Schema della teoria per esame di Scienza delle costruzioni

Deformazione

′ ′∆ −∆ ∆ −∆

Elongazione; = = lim ∆ ∆→ ′

Scorrimento angolare = − lim 2 → →

Cerchio di Mohr

Cerchio di Mohr 2 −2 √( 2 2 2 ;( )− + = = ) + ′ ′ ′ 2 −

Tensione tangenziale massima assoluta = 2 +

Tensione normale media associata = 2

Stessa cosa per deformazione

Legge di Hooke ed energia di deformazione

Legge di Hooke = = à1 1

Energia di deformazione: ∆ = ( ∆) ∙ ∙ ∆ = ( ∙ ∆ ∙ ∆) ∙ ∙ ∆2 2 2∆ 1

Densità di energia di deformazione: Se elastico lineare (legge di Hooke) = = ∙ =∆ 2 2

Coefficiente di Poisson: Rapporto tra deformazione longitudinale e trasversale = −

Legge di Hooke per taglio G=modulo di elasticità tangenziale = = 2(1+) 1′ ′′ ′′′

Legame costitutivo generalizzato ; ; => = = − = − = [ − ( + )]; = 1 1)];[ − ( + = [ − ( + )] Legge di Hooke generalizzata per uno stato di tensione triassiale qualunque

Principio di Saint-Venant

Principio di Saint-Venant

• Considerare lo stato tensionale agente sulle sezioni del corpo a distanza sufficiente dai punti di applicazione dei carichi (no deformazioni locali)
• Modulo E costante (ipotesi di omogeneità del materiale)
• Area della sezione costante

Deformazione elastica di un’asta caricata assialmente

Deformazione elastica di un’asta caricata assialmente (N)

Per esempio, consideriamo una trave soggetta a forze concentrate all’estremità e un carico distribuito variabile. Stiamo considerando una serie di piccoli conci consecutivi dx e area = , trasversale A(x). La forza interna risultante N(x) causa la configurazione deformata del concio infinitesimo. Lo spostamento infinitesimo del concio infinitesimo è Da qui otteniamo la tensione. e la deformazione.

() ;= =()

Questi valori, se inferiori al limite di proporzionalità, sono correlati dalla legge di Hooke: = () (); pag. 247= =() () ()

Per ottenerla sull’intera lunghezza L la integro: = ∫0 ()

Applico ipotesi di Saint Venant e integro l’equazione: = (

Principio di sovrapposizione degli effetti

Principio di sovrapposizione degli effetti applicabile unicamente se verificate queste ipotesi:

• Geometria non subisce modifiche
• Le relazioni tra azioni e tensioni sono lineari)

Tensioni dovute a variazioni di temperatura

Tensioni dovute a variazioni di temperatura:

• Variazioni di volume dipendono linearmente da quelle di temperatura
• Ipotesi: materiale omogeneo e isotropo

Si dimostra sperimentalmente che: = ∆; = . Se si tratta di un calcolo per concio, la si deve integrare: = ∆∫ 0

Torsione

Torsione

Circonferenze trasversali e segmenti longitudinali si deformano.

Circonferenze rimangono uguali, ma i segmenti si trasformano in eliche che incontrano le circonferenze in angoli uguali. Le sezioni di estremità rimangono piane e le fibre radiali rimangono rettilinee. Per piccole variazioni dunque si assume non varino la lunghezza e il raggio della trave e che le fibre longitudinali rimangano rettilinee.

Consideriamo la trave incastrata ad un estremo. La generica fibra radiale appartenente alla sezione posta a di