|B) è la P a posteriori di A e P(B|A) / P(B) è la verosimiglianza di B dato A.

P(B) = P(B|A) ⋅ P(A) + P(B|A^▁) ⋅ P(A^▁) quindi il Teorema di Bayes è:

P(A|B) = [P(A) ⋅ P(B|A)] / [P(B|A) ⋅ P(A) + P(B|A^▁) ⋅ P(A^▁)]

Test diagnostici

La qualità di un test diagnostico è misurata da sensibilità e specificità ottenuti attraverso esperimenti che confrontano le misure con un gold standard.

Sensibilità - probabilità che il test risulti positivo dato che il soggetto è malato (H).

P(+|H) = ^a/_a+c

Specificità - probabilità che il test risulti negativo dato che il soggetto è sano (S).

P(-|S) = ^d/_b+d

Falso positivo - test risulta positivo su un soggetto sano (S).

P(+|S) = ^b/_b+d

Falso negativo - test negativo su un soggetto malato (H).

P(-|H) = ^c/_a+c