Scienza delle costruzioni - prima parte

Scienza delle costruzioni

Lezione 1

Modello di trave 1d - Equilibrio - PLV - Roto rigido piano.

Strutture a telaio: assemblaggi di travi (oggetti tridimensionali con la caratteristica di avere una dimensione predominante).

Passiamo a rappresentazione unidimensionale. (Travi ad asse rettilineo)

A e B sono i baricentri delle sezioni agli estremi. Il segmento AB unisce tutti i baricentri delle sezioni.

La struttura trasferisce carichi (Forze) alla fondazione.

Geometria delle aree

Momenti statici

Momenti statici (o di primo ordine): si prende la sezione e si suddivide in elementini infinitesimi di area.

Si prendono questi elementini e vengono pesati per la distanza dagli assi.

S_y = (momento statico rispetto y) = ∫_A z dA

• Contributo pos.
• Contributo negativo

S_z = ∫_A y dA

Scienza delle costruzioni

Lezione 1

Modello di trave 1d - Equilibrio - PLV - Roto rigido piano.

Strutture a telaio: assemblaggi di travi (oggetti tridimensionali con la caratteristica di avere una dimensione predominante.)

A e B sono i baricentri delle sezioni agli estremi. Il segmento AB unisce tutti i baricentri delle sezioni.

La struttura trasferisce carichi (Forze) alla fondazione.

Geometria delle aree

Momenti statici

Momenti statici (o di primo ordine): si prende la sezione e si suddivide in elementini infinitesimi di area.

Si prendono questi elementini e vengono pesati per la distanza dagli assi.

S_y = (momento statico rispetto y) = ∫_A z dA

S_z = ∫_A y dA

• □: Contributo pos.
• □: Contributo negativo

Due coppie di assi y,z è baricentrale se S_y = S_z = 0

Imponendo questa condizione, si può ricavare il baricentro.

Se ho una geometria simmetrica rispetto y, y è asse baric. tale.

S_y = S_z = 0 basta individuare la posizione di z per avere il baricentro.

Momenti di inerzia

Momenti di inerzia (2^o ordine)

Si definiscono in maniera analoga. La differenza è che i momenti statici si definiscono come elemento d'area per la distanza, in quelli di inerzia si considererà il quadrato della distanza.

I_y = ∫_A z² dA > 0

I_z = ∫_A y² dA

Mom. d'inerzia misto I_yz = ∫ yz dA

Se I_yz = 0 ⇒ y e z sono assi principali di inerzia.

Se definiamo la trave in un sistema di assi principali di inerzia possiamo analizzare la struttura separatamente nei vari piani e poi si fa somma algebrica dei risultati.

Per risolvere ci bastano aree e momenti di inerzia (A, Ix, Iy)

Definire carichi (sollecitazioni)

Carichi / azioni esterne

Il peso proprio della struttura fa parte delle forze di volume

Massa x forza di gravità

F vettore che agisce su ogni elemento [N/m²]

Se mi riferisco al caso monodimensionale posso far riferimento alla risultante di tutte le F.

R_V = ∫_V E dV = ∫_l E dA dx == ∫_l E dA dx

p forza per unità su lunghezza [N/m]

Forze di superficie

Forze di superficie:

Sono quelle forze che le aste si scambiano in corrispondenza dei nodi.

Le forze di superficie possono avere diversa direzione

f (pressione) [N/m²]

Anche in questo caso posso considerare una risultante delle f. equivalenti

R_fx^B = ∫_A f_x dA

R_fy^B = ∫_A f_y dA

W^B = coppia = ∫_A y f_x dA

Forze ed equilibrio

Forze →

Sono direttamente collegate all’equilibrio

Condizione essenziale x le strutture

L’equilibrio viene formulato tramite l’equazione cardinale della statica ∑ R_ix = 0 ∑ R_iy = 0 ∑ M_q = 0

→ La somma delle forze in direzione x nulla (sia di superficie che di volume).

Altra formulazione: l'equilibrio di un sistema di forze nel piano è soddisfatto se sono nulli i momenti rispetto 3 punti che non siano allineati tra loro.

ΣM_a = 0

ΣΠ_z = 0

ΣΠ_t = 0

Vincoli / reazioni vincolari

Incastro

Se spostamenti e rotazioni sono nulli significa che ci sono delle forze.

S_x = 0

S_y = 0

θ_a = 0

Abbiamo 3 condizioni sugli spostamenti (e quindi sulle forze)

Vincolo triplo

R_x ≠ 0

W_f ≠ 0

R_y ≠ 0

=> queste forze sono quelle che garantiscono l'equilibrio

Cerniere

(Doppi)

1) Cerniera semplice S^A_x ≠ 0 → R^A_x ≠ 0 S^A_y = 0 → R^A_y ≠ 0 Θ