Risposte domande esame scritto Modellazione idrologica

Domande di modellazione idrologica

1. Quali sono le grandezze geomorfologiche di base? Se ne illustrino le proprietà. / Which are the basic geomorphologic quantities? Please describe them…

Le grandezze geomorfologiche di base sono tre: altitudine, pendenza e curvatura.

La topografia del terreno in analisi (restituita da un DEM) può essere considerata come una superficie rappresentata tramite una funzione nella quale x e y sono le coordinate di un = (, ) generico punto nel piano orizzontale. Questa funzione prende il nome di altitudine e rappresenta la distanza verticale di un punto di coordinate da un piano orizzontale di (, ) riferimento.

A partire da questa funzione è possibile calcolarne il gradiente come: ( ) = , = ( , )

Il gradiente di questa funzione rappresenta un vettore ortogonale alle linee di livello e diretto in direzione del massimo incremento di quota.

Per la modellazione di un bacino è necessario considerare un vettore diretto dall’alto verso il basso (analogamente al moto dell’acqua), consideriamo quindi le derivate parziali di z cambiate di segno. Il modulo del gradiente costituisce la pendenza della superficie in analisi. La pendenza è però solitamente espressa come angolo, il quale viene ottenuto calcolando l’arcotangente del modulo del gradiente: 2 2(√ ) = arctan(||) = arctan +

La pendenza è fondamentale per ricavare la direzione di drenaggio, ovvero la direzione in cui l’acqua fluisce a causa della forza di gravità. La pendenza di un versante, inoltre, influisce sull’ammontare di radiazione solare che colpisce il suolo e, di conseguenza, sul bilancio d’acqua del sistema.

La terza grandezza geomorfologica di base è la curvatura, ovvero un parametro adimensionale che può essere calcolato in due modi differenti. In primo luogo, a partire dalla circonferenza tangente alla curva in analisi (cerchio osculatore), la curvatura può essere calcolata come l’inverso del raggio di questa circonferenza. In alternativa, è possibile ottenere la curvatura dalla variazione dell'angolo tra due vettori tangenti alla curva in due punti a distanza infinitesima fra loro.

La curvatura dell’intersezione tra il bacino in analisi e un piano orizzontale (ovvero le linee di livello) prende il nome di curvatura planare e può essere utilizzata per distinguere le creste dalle valli. La curvatura dell’intersezione del bacino in analisi con il piano verticale contenente la direzione di massima pendenza prende il nome di curvatura di profilo. Questo tipo di curvatura influisce sulla velocità di drenaggio dell’acqua e, di conseguenza, sui processi di erosione e deposizione.

2. Quali sono le grandezze geomorfologiche derivate? Si descrivano e si parli dei metodi per ottenerle. / Which are the derived geomorphic quantities? Describe them and the methods to estimate them from DEMs.

1 Le grandezze geomorfologiche derivate, ovvero quei parametri che possono essere ottenuti a partire dalle grandezze di base (altitudine, pendenza e curvatura), sono due: direzioni di drenaggio e area contribuente totale.

Queste due grandezze sono fondamentali nell’analisi di un bacino in quanto permettono di estrarre la rete fluviale e di definire il bacino e i sottobacini di drenaggio. Le direzioni di drenaggio vengono definite a partire dal gradiente dell’altitudine, e rappresentano la direzione principale lungo la quale, a causa dell’azione della forza di gravità, l’acqua scorre all’interno di un bacino.

Il numero di direzioni di drenaggio disponibili in un DEM dipende dal tipo di griglia discreta all’interno della quale è stato definito il bacino in analisi. Per una griglia a maglie triangolari, a partire da ogni nodo, esistono sei possibili direzioni, mentre per una a maglie rettangolari posso avere quattro direzioni diverse (N-S-W-E) se vengono considerati solamente deflussi ortogonali tra loro, mentre le direzioni diventano otto se considero anche le diagonali dei rettangoli stessi.

Il gradiente, ovvero il vettore ortogonale alle linee di livello e diretto verso la direzione per cui si ha il massimo incremento di quota, però, fa riferimento alla reale topografia del terreno e, di conseguenza, non segue necessariamente le direzioni prestabilite dalla griglia del DEM. La natura discreta della griglia fa sì che vengano introdotte delle approssimazioni nel calcolo delle direzioni di drenaggio, ed è quindi necessario considerare dei fattori correttivi. Per fare ciò possono essere definiti due angoli e , i quali 1 2 rappresentano lo scostamento del vettore gradiente dalle direzioni possibili.

Per la scelta della direzione di drenaggio è necessario quindi prendere in considerazione quella per cui lo scostamento risulta minore, ovvero quella più vicina alla effettiva direzione del gradiente e, infine, introdurre un fattore correttivo. Questa procedura viene effettuata in tutte le celle del DEM e, di conseguenza, è necessario definire un valore massimo per la tolleranza dell’errore legato alla direzione di drenaggio.

In ogni cella della griglia viene definita approssimativamente qual è la direzione corrispondente alla massima pendenza tra le direzioni disponibili e viene indicata come direzione di drenaggio. In questo modo è possibile individuare i pixel all’interno dei quali si ha maggiore accumulo di acqua.

Moltiplicando il numero di pixel che contribuiscono al drenaggio dell’acqua per le dimensioni reali dei pixel stessi si ottiene l’area contribuente totale, ovvero un parametro che indica l’area (planare) che si trova a monte di un determinato punto del bacino. Una cella viene definita a monte di una cella solamente se la direzione di drenaggio della prima fluisce all’interno della seconda (anche indirettamente).

La discrepanza tra la topografia della superficie reale e quella 2 ottenuta tramite il DEM fa sì che anche il valore dell’area contribuente totale sia approssimato, specialmente nelle zone del bacino in cui la superficie diverge.

3. Quali sono le modalità di estrazione delle reti fluviali, a partire dalle direzioni di drenaggio? / How can you extract the river networks from the drainage directions?

I metodi per l’estrazione delle reti fluviali sono tre e sono rispettivamente basati su: valore limite dell’area contribuente, valore limite di sforzo tangenziale generato dall’acqua al fondo e curvature.

Per quanto riguarda il primo metodo, è prima di tutto necessario fissare un valore limite dell’area contribuente A*; quando in un punto del bacino l’area contribuente è maggiore di A* allora in quel punto ci troviamo all’interno di un corso d’acqua. Il valore limite corretto si ottiene quando, all’aumentare di A*, la rete di corsi d’acqua del bacino rimane praticamente costante.

Questo primo metodo permette quindi di estrarre la rete fluviale in maniera piuttosto immediata ma, di contro, non tiene conto di alcuni fattori fisici che possono influire sul drenaggio dell’acqua all’interno del bacino, uno su tutti il processo di erosione. In particolare, è stato dimostrato che l’inizio di un canale coincida con l’inizio dei processi erosivi.

Per ovviare a questo problema può essere utilizzato un metodo che tiene maggiormente conto del processo fisico che porta allo sviluppo di un canale. Lo sforzo tangenziale esercitato dall’acqua sul suolo, causa principale del processo erosivo, è dato dalla formula: ||~

Nella quale rappresenta l’area contribuente totale, è la lunghezza del contorno del canale e è la pendenza della superficie. può essere ricavato tramite la curvatura planare, la quale || regola quanto il flusso si concentra.

L’espressione viene completata dall’aggiunta di una costante di proporzionalità che tiene conto di diversi fattori, ad esempio la presenza di ostacoli sulla superficie e il tipo di suolo. Secondo questo metodo, quindi, quando il valore di sforzo tangenziale al fondo è superiore ad un valore limite allora si ha erosione causata dalla presenza di un canale.

Un altro modo per estrarre la rete fluviale è quello di considerare la topografia della superficie. È infatti necessario che ci sia una zona di convergenza, la quale permetta l’accumulo di acqua nel punto in cui avrà inizio il canale. I tre fattori che quindi influenzano maggiormente lo sviluppo della rete fluviale sono l’area contribuente, la pendenza e la curvatura.

4. Quali metodi conosci di interpolazione dei dati idrometeorologici? Illustra il metodo dell'inverse distance weighting dicendo perché il metodo è unbiased. / Which methods of interpolation do you know? Please can you explain the inverse distance weighting and support the statement that it is unbiased?

I metodi di interpolazione più utilizzati sono: inverse distance weighting (IDW), poligoni di Thiessen (o tassellazione di Voronoi) e il metodo Kriging.

3 Nel metodo dell’inverse distance weighting, per stimare il valore di una determinata variabile in un punto del DEM, ad esempio la quantità relativa al punto 0, viene utilizzata una 0 combinazione lineare dei valori misurati negli altri punti del DEM: ̂ = ∑ ∗ 0 =1

In cui è il numero di misure, rappresenta il dato ottenuto nell’i-esimo punto di misurazione e è un coefficiente che indica il peso della misura in funzione della distanza del punto 0 dal punto i. Questo coefficiente viene calcolato come: − = −∑ =1

In cui è un esponente da calibrare, è la distanza fra il punto i e il punto 0 e è la distanza fra il punto j e il punto 0.

Il metodo è unbiased se, effettuando diverse stime, l’errore medio tra i valori stimati e il valore ̂ 0 reale risulta nullo: 0 ][̂ − = 00 0

Da tale definizione si ricava: ] ] ] ] ][̂ − = [∑ ∗ − ] = ∑ [ ∗ − [ = ∑ [ − [0 0 0 0 0=1 =1 =1 ] (∑= ∑ [ − = ∑ − = − 1) = 0 =1 =1 =1 → ∑ = 1=1

Tale condizione risulta rispettata, infatti, dalla definizione di si ricava facilmente che: −∑ =1 ∑ = =1 −∑ =1=1

Si può dunque affermare che il metodo dell'inverse distance weighting è unbiased.

5. Quali metodi conosci di interpolazione dei dati idrometeorologici? Illustra il metodo dei poligoni di Thiessen. / Which methods of interpolation do you know? Please can you explain how the Thiessen polygons method works?

I metodi di interpolazione più utilizzati sono: inverse distance weighting (IDW), poligoni di Thiessen (o tassellazione di Voronoi) e il metodo Kriging.

Il metodo dei poligoni di Thiessen viene principalmente utilizzato nel caso in cui non si disponga di una grande quantità di dati, in quanto è metodo grafico.

Per applicare questo metodo occorre, a partire da N punti in cui si dispone delle misure, costruire una rete a maglie triangolari che unisca tutti i punti. Questa operazione è caratterizzata da un certo grado di arbitrarietà, in quanto esistono numerose modalità per collegare i punti tramite dei triangoli. Questo problema può essere 4 risolto tramite l'utilizzo della “triangolazione di Delaunay”, la quale ha come risultato un’unica rete possibile.

Una volta fatto ciò, per ogni triangolo vengono tracciate le mediane (solo la parte dal baricentro al cateto). Queste, unite alle mediane degli altri triangoli, identificano i poligoni in cui il dominio viene suddiviso, ognuno contenente uno dei punti di misurazione.

Il parametro in analisi viene quindi assunto costante all’interno di ogni porzione del dominio e pari al valore ottenuto dalla misurazione effettuata nel punto interno alla rispettiva porzione. Questo metodo è vantaggioso in quanto è facilmente applicabile su una carta da parte di un operatore, mentre risulta più complicato da implementare su un calcolatore.

Un altro svantaggio legato a questa tipologia di interpolazione è l’elevato grado di discontinuità sulla superficie interpolata dovuta al fatto che all’interno di ogni porzione i parametri vengono assunti costanti.

6. Quali metodi conosci di interpolazione dei dati idrometeorologici? Illustra il Kriging nei tratti essenziali. / Which methods of interpolation do you know? Please can you explain how the essential of the Kriging method works?

I metodi di interpolazione più utilizzati sono: inverse distance weighting (IDW), poligoni di Thiessen (o tassellazione di Voronoi) e il metodo Kriging.

Il metodo Kriging consiste nello stimare il valore di una determinata variabile in un generico 0 punto di coordinate a partire dai valori misurati in determinati punti del sistema di ( , ) 0 0 riferimento. Il Kriging è un metodo Best Linear Unbiased Estimator (BLUE), ovvero: (, ).

• Linear: il metodo Kriging è basato su relazioni lineari, infatti, il parametro può essere 0 stimato tramite la seguente combinazione lineare dei dati ottenuti dalle misurazioni: ̂ = ∑ ∗ 0 =1

Dove i coefficienti rappresentano il peso incognito delle diverse misure. Il valore di dipende strettamente dalla distanza tra il punto e il generico punto punto di ( , )0 0 misurazione (, ).

• Unbiased: il metodo Kriging può essere considerato come uno stimatore corretto, in quanto si impone che la media dell’errore delle stime, ovvero la differenza tra le stime e il valore ̂ 0 reale , sia pari a zero: 0 ][̂ − = 00 0

Da tale definizione si ricava: ] ] ] ] ][̂ − = [∑ ∗ − ] = ∑ [ ∗ − [ = ∑ [ − [0 0 0 0 0=1 =1 =1 ] (∑= ∑ [ − = ∑ − = − 1) = 0 =1 =1 =1 → ∑ = 1=1

5 Affinché l’ipotesi di stimatore corretto sia valida è però necessario che il metodo sia stazionario e di primo ordine, ovvero che il valore atteso esista e sia costante ovunque. Nel caso in cui questa ipotesi risulti verificata si parla di Simple Kriging.

• Best: questo metodo risulta infatti essere quello ottimale per l’interpolazione dei dati in quanto è basato sulla minimizzazione dello scarto quadratico medio tra le stime e il valore ̂ 0 reale incognito :0 2) ][(̂ − = 0 0

Dove il minimo si ottiene imponendo nulle le derivate parziali rispetto . Dalla definizione di covarianza tra due valori e : ])(( , ) = [( − [ − [ ])] = [( − )( − )] è possibile definire il variogramma come: )( , ) = ( , − ( , )

Da tale definizione, unita a tutte le considerazioni precedenti, si ricava il sistema da risolvere per ottenere i parametri (e di conseguenza ): ̂ 0 =

In cui è la matrice contenente i variogrammi a due punti calcolati tra punti in cui disponiamo delle misure (ovvero contiene i valori del variogramma calcolati tra punti in cui ( , ) disponiamo delle misure), è il vettore contenente i coefficienti incogniti e è il vettore contenente i variogrammi a due punti calcolati tra il valore incognito e i valori noti . Per 0 determinare occorre dunque interpolare il variogramma empirico (ricavato con le misure note e ) con un modello teorico.

Esistono diverse modalità per applicare questo metodo di interpolazione, le principali sono:

• Kriging globale: in questo caso per interpolazione vengono prese in considerazione tutte le misurazioni disponibili.
• Kriging locale: in questo caso, invece, vengono prese in considerazione solo parte delle misurazioni disponibili, escludendo quelle effettuate in punti molto distanti in quanto non rilevanti per l’interpolazione.

7. Che cos’è un variogramma? In che relazione sta con la covarianza? Qual è il risultato di scegliere variogrammi diversi rispetto ai campi finali ottenuti? / What is a variogram? Which is its relation with the covariance? What change if we change variogram type in the final result?

Un variogramma è una relazione statistica tra elementi che si trovano ad una determinata distanza h e permette di valutare la correlazione spaziale tra dati misurati in punti diversi dello spazio. Per definire il variogramma è necessario prima di tutto introdurre la covarianza tra due