Risposte alle domande d'esame di Fluid Power

PROPRIETA DEI FLUIDI

Stevin’s law Pressure at the bottom of fluid column depends on height

→

Pascal law Pressure due to external force

→ C’è un fattore di amplificazione dovuto al rapporto delle

aree, e serve per la trasmissione della forza a distanza

Continuity law in steady state conditions mass flow is constat

→

Energy conservation equation →

Bernoulli’s principle →

Distributed losses →

Local losses →

Orifice losses →

Viscosity →

La viscosità è il fattore chiave che influenza la fuoriuscita di fluido da un’intercapedine, nelle

ipotesi di flusso laminare è possibile utilizzare la legge di Poiseuille

La porta di flusso che viene perso è direttamente proporzionale alla pressione ma inversamente

proporzionale alla viscosità; quindi, più un fluido è viscoso e più questo è meno propenso alla

fuoriuscita. La potenza dissipata a causa della forza

di attrito aumenta con la viscosità,

mentre la dissipazione dovuta alla

fuoriuscita di flusso diminuisce. Quindi

è molto importane stabilire un valore

ottimo di viscosità a seconda

dell’applicazione.

La viscosità è costante solo nel caso di fluidi newtoniani, altrimenti dipende dalle condizioni

Quindi quando usiamo pompe volumetriche dobbiamo considerare che la viscosità cambia

durante l’applicazione. La viscosità varia con la temperatura che cala in

maniera non lineare all’aumentare della

temperatura.

Le due sono legate dalle formula di Walther’s che

dipende da 3 parametri empirici che variano da olio

in olio

Mentre la viscosità cresce all’aumentare della pressione, quindi abbiamo variazioni significative

quando si hanno alte pressioni e alte temperature.

Indice della viscosità

È un indice di misurazione relativo per valutare la viscosità

Density la densità cambia quando variano temperature e pressioni.

→ Questo secondo termine è

negativo perché se cresce la

pressione il volume si riduce.

Infatti dobbiamo sempre considerare che in volume chiuso varia al variare della pressione e

questo genera tensioni perché il fluido vuole espandersi. Per questo non si fanno mai serbatoi

completamente chiusi. Se il fluido fosse incomprimibile

allora avremmo tutta l’energia a

disposizione

= ∆

Ma siccome i fluidi sono

incomprimibili allora avremmo una

riduzione di volume proporzionale

proprio alla comprimibilità e parte

dell’energia viene dissipata.

Il volume si riduce proprio a causa della comprimibilità.

Questo è definito iso-thermals Bulk modulus, tanto più è elevato e tanto più avremmo minore

variazione di volume.

Il Bulk modulus non è costante, ma varia in base alle condizioni di lavoro, un fluido liquido

tende a diventare più rigido con l’aumento della pressione. Decresce con la pressione e la

temperatura. CIRCUITI BASE

POMPE OLEODINAMICHE 3

= [ ]

[]

= = [ ]

= [ ]

= []

= =

∆ head (prevalenza)

→

− =

∆

( )̇

= − =

ℎ

Esistono due tipologie di pompe, anche se per questo applicazioni si utilizza principalmente la

pompa volumetrica (positive displacement pumps)

1- Dynamic pumps

Il flusso viene accelerato, aumentando l’energia cinetica

➔ All’interno della voluta c’è conversione in energia di pressione

➔

Nelle applicazioni oleodinamiche vengono richiesti valori di pressione estremamente elevati nel

range di 100-200 bar, fino a 1000 bar per applicazioni speciali. Queste pompe sono hanno

tipicamente ↑

∆ ↓

Come possiamo vedere dalle curve caratteristiche se viene fissato il numero di giri, la pressione

è elevata se il flusso è ridotto. Per queste tipologie di pompe si hanno valori di pressione limitati.

2- Positive displacement pumps

Un volume fluido viene intrappolato dal lato aspirazione (suction side) e poi rilasciato tramite la

mandata (delivery side). Queste due camere sono separate tra loro e non comunicanti, con una

diversa pressione interna. La pompa non genera pressioni interne ma si limita a movimentare

volume fluido, mentre le due differenti pressioni nelle camere (chamber) sono dovute alle

condizioni esterne. ()

Piston pump

1 cycle ideal conditions (no losses)

In caso di idealità si avrà che

Quindi

Real conditions

Dobbiamo introdurre le perdite e quindi i rendimenti

FLOW LOSSES IN PUMP

There are three types of losses = − ∆

1. LEAKEGE LOSSES

Parte del flusso viene perso attraverso meati (matus) poiché la camera interna non è

perfettamente isolata.

Consideriamo un flusso laminare e quindi applichiamo la legge di Poisuille.

∆

∝ ∝ ∆

1

( . )

1

2. FLUID COMPRESSEBILITY EFFECT

Volume utile perso all’interno della pompa a causa della compressione del fluido. Questa

riduzione di fluido comporta una riduzione della portata.

( ℎ = = )

∝ ∆

2

( . )

2

3. INCOPLETE FILLING EFFECT

Perdite dovute al non riempimento completo della camera di aspirazione

Fino a quando si lavora a velocità ridotte non si

ha problema del riempimento della camera. Ma

quando le velocità aumentano e superano

quelle critiche (ovvero velocità che portano alla

saturazione dell’olio) generano un riempimento

solo parziale della camera. Quindi la portata e la

pressione rimangono costanti nonostante ci sia

aumento di velocità

Quando la velocità del pistone diventa molto veloce si hanno forti variazioni di e quindi la

∆

pressione di suction diventa molto piccola e questo genera il fenomeno della

( ≪ 0)

cavitazione = → =

_

(1

= − ) = (1 − )

60

> → ≠ 0

3

∝ ∝ {

3 < → = 0

3

QUINDI CURVE CARATTERISTICHE

∆ 2

∆ = √ → ∆ ∝ ∆

Quindi la pressione varia in maniera

parabolica rispetto alla portata.

Se si riduce la strizione cresce la resistenza e

quindi la variazione di pressione. Quindi

quando le valvole sono completamente chiuse

avremmo un aumento della pressione che va

tendenzialmente all’infinito. Per questo si crea

sempre una via di fuga normalmente chiusa

ma nel caso in cui la pressione supera una

certa pressione di soglia questa si apre

scaricando flusso impedendo così alla

pressione di raggiungere valori troppo elevati.

In realtà la retta della portata ha una pendenza

che dipende proprio dalle perdite di flusso.

P-V diagram

HYDRO MECHANICAL LOSSES

= + ∆

1. Viscous friction

∝ ∝ ∝

1

( = ; = ; = à )

2. Contact friction ∝ ∝ ∆

0 2

( = )

0

3. Valve internal losses 2 2 2

∝ ∝ ∝

3

1 2

= ∆ + + ∆ +

1 2 3

2 EFFICIENCY

GEARS PUMPS

ISTANTANEUS FLOW RATE

STEP La ruota di sinistra ha un primo dente in posizione periferica che si

accoppia con la carcassa e si realizza una tenuta alla testa del primo

dente La pressione di delivery agisce dal basso verso l’alto sui fianchi

dei denti, si verifica una condizione per la quale i denti tra il

primo e l’ultimo sono completamente investiti da questa

pressione, mentre il primo e l’ultimo dente come vediamo in

figura sono solo parzialmente colpiti su una faccia dalla

pressione di delivery. Il primo dente fa tenuta con la cassa e

quindi ha tutta la faccia investita da mentre l’ultimo dente

realizza una tenuta nel solo punto di contatto C quindi ha solo

parte della prima faccia colpita dalla pressione.

Questo fa si che la pressione genera una coppia, i

denti intermedi hanno queste coppie uguali e

contrarie sulle due facce mentre per gli ultimi

denti si generano queste coppie sbilanciate.

Questo sbilanciamento di coppie genera proprio

un momento risultante che sarà la coppia

motrice.

Ovviamente per la seconda ruota sarà tutto analogo

Ora impostando il bilancio dell’energia si ottiene che

Però siccome durante il funzionamento i gear radius cambiano allora avremmo che anche la

portata sarà tempo variante Retta di azione

(line of contact) =0 → ≡≡ →=0

{ = → ℎ → =

Applichiamo il teorema di Carnot

cos( − ) = −

Quindi se sommiamo, otteniamo = () = ()

In conclusione 2 2

(

= 0 = 0) → = = ( − )

{ 2 2 2

( )

= = → = = ( − − )

Siccome il profilo del dente è ad evolvente (involute gear design)

allora possiamo riscrivere la retta d’azione come:

=

=

E quindi

Vediamo che la portata ha una legge parabolica in funzione dell’angolo d’ingranaggio con

andamento periodico dovuto alla commutazione del contatto sulla coppia del dente.

FLOW RIPPLE

Il ripple dipende dal massimo angolo dell’ingranaggio, dove se il numero di denti aumenta allora

l’angolo di ingranaggio diminuisce poiché la portata sarà più irregolare.

↑ ↓

2 2 2

= →=

2 2 2

( − )

=

2 2 2

4

= →=

2 2 2

2 ( − ) 4

{

In entrambi i casi possiamo sempre ridurre il ripple aumentando il numero di denti, che però ha

un limite superiore. Più denti si hanno e più crescono gli ingombri si perde di forza e durezza.

SINGLE CONTACT DOUBLE CONTACT

MEAN FLOW RATE

1

= ∫ ()

2

−

1 2 2 2 2 2

= ∫ ( − − )

2

−

2 2 2 2 2

= [ ∫ ( − ) − ∫ ]

2

− −

3

2 2 2 2

= [ ( − ) ∗ 2 − | | ]

2 3

−

3

2

2 2 2 2

= [ ( − ) ∗ 2 − ]

2 3

2

2 2 2 2

= ( − − )

3 2

2 2 2 2

→ = ( − − )

2

3 2

2 2 2 2

→ = ( − − )

{ 2

12

Quindi 1

=

_ _

4

Quindi il doppio contatto ha ripple 4 volte più piccoli rispetto al singolo contatto ma anche

portate 4 volte inferiori. STIMA DELLA CILINDRATA

2

= = → =

60 2

Facciamo nel solo caso di contatto singolo 2

2

2 2 2 2

= ( − − )

2

3

Dove questa è la formula più accurata, ma si possono anche utilizzare due versioni semplificate

più approssimative = 4 ( − )

{ 2 2

= 2( − )

RADIALS LOADS

AXIAS LOAD

Dobbiamo distinguere due tipologie di pompa diverse in base al design

1- Pumps with fixed axial clearence Non posso lavorare a

pressioni altissime

perché l’olio può

rimanere intrappolato

nel gap e generare

problemi di frizione

2- Pumps with variable axial clearence

Praticamente si sfrutta questo anello interno che ha due facce con

due aree diverse, in modo che queste facce sono colpite da bassa

pressione o alta pressione e creano delle forze di bilanciamento per

bilanciare il movimento assiale.

PRESSURE INSIDE THE TRANSFER CHAMBER

Applichiamo la conservazione della massa

∑ ̇ =

=1

Tanto fluido entra nella camera tanto fluido deve uscire, in realtà questo non è vero perché nella

camera ci sono tre diverse tipologie di perdite.

PRIMO TERMINE

1- Tip leakage flow ( )

2- Flank leakage flow ( )

3- Drain leakage flow ( )

Quindi, se analizziamo una sola camera, considerando positivo ciò che entra e negativo ciò che

esce avremmo

Queste equazioni si ottengono facendo due assunzioni

1. Consideriamo il gap dove si hanno le perdite come perfettamente rettangolare così

facendo possiamo utilizzare la legge di Poiseulle, e quindi dire che

2. Consideriamo che nelle zone dove ci sono i gap c’è uno scorrimento relativo e quindi

possiamo applicare la legge di Couette

Inoltre consideriamo che la velocità ha un profilo triangolare e quindi prendiamo una

velocità media

Quindi possiamo riscrivere il primo termine come

∑ ̇ = [( − + 2( − − 2

) )

,+1 , ,+1 , ,

=1 SECONDO TERMINE

Calcoliamo la prima derivata

1

=− → =− =−

( ℎ + = 0)

= → = → = = =

Per quanto riguarda la derivata del volume, posso dire che è la quantità di fluido persa per i gap

sopra i denti, quindi

= + ℎ = + ℎ

(ℎ ) (ℎ )

, ,+1 , ,+1

Quindi

= [ + + ℎ ]

(ℎ )

, ,+1

Concludendo si ha che

[( − + 2( − − 2 = [ + + ℎ ]

) ) (ℎ )

,+1 , ,+1 , , , ,+1

Per come è posto il problema si hanno n-1 equazioni e come incognite ci sono tutti i valori di

pressione più i valori delle altezze dei denti in relazione al gear angle. Quindi per come è posto il

problema non può essere risolto.

Per risolverlo dobbiamo trovare un modo per definire il valore delle altezze dei denti in relazione

al gear angle.

A questo punto l’equazione è risolvibile e si può ottenere il profilo della pressione.

Un incremento della velocità ritarda l’aumento graduale

( ↑)

della pressione, aumentando le perdite

e un incremento dell’eccentricità ritarda il punto

( ↑)

d’incremento della pressione perch&eacut