Risposte teoremi Fondamenti di telecomunicazioni

Calcolare e disegnare gli spe/ri di ampiezza e di fase di una successione periodica di impulsi

re/angolari di ampiezza A, durata e periodo T (p. 2.13)

Si osservi che si tra4a di una funzione discreta nei valori e tempo-con=nua

I coefficien= della forma esponenziale dello sviluppo di Fourier sono da= da:

! ) '

( ( &

sin

1 2

"#!$ % "#!$ %

= & () = & = ( = )

! !

! &

2

'

) "

" (

(

Ricordando che: 1

= =

& & &

2

"#*

2 = = − ≥1

"

! ! ! !

Gli spe4ri di ampiezza e di fase sono espressi da:

=0

⎧

⎪

= &

sin

2

! 2

⎨ A A ≥1

⎪ &

⎩ 2

0 > 0

!

= C ≥1

! < 0

!

Si osservi che, al diminuire della durata degli impulsi, aumenta il numero delle armoniche

significa=ve

Calcolare e disegnare gli spe/ri di ampiezza e fase di un impulso re/angolare di ampiezza A e

durata (p. 2.14)

Si osservi che si tra4a di una funzione discreta nei valori e tempo-con=nua di =po aperiodico

La sua trasformata di Fourier è espressa da: '

+ ( sin 2

"#$% "#$%

() = & () = & = ( = )

2

'

"+ " (

Ricordando che: |()|

() = , ≥0

() = − arg () , ≥0

Gli spe4ri di ampiezza e fase sono da= da:

sin

2

() = A A

2 ( )

0 > 0

() = C () < 0

Calcolare l’an9trasformata della funzione: ||

≤

() = C ( )

||

>

(p. 2.19)

Risulta: $

+ #

1

&

#$% #$%

() = & () = & =

2 2

"+ "$ #

$ #

#$% #$ % "#$ % #$ % "#$ %

− − sin

# # # #

& & & . .

= V W = = =

&

2 2 2

. .

"$ #

& .

=

&

Esprimere nel dominio delle frequenze la condizione necessaria e sufficiente affinché una

funzione assuma i valori

() ≠ , =

= () = C

, ≠

(p. 2.35)

La trasformata secondo Fourier della serie temporale i cui termini sono da= dalla vale:

{ }

! !

1+ "#!$)

()

= ` =

0 ! &

"+

In virtù del fa4o che: 1+

1

()

= ` ( + )

0 &

"+

Risulta: 1+

1 2

()

= = ` c + d

& 0

"+

Da cui: 1+ 2

` c + d ≡ ⋆

&

"+

Per l’unicità della trasformata quest’ul=ma rappresenta la condizione necessaria e sufficiente

cercata (2

Poiché il primo membro della è funzione periodica di con periodo , basta verificare de4a

⋆ )

2 2 ∗

condizione nell’intervallo o, più semplicemente, ricordando che

g− , h (−) = (),

) )

2

nell’intervallo g0, h

)

A par=re da questo risultato discendono le seguen= considerazioni:

- Se consideriamo generiche funzioni con banda

I

<

$

La non può mai essere verificata

⋆ (2

InfaV, ripetendo periodicamente la trasformata con periodo , restano sempre intervalli

() )

dell’asse in cui tale ripe=zione è iden=camente 0

- Se consideriamo generiche funzioni con banda

II

=

$

La può essere verificata se e solo se

⋆

||

, ≤

&

() = j ⋄

||

0, >

La corrispondente funzione x(t) è:

sin

() =

&

- Se consideriamo generiche funzioni con banda

III

>

$

È possibile verificare la in infini= modi

⋆

Fra ques= rivestono par=colare importanza pra=ca le trasformate che si o4engono dalla

() ⋄

sos=tuendo le discon=nuità con raccordi con=nui di =po an=simmetrico

Dimostrare e descrivere il teorema del campionamento nel dominio dei tempi (p. 2.40)

I valori sono deV valori campiona=, gli istan= di “le4ura” sono deV istan= di

= ( )

! ! !

campionamento, l’intervallo costante che li separa è de4o intervallo di campionamento e il suo

4

inverso è la frequenza di campionamento

=

& )

Senza ledere la generalità possiamo porre (a tal fine basta assumere l’origine dell’asse dei

=

!

tempi in uno degli istan= di campionamento); la successione dei valori campiona= cos=tuisce

quindi la serie temporale = () = ⋯ , −1, 0, 1, ⋯

!

Poniamoci il problema se e quando la conoscenza dei soli valori campiona= consente di ricostruire

l’intera forma d’onda

Se non formuliamo alcuna condizione, la risposta è evidentemente nega=va in quanto esistono

infinite funzioni che negli istan= assumano i valori

!

Osserviamo tu4avia che in virtù di +

1

()

= ` ( + )

0 &

"+

La conoscenza dei valori campiona= equivale a quella della ripe=zione periodica della trasformata

(2

di con periodo , che rappresenta la pulsazione corrispondente alla

() () = = 2

& &

)

frequenza di campionamento

&

La trasformata ed altri termini della serie A secondo membro, sono rappresenta=, in modulo,

()

in figura

Abbiamo fa4o riferimento a una funzione passa-basso ed abbiamo indicato con la massima

. $ #

pulsazione a cui è apprezzabile lo spe4ro di (la corrispondente frequenza è )

() =

. (2

()

Come tale figura pone in chiara evidenza, la conoscenza della ripe=zione periodica non

0

consente in generale di risalire a e quindi a

() ()

È sufficiente però che si presen= la circostanza mostrata in figura, nella quale i diversi termini

()

occupano bande dis=nte, per poter risalire da a

()

0

La separazione dei termini appena mostrata avviene quando

≤ − ⟹ ≥ 2

. & . & .

O con riferimento alle frequenze ≥ 2

& .

Che equivale a 1

≤ 2

.

In conclusione, quando è verificata , cioè la frequenza di campionamento è maggiore

≥ 2

& .

del doppio della massima frequenza di la conoscenza dei valori campiona= individua in

(),

maniera univoca la funzione originaria ()

No=amo la perfe4a analogia fra il teorema del campionamento nel dominio dei tempi, ora

discusso, e quello del campionamento nel dominio delle frequenze: sono semplicemente scambia=

i ruoli delle variabili tempo e frequenza (si confron=no e )

≥ ≥ 2

5 & .

So4o la condizione sufficiente vogliamo ora esprimere in funzione dei suoi valori

≥ 2 ()

& .

campiona= ()

A tal fine, ricordando che: +

1

()

= ` ( + )

0 &

"+

E osservando la seguente figura () (−Ω,

Possiamo affermare che coincide con in ogni intervallo con

() Ω)

0

≤ Ω ≤ −

. & .

$ !

Scegliamo , punto centrale di

Ω = ( , − )

. & .

(

Scriviamo dunque:

&

() ||

< =

0

() = p 2

0

2

)

"4 #$%

[()] ()

= () = &

0

2 2

" )

Ricordando che: + "#!$)

()

= `

0 !

"+

Abbiamo: 2

)

+ + sin ( − )

"#!$) #$%

() = ` & = `

! !

2 ( − )

2

"+ "+

" )

In conclusione, posto: sin

=

Risulta: + −

() = ` () ⋆

"+

Funzione del dominio del tempo come combinazione di sinusoidi ortogonali i cui coefficien= sono i

valori campiona=

Interpretazione grafica:

Possiamo anche scrivere:

− "#$) ||

≤

z {=p

0

%"!) 2

Ossia le funzioni hanno banda

g0, h

) )

La è susceVbile di un’interessante interpretazione derivante dal fa4o che le funzioni ora citate

⋆

sono fra loro ortogonali

InfaV, in virtù del teorema di Parseval generalizzato

+ +

1 ∗ ()

& ()() = & ()

2 "+

"+

O4eniamo: 2

+ )

(

− − 0 ≠

"#$!) "#$.)

& = & = •

=

2 2

"+ " )

Dunque la rappresenta uno sviluppo di in serie di funzioni ortogonali i cui coefficien= sono

⋆ ()

gli stessi valori campiona= () $ !

Tale interpretazione è resa possibile dalla scelta Ω = (

È importante so4olineare che il teorema del campionamento nel dominio dei tempi consente di

sos=tuire ad una funzione tempo-con=nua una serie temporale, conservando tu4o il contenuto

informa=vo originario

L'operazione di campionamento, eseguita nel rispe4o delle ipotesi di tale teorema, cos=tuisce il

primo passo per la conversione di un segnale analogico in forma numerica

So4olineiamo che, mentre con l'analisi di Fourier una funzione è rappresentata mediante i suoi

spe4ri di ampiezza e fase defini= nel dominio delle pulsazioni, la stessa funzione viene ora

rappresentata tramite i suoi valori campiona=, presi nel dominio dei tempi, e quindi operando

esclusivamente in tale dominio

Definire la funzione impulsiva e calcolarne la trasformata secondo Fourier (p. 2.56)

Consideriamo l’impulso rappresentato in figura avente intensità unitaria, ed una funzione ()

con=nua in =

Calcoliamo:

+ + ∆

1

lim & () ( − , ∆) = lim & ( − ) (, ∆) = lim & ( − ) = ()

∆

∆⟶& ∆⟶& ∆⟶&

"+ "+ &

In altri termini, chiamando la variabile di integrazione e ponendo o4eniamo:

=

+

() = lim & () ( − , ∆) ⋄

∆⟶& "+

O più semplicemente, in forma simbolica:

+

() = & () ( − ) = () ∗ () ⋆

"+

Questa coppia di relazioni definisce l’operatore di Dirac o funzione impulsiva

()

Il significato alla è dato dalla nella quale non è lecito scambiare l’ordine delle operazioni: prima

⋆ ⋄,

l’integrazione, poi il passaggio al limite; infaV tale scambio darebbe 0

La è susceVbile di una interessante interpretazione

⋄

A tal fine osserviamo che, per sufficientemente piccolo, essa può essere approssimata come

∆

segue: +

+

() ≅ & () ( − , ∆) ≅ ` (∆) ( − ∆, ∆) ∆

"+ "+

Questa relazione, rappresentata in figura, esprime come una somma di impulsi re4angolari di

()

durata ampiezza [e quindi intensità che si succedono con intervallo

∆, (∆) (∆)∆], ∆

Tale successione di impulsi approssima tanto meglio l’andamento di quanto minore è come

() ∆,

del resto è indicato dalla ⋄

Facendo riferimento alla che rappresenta in forma simbolica la possiamo formalmente dire

⋆, ⋄,

che essa esprime la funzione come “somma” di funzioni impulsive, la generica delle quali è

()

applicata all’istante ed ha intensità infinitesima

()

Trasformata secondo Fourier della funzione impulsiva

#$%

Dalla assumendo e si oVene:

⋆, () = = 0 + #$' #$∙&

(0) = & (−) =

"+

Ponendo = −: + "#$%

& () = 1

"+

Quest’ul=ma ci consente di dare una definizione formale di trasformata secondo Fourier della

funzione impulsiva, che risulta iden=camente uguale a 1

Per meglio interpretare questo risultato, ricordiamo la e scriviamo:

⋄

+ +

"#$% "#$%

& () = lim & (, ∆) = lim [(, ∆)]

∆⟶& :⟶&

"+ "+

Con riferimento alla funzione ausiliaria rappresentata in figura, ricordando che

' sin

+ ( 2

"#$% "#$%

() = & () = & =

'

"+ " 2

( ∆

e osservando che l’impulso è centrato nell’istante è:

(, ∆) (

∆

sin "#$∆

2

[(, ∆)] = (

∆

2

Il cui limite per vale 1

∆ → 0

Funzione di trasferimento e cara/eris9che di ampiezza e fase di una rete RC (p. 3.11)

Risulta: 1

̇

1

;

() = = =

1

̇ 1 +

+

< 1

|()|

() = = ( ( (

+

√1

()

() = arg(1 + ) = = ()

Funzione di trasferimento e cara/eris9che di ampiezza e fase di una rete CR (p. 3.12)

Risulta: ̇

;

() = = =

1

̇ 1 +

+

<

|()|

() = = ( ( (

+

√1

()

() = arg(1 + ) − arg() = − = ()

2

Disegnare lo schema a blocchi di un filtro trasversale e la rela9va funzione di trasferimento (p.

3.20)

Filtro ricorrente: @"4 ? >

() = ` ℎ ( − ) + ` ℎ ( − )

= =

& 4

@"4 ?

"#=$) > "#=$)

() = () ` ℎ + () ` ℎ

= =

& 4

@"4 "#=$)

∑ ℎ

() =

&

() = =

() ?

∑ > "#=$)

1 − ℎ

=

4

)"( '

"#!$% & "#!$%

() % ℎ = () − () % ℎ

! !

* (

' & "#!$%

∑

() .1 − ℎ 1

( !

⟹ () = )"(

∑ "#!$%

ℎ

!

* )"( "#!$%

∑ ℎ

() () * !

⟹ = =

() ' '

∑ ∑

& "#!$% & "#!$%

() .1 − ℎ 1 1 − ℎ

! !

( (

)"(

∑ "#!$%

ℎ

!

*

>

Filtro trasversale ( nulli):

ℎ = @"4 "#=$)

() = ` ℎ

=

&

Filtro puramente ricorrente (ℎ nulli):

= 1

() = ?

∑ > "#=$)

1 − ℎ