Risposte domande Campi elettromagnetici

Propagazione del campo elettromagnetico

La propagazione del campo elettromagnetico si ha per onde nello spazio, però se non si vuole che il campo si propaghi in tutte le direzioni, si utilizzano delle strutture guidanti che confinano il campo e ne guidano la propagazione.

Un esempio di struttura guidante sono le linee di trasmissione, come cavi coassiali, cavi Ethernet, ecc...

Una linea di trasmissione è costituita da almeno 2 conduttori.

Per semplificare lo studio si considerano linee ideali, con conduttori perfetti e dielettrico perfetto.

Sulle linee di trasmissione si propaga il modo TEM (Transverse Electromagnetic), in cui i campi elettrico e magnetico sono trasversi alla direzione di propagazione. Questo permette di descrivere il fenomeno non direttamente con le equazioni vettoriali di Maxwell, ma con le grandezze scalari tensione e corrente, rendendo l’analisi molto più semplice.

Regime sinusoidale

Nello studio delle linee di trasmissione si considera spesso il regime sinusoidale perché consente di semplificare le equazioni del problema: i segnali possono essere rappresentati nel dominio dei fasori, trasformando equazioni differenziali nel tempo in relazioni algebriche più semplici.

Questa approssimazione è giustificata dal fatto che molti segnali nelle telecomunicazioni sono a banda stretta, cioè concentrati attorno a una frequenza portante, e quindi possono essere trattati come sinusoidi.

Fasore campo elettrico, fasore campo magnetico, operazione di derivata.

Conduttori con conducibilità finita

Nel caso di conduttori con conducibilità finita, i campi elettromagnetici penetrano parzialmente all’interno del conduttore, non rimangono solo sulla superficie. Questa penetrazione aumenta il flusso e quindi il valore dell’induttanza per unità di lunghezza della linea.

La non idealità del conduttore introduce pertanto due effetti principali:

• Il primo è rappresentato dalle perdite ohmiche, si ha una dissipazione per effetto Joule rappresentabile come una resistenza;
• Il secondo è dovuto alla penetrazione del campo magnetico nel conduttore, che comporta un incremento dell’induttanza, indicato con ΔL.

G e R rappresentano i nuovi parametri che si devono affiancare a L e C se vogliamo considerare le perdite, dove G è la conduttanza per unità di lunghezza e R è la resistenza per unità di lunghezza.

K continua ad essere complessa ma la sua parte reale β è uguale alla costante di propagazione del caso ideale (gli aspetti propagativi rimangono gli stessi), però ho la parte immaginaria α che sarà responsabile dell’attenuazione del segnale.

Torniamo quindi nel dominio del tempo per vedere cosa accade, prendendo in considerazione solo la componente progressiva.

Questo problema si risolve aumentando gli effetti dell’induttanza aggiungendo artificialmente delle induttanze lungo le linee per far sì che risulti.

Sotto questa condizione la parte immaginaria di è nulla e quindi V e I si rifasano.

Potenza e pseudo-energia

Pseudo-energia elettrica media, pseudo-energia magnetica media.

Nel caso ideale, dove abbiamo solo la parte reale della differenza di potenza, la potenza si conserva e quindi la differenza di potenza è nulla. Qui invece, la parte reale ci dà sempre risultato nullo ma la componente immaginaria provoca una differenza di potenza dovuta alle perdite nel dielettrico e nel conduttore.

Se vogliamo capire cosa accade alla potenza quando viaggia sulla linea di trasmissione dobbiamo usare la forma viaggiante delle soluzioni.

Guardando questa formula notiamo che la componente riflessa si attenua, con coefficiente 2α, nel verso positivo dell'asse z e questo non è normale perché l'onda regressiva si dovrebbe attenuare nel verso negativo.

Il problema sta nella definizione di Γ.

Il modulo del coefficiente di riflessione non è più costante sulla linea se ci sono perdite.

Quindi dobbiamo definire la potenza attiva.

Vediamo che la componente progressiva continua ad attenuarsi esponenzialmente nel verso positivo dell'asse z con coefficiente 2α, mentre la componente regressiva si attenua nel verso negativo con lo stesso coefficiente.

Inoltre la componente riflessa è anch'essa moltiplicata per che però risulta e fa sì che la componente riflessa sia minore della progressiva.

Teorema di Poynting

Il teorema di Poynting consente di esprimere i principi della conservazione di energia per il campo elettromagnetico.

Prima di enunciare il teorema di Poynting dobbiamo introdurre il vettore di Poynting.

Partendo da questa equazione andiamo a interpretare fisicamente i singoli termini che appaiono all'interno di questa equazione.

Questa è la densità di forza che il campo elettromagnetico esercita sulle cariche.

Per vedere invece la densità di lavoro infinitesimo che il campo compie sulle cariche dobbiamo andare a considerare uno spostamento infinitesimo fatto dalle cariche.

Consideriamo la densità di potenza infinitesima associata a questo lavoro infinitesimo.

Questa è la densità di potenza infinitesima che il campo fornisce alle cariche ed è caratterizzata dall'avere segno positivo.

Se invece volessimo valutare qual è la potenza infinitesima che viene fornita dalle cariche al campo, ci basta mettere il segno negativo.

Quindi tornando alla nostra equazione originaria, se integriamo questa quantità sul volume diventa proprio potenza fornita dalle sorgenti, presenti nel volume V, al campo, e si misura in Watt.

L’interpretazione di questo termine è simile a quella che abbiamo appena fatto: il prodotto fra ed sappiamo essere la densità di potenza fornita dal campo alle cariche e quindi sappiamo che c'è uno scambio di potenza fra il campo e le cariche.

Ora dobbiamo dimostrare che questo scambio è irreversibile, cioè rappresenta un termine di potenza dissipata.

Consideriamo la relazione costitutiva che lega la densità di corrente indotta al campo elettrico tramite la conducibilità.

Affinché sia diverso da 0, deve esserci una zona all'interno del volume che ha una conducibilità diversa da 0.

Quindi nell'integrale la quantità è sempre positiva, il che rappresenta una potenza dissipata per effetto Joule all'interno del materiale conduttore del volume V.

Il fatto che l'integrale sia sempre positivo determina il fatto che lo scambio è irreversibile, comportamento che si ci aspetta quando si parla di un lavoro fatto da una forza non conservativa.

Vediamo quindi cosa accade sul diagramma degli stati quando considero integrato: per analizzare il lavoro fatto per portare il sistema da a integro rispetto al tempo.

Questo integrale ci darà un lavoro sempre positivo e questo dimostra che si tratta di un lavoro fatto da una forza non conservativa e di conseguenza dimostrerà che stiamo parlando di una potenza dissipata.

Infine concludiamo dicendo che interpretiamo questo termine come potenza dissipata per effetto Joule.

Quindi quando il campo cede potenza al conduttore, questa potenza viene trasformata in calore.

Anche per il terzo termine ci colleghiamo a quanto appena detto ma per interpretarlo abbiamo bisogno di fare delle ipotesi sul mezzo.

Per questa ipotesi le relazioni costitutive sono semplici.

Il terzo termine rappresenta la variazione dell'energia elettromagnetica del sistema.

Se vedo di nuovo il ciclo compiuto dal diagramma degli stati osservando il lavoro compiuto dalla forza associata a questo termine ottengo: Ma allora questo significa che si tratta del lavoro di una forza conservativa che esprime la variazione dell'energia interna al sistema.

Il quarto termine si interpreta per differenza rispetto agli altri.

Sappiamo che le sorgenti generano una potenza che viene dissipata sottoforma di calore per effetto Joule e, in parte, determina una variazione dell'energia elettromagnetica del sistema.

Ci manca quindi lo scambio con l'esterno.

Il quarto termine è quello che tiene in considerazione proprio questo scambio con l'esterno, infatti possiamo notare che appare sottoforma di flusso con normale alla superficie.

Definendo la normale in quel modo la potenza è positiva quando esce