Schema della teoria per esame di Scienza delle costruzioni

*Deformazione ′ ′

∆ −∆ ∆ −∆

Elongazione ;

= = lim

∆ ∆

→

′

Scorrimento angolare = − lim

2 →

→

Cerchio di Mohr 2

−

2 √( 2

2 2 ;

( )

− + = = ) +

′ ′ ′

2 −

Tensione tangenziale massima assoluta

=

2

+

Tensione normale media associata

=

2

Stessa cosa per deformazione

Legge di Hooke = = à

1 1

Energia di deformazione: ∆ = ( ∆) ∙ ∙ ∆ = ( ∙ ∆ ∙ ∆) ∙ ∙ ∆

2 2 2

∆ 1

Densità di energia di deformazione: Se elastico lineare (legge di Hooke)

= = ∙ =

∆ 2 2

Coefficiente di Poisson: Rapporto tra deformazione longitudinale e trasversale

= −

Legge di Hooke per taglio G=modulo di elasticità tangenziale

= = 2(1+)

1

′ ′′ ′′′

Legame costitutivo generalizzato ; ;

=>

= = − = − = [ − ( + )]; =

1 1

)];

[ − ( + = [ − ( + )] Legge di Hooke generalizzata per uno stato di tensione

triassiale qualunque

Principio di Saint-Venant

 Considerare lo stato tensionale agente sulle sezioni del corpo a distanza sufficiente dai

punti di applicazione dei carichi (no deformazioni locali)

 Modulo E costante (ipotesi di omogeneità del materiale)

 Area della sezione costante

Deformazione elastica di un’asta caricata assialmente (N)

Per esempio, consideriamo una trave soggetta a forze concentrate all’estremità e un carico

distribuito variabile. stiamo considerando una serie di piccoli conci consecutivi dx e area

= ,

trasversale A(x). La forza interna risultante N(x) causa la configurazione deformata del concio

infinitesimo. Lo spostamento infinitesimo del concio infinitesimo è Da qui otteniamo la tensione

.

e la deformazione.

()

;

= =

()

Questi valori, se inferiori al limite di proporzionalità, sono correlati dalla legge di Hooke: =

() ()

; pag.247

= =

() () ()

Per ottenerla sull’intera lunghezza L la integro: = ∫

0 ()

Applico ipotesi di Saint Venant e integro l’equazione: =

(Principio di sovrapposizione degli effetti applicabile unicamente se verificate queste ipotesi:

 Geometria non subisce modifiche

 Le relazioni tra azioni e tensioni sono lineari)

Tensioni dovute a variazioni di temperatura:

 Variazioni di volume dipendono linearmente da quelle di temperatura

 Ipotesi: materiale omogeneo e isotropo

Si dimostra sperimentalmente che: = ∆; = .

Se si tratta di un calcolo per concio, la si deve integrare: = ∆

∫

0

Torsione

Circonferenze trasversali e segmenti longitudinali si deformano.

Circonferenze rimangono uguali, ma i segmenti si trasformano in eliche che incontrano le

circonferenze in angoli uguali. Le sezioni di estremità rimangono piane e le fibre radiali rimangono

rettilinee. Per piccole variazioni dunque si assume non varino la lunghezza e il raggio della trave e

che le fibre longitudinali rimangano rettilinee.

Consideriamo la trave incastrata ad un estremo. La generica fibra radiale appartenente alla

sezione posta a di