Scienza delle costruzioni - Appunti completi

Scienza delle costruzioni

Introduzione agli aspetti cinematici

Struttura labile e struttura fissa.

Introduzione agli aspetti statici

Ipostaticità, isostaticità, iperstaticità.

Definizione del modello del problema strutturale

Elementi e tipologie strutturali, sezioni, materiali, carichi, vincoli.

Risposta strutturale

Concetto di equilibrio, reazioni vincolari, deformabilità strutturale e meccanismi di collasso. Cenni sulla modellazione numerica. Schematizzazione del problema strutturale nei sottoproblemi fondamentali.

• Studia la risposta strutturale dei corpi solidi soggetti a sollecitazioni esterne
• Tale risposta si realizza tramite deformazioni e sollecitazioni interne ed esterne (attive o vincolari). Le sollecitazioni esterne attive sono carichi (permanenti, accidentali come persone, mezzi, vento) che hanno risposta elastica, eccezionali (terremoti) che non hanno risposta elastica.
• La variazione della forma implica spostamenti relativi ed assoluti dei punti del corpo.

La risposta strutturale è determinata da:

• Equilibrio (vincoli)
• Geometria (forma del corpo)
• Proprietà del corpo (struttura molecolare e atomica, sia fisica che chimica)

Vincolo: reagisce alle sollecitazioni esterne applicate, imprimendo al corpo ulteriori sollecitazioni dette reazioni vincolari. Esse sono a priori incognite.

Sistema isostatico

Sistema in cui i vincoli non sono sovrabbondanti dal punto di vista cinematico e il calcolo delle reazioni vincolari può eseguirsi considerando il corpo rigido. Applico le sole equazioni cardinali della statica.

Funzione statica del vincolo: risponde ai carichi applicati.

Sistema iperstatico

Sistema in cui i vincoli sono sovrabbondanti e il calcolo delle reazioni vincolari necessita di considerare il corpo deformabile. Applico le equazioni di equilibrio e le equazioni di congruenza.

Funzione cinematica del vincolo: impedisce atti di moto.

Equazioni di congruenza: si ottengono eliminando i vincoli sovrabbondanti, sostituendo ad essi le reazioni vincolari da essi esplicitate e imponendo il rispetto dei vincoli eliminati.

Risposta strutturale di corpi soggetti a carichi

• Classificazione (vincoli, moti rigidi, possibilità di equilibrio)
• Reazioni vincolari (equilibrio statico + deformabilità + congruenza)
• Parametri di sollecitazione interna (forze su sezioni ideali) (= integrale della tensione)
• Tensioni, deformazioni
• Spostamenti del corpo
• Verifiche di resistenza (che la tensione non rompa il materiale su tutti i punti)
• Verifiche di deformabilità (gli spostamenti rientrino nei limiti del progetto)

Elementi strutturali

• Monodimensionali
  • Fune: elemento strutturale per il quale vige solo forza di trazione. La deformazione deriva dal carico applicato.
  • Trave (pilastro): elemento per il quale le dimensioni trasversali sono minori rispetto a quelle longitudinali. Vantaggio: ha forma propria ed in fase di carico mantiene la sua geometria molto prossima a quella iniziale. Capace di avere minime deformazioni (dipende dal materiale).
  • Arco: elemento che possiede una linea d'asse continua. Vi è una sollecitazione di trazione e la risultante delle forze cade sempre sulla base in contatto tra un blocco e l'altro.
  • Catenaria: elemento corrispondente all'arco ma invertito
• Bidimensionali: elementi in cui una dimensione è più piccola delle altre, chiamata spessore.
  • Piastra (solaio): elemento nel quale i carichi agiscono ortogonalmente al suo sviluppo.
  • Lastra (muratura portante): elemento nel quale i carichi agiscono ortogonalmente al suo piano.
  • Volte: elementi bidimensionali precedentemente descritti ma curvi.
• Tridimensionali: mensola forzata

Tipologie strutturali

Gli elementi strutturali descritti si uniscono per formare le seguenti tipologie strutturali:

• Ossatura portante: elementi monodimensionali composti tra di loro per formare un telaio.
  • Reticolare (travi collegate da cerniere)
  • Intelaiata (travi reciprocamente incastrate)
  • Ad arco

Classi strutturali

Meccanismi di collasso delle strutture:

• Svergolamento (instabilità dell'equilibrio elastico): elementi molli sottoposti a compressione. Improvviso.
• Snervamento (plasticizzazione): localizzato.
• Frattura fragile (pericolosa): locale ma si propaga globalmente. Improvvisa.

Geometria delle aree

Definizione delle proprietà geometriche e loro determinazione: baricentro, momento statico, momento d'inerzia e centrifugo, nocciolo centrale d'inerzia, direzioni e momenti principali di inerzia. Leggi di trasformazione, effetti dovuti a presenza di simmetrie.

Momenti del 1° ordine (momenti statici)

Sistema discreto, sistema continuo.

Sistema continuo (μ=1):

m dm = μ dA dm = dA_i

M = ∑ m M = ∫ μ dA M = ∫ dA_i

Momenti statici:

• S = ∑ m y S = ∫ μ y dA S = ∫ y dA_X i i X
• S = ∑ m x S = ∫ μ x dA S = ∫ x dA_Y i i Y

Distanza dell'elemento dall'asse di riferimento. S_x aumenta all'aumentare della distanza dall'asse. Se S_x=0 → x è l'asse baricentrico.

Baricentro:

• x = S / M x = S / ∫μdA x = S / A_{G Y G Y G Y}
• y = S / M y = S / ∫μdA y = S / A_{G X G X G X}

Momenti del 2° ordine (momenti d'inerzia, centrifugo, polare)

Momenti d’inerzia:

• I = ∑ m y² I = ∫ μ y² dA I = ∫ y² dA_X i X X
• I = ∑ m x² I = ∫ μ x² dA I = ∫ x² dA_Y i Y Y

Mom d'inerzia:

• I_X,Y = I_Y,X = ∑ m x y I = ∫ μ x y dA I = ∫ x y dA = 0 se asse simmetrico
• εI = I_X0,Y0, I ≠ 0 → ± π/4 , lati uguali (L)
• εI = I_X0,Y0, I = 0 → indefinito , giroscopiche (□, O)

Mom. d’inerzia polare:

I_P = ∑ m r² I = ∫ μ r² dA I = ∫ r² dA = I_X + I_Y

Raggio d’inerzia

• ρ = √(I / ∑m) ρ = √(I / ∫μdA) ρ = √(I / ∫dA)_{X Y i X Y X Y} (~ baricentro)
• ρ = √(I / ∑m) ρ = √(I / ∫μdA) ρ = √(I / ∫dA)_{Y X i Y X Y X}

Leggi di trasformazione del sistema di riferimento

Traslazione:

• ξ = x₀ + x_G ξ = x₀ cos + y₀ sen
• η = y₀ + y_G η = y₀ cos – x₀ sen

ε = (I_X0 + I_Y0 / 2) + ½ √((I_X0 – I_Y0) + 4 I_X0,Y0)

η = (I_X0 + I_Y0 / 2) – ½ √((I_X0 – I_Y0) + 4 I_X0,Y0)

Ellisse centrale di inerzia

• Origine nel baricentro G della sezione piana
• Assi coincidenti con quelli centrali di inerzia ε, η
• Semialberi corrispondenti ai raggi di inerzia X, Y

Esercizi

• Calcolo dell'area A
• Coordinate del baricentro x_G, y_G
• Orientamento del sistema principale
• Momenti principali di inerzia I_X, I_Y, I_X,Y
• Raggi giratori dell'ellisse centrale di inerzia P_X, P_Y

Cinematica e statica dei sistemi di travi

Gradi di libertà di un corpo rigido. Vincoli elementari esterni ed interni: rappresentazione grafica e aspetti cinematici connessi. Classificazione delle strutture mediante analisi cinematica: 1° e 2° teorema delle catene cinematiche. Equazioni cardinali della statica. Definizione statica dei vincoli piani, schema riassuntivo per l'analisi statica e cinematica.

Gradi di libertà (GDL): rappresenta il numero di coordinate generalizzate necessarie e sufficienti a rappresentare la configurazione. Un sistema a y gdl potrà disporsi in ∞ differenti configurazioni. Il vincolo riduce i gradi di libertà (GDL = gld – v) (v = 2(n-1)). Se il punto è costretto a muoversi su di una superficie dello spazio di equazione f(x,y,z)=0, si dice vincolato e i suoi gradi passano da 5 a 2. Contare i gld va sempre bene ma bisogna controllare mal disposizioni vincolari. Centro istantaneo di rotazione: unico punto del piano che non subisce spostamento. Possiamo quindi rappresentare un qualsiasi movimento di un corpo rigido attraverso una rotazione attorno ad esso.

Composizione dei vincoli esterni

• Vincolamento labile (L>1): i vincoli sono insufficienti a bloccare nel piano il corpo rigido.
• Vincolamento isostatico (fissa. L<1): i vincoli sono strettamente sufficienti a bloccare nel piano il corpo.
• Vincolamento iperstatico (fissa. L<1): i vincoli sono sovrabbondanti a bloccare nel piano il corpo.
• Vincolamento maldisposto: avviene quando vincolamenti apparentemente isostatici o iperstatici risultano poi essere labili.

Catena cinematica: unione di più membri ottenuti con coppie cinematiche, in modo che, fissata la velocità relativa di un membro ad un altro qualsiasi, risultino univocamente determinate le velocità relative di tutti gli altri membri, cioè fissato uno dei membri, il sistema ha un solo grado di libertà (L=1), ovvero una struttura una volta labile.

1° teorema delle catene cinematiche

Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema meccanico (di almeno 2 corpi) sia una volta labile è che per ciascuna coppia di corpi rigidi i centri assoluti di rotazione Ca, Cb e quello relativo Cab siano allineati.

2° teorema delle catene cinematiche

Condizione necessaria e sufficiente perché il sistema meccanico (di almeno 3 corpi) sia una volta labile è che per ciascuna terna di corpi rigidi a,b,c i centri relativi Cab, Cac, Cbc siano allineati.

Esercizi

• Identificazione e calcolo del numero n di elementi strutturali
• Calcolo dei gradi di libertà del sistema piano, G=3n
• Identificazione dei vincoli esterni ed interni e il loro numero V_E, V_I
• Calcolo numero totale vincoli V
• Calcolo gradi di labilità L=G-V ALMENO (in caso di ben disposizione dei vincoli)
• Classificazione cinematica struttura (analisi condizione vincoli, impiego teoremi catene cinematiche)
• Tracciamento configurazione spostata della struttura scegliendo una componente di spostamento a piacere
• Tracciamento proiezioni orizzontali e verticali componenti di spostamento (utile per applicazione PLV)

Calcolo delle reazioni vincolari per strutture isostatiche

Metodo generale, metodo delle equazioni ausiliarie. Calcolo delle reazioni vincolari mediante il Principio dei Lavori Virtuali.