Riassunto esame Statistica, Prof. Paroli Roberta, libro consigliato Statistica , MC Graw Hill

Autore: Elena Albergante

Lezione 18/09/2024, 19/09/2024, 23/09/2024 – Lez 1.1 Dati, frequenze e grafici

Aree della statistica

• Descrittiva: insieme dei metodi per la raccolta, la presentazione e la sintesi dei dati relativi ad una popolazione allo scopo di descriverne le caratteristiche, descrivere un fenomeno.
• Probabilistica: studio del modello probabilistico generatore dei dati osservabili. Dal modello teorico al campione.
• Inferenziale: si fonda sulle aree precedenti, insieme dei metodi che permettono, avvalendosi di metodi probabilistici, di trarre conclusioni generali su una popolazione a partire dai dati osservati. Dal campione, parte di popolazione analizzata, al modello teorico, meccanismo generatore.

Il campione

Il campione deve essere rappresentativo e casuale.

• Affinché l’inferenza sia possibile e utile è importante che il campione sia rappresentativo, cioè il campione deve essere una miniatura della popolazione.
• Il campione deve essere casuale, cioè tutte le unità hanno una probabilità, anche non la stessa, di entrare a far parte del campione. Con un campione casuale è possibile quantificare l’errore che si compie nella stima del parametro di interesse.

I dati

I dati: il compito dello statistico è quello di elaborarli e analizzarli.

Matrice dei dati

Qualsiasi analisi statistica presuppone che i dati siano organizzati in modo che i risultati non siano influenzati dalla cattiva costruzione del database.

Le regole fondamentali sono verifica delle fonti, verifica della qualità dei dati, creazione della matrice dei dati.

La matrice dei dati = database:

• È una tabella formata da tutti i dati rilevati per ogni elemento e caratteristica oggetto dell’indagine.
• È fatta a righe e colonne.

Sulle righe ho gli elementi coinvolti nella mia indagine.

Sulle colonne ci sono le risposte per ogni domanda della mia indagine, cioè le caratteristiche degli elementi.

All’incrocio ci sarà un elemento, cioè la risposta dell’elemento 1 alla prima domanda.

• Unità statistiche o sperimentali (righe): è l’“elemento” dell’indagine, es. la famiglia, un individuo, appartamenti… È supporto fisico/materiale su cui si manifesta il fenomeno.
• I caratteri (o variabili) (colonne): è la singola domanda, la singola colonna.
• Ciò che c’è dentro alla tabella è la modalità del carattere, cioè il modo di manifestarsi del carattere. Le modalità dei caratteri possono essere:
  • Attributi se sono parole.
  • Misure se sono numeri.

Quindi le tipologie dei caratteri sono: qualitative e quantitative.

Quindi la matrice di dati è una tabella delle modalità, tutto ciò che c’è dentro, di tutti i caratteri rilevati per ogni unità statistica.

Autore: Elena Albergante

Tipologia di caratteri

I caratteri qualitativi possono essere sconnessi o ordinati e i caratteri quantitativi possono essere discreti o continui.

Caratteri qualitativi

I caratteri qualitativi: le modalità sono parole.

Sconnessi

Caratteri per cui non esiste nessuna regola che ci dice che qualcuno è prima dell’altro sono caratteri qualitativi sconnessi, o non sono ordinabili.

Questi caratteri sono quindi misurati sulla scala nominale.

Es. Sì/No, d’accordo/non d’accordo… non sono risposte ordinabili, non vale neanche l’ordinamento alfabetico, altrimenti tutto sarebbe ordinabile.

Ordinati

Caratteri per cui le modalità sono parole che hanno un significato per il quale possiamo fare un ordinamento si chiamano caratteri qualitativi ordinati.

Sono misurati quindi sulla scala ordinale.

Es. titolo di studio, grado di vendibilità del prodotto, risultato di un esame…

Caratteri quantitativi

I caratteri quantitativi sono numeri e quindi sempre ordinabili.

• Discreti: numeri interi, insieme di modalità finito.
• Continui: numeri reali, hanno la virgola o potrebbero averla, insieme di modalità infinito. Questo vale per pesi, misure e soldi.

Distribuzioni di frequenza e rappresentazioni grafiche

Distribuzioni di frequenze univariate e grafici

La statistica descrittiva univariata si occupa di tutti gli strumenti descrittivi per l’analisi di un solo carattere estratto dalla matrice dei dati, una colonna.

Distribuzioni di frequenza

Per organizzare i dati elementari in prospetti sintetici delle osservazioni è utile costruire una distribuzione o tabella utilizzando la nozione fondamentale di frequenza.

La distribuzione di frequenza è fatta da 2 colonne, tabella di frequenza.

• Prima colonna: tutte le modalità differenti, in ordine crescente se il carattere è ordinabile, cioè tutti i dati che abbiamo considerato, come si esplicita il nostro fenomeno.
• Seconda colonna: frequenze associate alle modalità.

Indicheremo con:

• n = numero totale di unità statistiche. Le unità statistiche sono le righe, quindi n è il numero di righe.
• k = numero di modalità distinte.
• n e k sono solitamente diversi tra loro.
• x_i = modalità distinte, i = 1, 2, …, k.
• n_i = frequenze, assolute, i = 1, 2, …, k.

Tipi di frequenze

• Frequenza assoluta = numero di unità statistiche che presentano una data modalità, n_i. Condizioni: n_i ≥ 0, interi.
• Σ_i=1^k n_i = n: la somma delle frequenze assolute deve dare n, cioè il totale delle unità statistiche.
• Frequenza relativa = numero di unità statistiche sul totale che presentano una data modalità, f_i.
• f_i = n_i/n. Condizioni: 0 ≤ f_i ≤ 1.

Autore: Elena Albergante

• Σ_i=1^k f_i = 1: la somma delle frequenze relative deve sempre essere uguale a 1.
• Moltiplicando per 100 le f_i si ottengono le frequenze percentuali p_i = f_i * 100%; saranno comprese tra 0 e 100 e la loro somma sarà 100.

Esercizio – Frequenze assolute su 30 unità statistiche per il carattere titolo di studio.

Esercizio – Frequenze assolute e relative su 30 unità statistiche del carattere stato civile.

n = 30, k = 4.

Frequenza cumulata

Numero/frazione di unità statistiche che presentano una data modalità “minore o uguale” alla corrente, N_i o F_i.

• Per calcolarle bisogna fare la somma delle varie frequenze.
• Esse hanno senso solo se il carattere è ordinabile.
• La prima frequenza cumulata è sempre uguale alla frequenza non cumulata, la seconda è la somma delle prime due, la terza è la somma delle prime tre e così via.
• L’ultima frequenza cumulata N_k è la somma di tutte le frequenze quindi coincide con n.
• Σ_j=1ⁱ n_j = frequenze assolute cumulate = n₁ + n₂ + n_i = n, con N₁ = n₁ e N_k = n.
• Σ_j=1ⁱ f_j = frequenze relative cumulate = f₁ + f₂ + f_i = f, con F₁ = f₁ e F_k = 1.

Esercizi: frequenze assolute cumulate su 30 unità statistiche. Frequenze relative cumulate su 30 unità statistiche del carattere numero componenti famiglia, del carattere numero componenti famiglia.

Suddivisione in classi di caratteri quantitativi

• Se il carattere quantitativo presenta molte modalità distinte può essere conveniente accorpare le modalità in classi.
• Il raggruppamento in classi si basa sulla costruzione di intervalli di valori chiusi o aperti, da… escluso, a… incluso. Tabella di frequenza per caratteri quantitativi ripartiti in classi.
• Le classi sono obbligatorie per i caratteri continui ma necessarie per alcuni caratteri discreti che hanno molte modalità differenti.
• Le classi o intervalli:
  • Devono essere disgiunte, senza sovrapposizioni.
  • Devono essere esaustive, devono contenere il minimo ed il massimo osservati.

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• Solitamente si intendono chiuse a destra: il limite superiore della classe è compreso nella classe ma il limite inferiore no.
• L’ampiezza di una classe è data dalla differenza tra limite superiore e inferiore; le ampiezze non devono essere obbligatoriamente costanti.

Esempio – Variabile età lavoro – 3 classi di ampiezza costante.

Esempio – Variabile anno di nascita – 5 classi di ampiezza costante.

• Se l’ampiezza non è costante allora non si possono confrontare le classi e si calcola la densità di frequenza.
• La densità di frequenza, d_i, è la frequenza assoluta, o relativa, rapportata all’ampiezza dell’intervallo: d_i = n_i/a_i oppure f_i/a_i, con a_i = ampiezza classe i-esima = h_i - h_i-1.

Esempio – Variabile età lavoro – 4 classi di ampiezza non costante.

Esempio – Variabile reddito annuo – 5 classi di ampiezza non costante.

• Grazie alla densità si possono confrontare le frequenze nei vari intervalli.
• Es. quale classe di reddito ha massima frequenza.
• Le densità non hanno proprietà.
• L’insieme delle coppie modalità + frequenze X = {(x_i, n_i); i = 1, 2, …, k} è detto mutabile statistica, se il carattere è qualitativo, o variabile statistica se il carattere è quantitativo, discreto o continuo.

Rappresentazioni grafiche – Rappresentazioni delle distribuzioni di frequenza univariate

• Caratteri qualitativi:
  • Diagrammi a torta, caratteri sconnessi: è un grafico circolare e in corrispondenza ad ogni modalità si disegna un settore circolare il cui angolo al centro è proporzionale alla frequenza, la grandezza della fetta corrisponde alla frequenza.
  • Diagrammi a rettangoli separati, caratteri ordinati: in corrispondenza ad ogni modalità si disegna un rettangolo con altezza proporzionale alla frequenza.
• Caratteri quantitativi discreti: diagrammi a bastoncini, canne d’organo. In corrispondenza ad ogni modalità si disegna un segmento con altezza proporzionale alla frequenza; le unità di misura dei due assi possono essere diverse.
• Caratteri quantitativi continui, o discreti con modalità in classi: istogrammi. In corrispondenza ad ogni classe si disegna un rettangolo con base proporzionale all’ampiezza della classe e altezza proporzionale alla frequenza, o alla densità se le classi sono di diversa ampiezza.
• In caso di classi di diversa ampiezza, ne basta anche solo una, disegno rettangoli uguali alle classi e sulle ordinate metto la densità di frequenza e non le frequenze.

I grafici su coordinate cartesiane in cui:

• Asse delle ascisse = modalità.
• Asse delle ordinate = frequenze assolute, relative, densità.

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Grafico delle frequenze cumulate

• Grafico cartesiano per la rappresentazione dell’andamento dei valori delle frequenze cumulate assolute o relative, N_i o F_i.
• È un grafico a gradini, scala crescente, arriva al max a F_i.
• Esempio – n. di stanze per abitazione.
• Esempio – nel caso di un carattere quantitativo di classi la funzione a gradini è approssimata ipotizzando che le unità statistiche siano equiripartite dentro la classe.

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Lezione 25/09/2024 – Lezione 1.2 Dati e tabelle doppie

Distribuzione di frequenza bivariate (doppie) e grafici

• La statistica descrittiva bivariata si occupa di tutti gli strumenti descrittivi per l’analisi di due caratteri congiuntamente estratti dalla matrice dei dati.
• Esempio: X = destinazione turistica; Y = giorni di vacanza.
• Poniamo di avere le seguenti coppie di dati per 20 famiglie.
• La distribuzione unitaria doppia, vale a dire l’elenco delle coppie dei dati (x_r, y_r) (r = 1, 2, …, n), è inadatto a far comprendere le caratteristiche del fenomeno.
• In genere la sintesi avviene attraverso la costruzione di una tabella di frequenze a doppia entrata.
• I caratteri X e Y possono essere entrambi qualitativi, entrambi quantitativi, o misti.

Costruzione della tabella a doppia entrata

• Scriviamo sulla prima riga e sulla prima colonna tutte le possibili modalità differenti dei due caratteri, in ordine crescente se possibile.
• In ogni casella segniamo il numero di volte in cui la determinata coppia si presenta. Es. 2 famiglie sono andati.
• Trasformo poi in numeri: queste si chiamano frequenze congiunte nella.
• Le frequenze congiunte sono il numero di unità statistiche che presentano una certa coppia di modalità: destinazione A e hanno soggiornato per 2 giorni.

La tabella a doppia entrata: frequenze congiunte e marginali

• La tabella a doppia entrata è la tabella include le frequenze congiunte n_ij che definiscono il numero di unità statistiche che possiedono contemporaneamente la modalità i del carattere X e la modalità j del carattere Y.
• Dalle frequenze congiunte è possibile calcolare la frequenza marginale n_i., si legge “n i punto”, il punto c’è perché j è ininfluente. Faccio la somma della riga, che definisce il numero di unità statistiche che possiedono la modalità i del carattere X, a prescindere dal valore delle modalità di Y. Frequenze marginali X.
• La frequenza marginale n_.j che definisce il numero di unità statistiche che possiedono la modalità j del carattere Y, a prescindere dal valore delle modalità di X. Frequenze marginali Y.
• Frequenze marginali perché stanno ai margini.
• Il totale n deve risultare come somma delle frequenze congiunte e somma delle frequenze marginali di X e Y.
• Le frequenze marginali NON possono essere uguali a zero.

Autore: Elena Albergante

Distribuzioni marginali X e Y

• La marginale X è formata dalle modalità di X x_i e dalle corrispondenti frequenze marginali n_i..
• La marginale Y è formata dalle modalità di Y y_j e dalle corrispondenti frequenze marginali n_.j.

Distribuzioni condizionate

• Modalità di X, fissata una modalità di Y.
• Modalità di Y, fissata una modalità di X.
• Sono distribuzione di frequenza di una variabile, fissata la modalità dell’altra.

Esempio.

Rappresentazione grafica della distribuzione di due caratteri

Due possibili grafici:

• Grafico delle coppie con frequenza unitaria.
• Grafico delle coppie in tabella a doppia entrata.

Entrambi sono grafici in coordinate cartesiane ortogonali:

• Asse ascisse: modalità variabile indipendente (X).
• Asse ordinate: modalità variabile dipendente (Y).

Grafico di dispersione o scatter plot

Le coppie di modalità di due caratteri, osservate per ciascuna unità statistica, vengono rappresentate come punti di un piano cartesiano i cui assi ortogonali corrispondono ai due caratteri.

Il punto rappresenta la singola unità statistica.

Grafico tabelle a doppia entrata (a bolla)

Le coppie di modalità di due caratteri quantitativi, osservate per ciascuna unità statistica, vengono rappresentate come punti di un piano cartesiano i cui assi ortogonali corrispondono ai due caratteri.

Ci sono due opzioni a seconda che si voglia tenere conto del valore della frequenza congiunta:

• Il punto rappresenta la frequenza congiunta diversa da zero.
• Il punto è un cerchio, o bolla, proporzionale al valore della frequenza congiunta associata.

Esempio.

Autore: Elena Albergante

Lezione 26/09/2024, 30/09/2024, 02/10/2024 – Lezione 2 Indici di posizione

Indici di posizione

• Sono valori sintetici che evidenziano le caratteristiche essenziali della distribuzione del carattere.
• Attraverso gli indici di posizione è possibile confrontare variabili statistiche con valori che rappresentano i livelli/valori tipici di due diverse distribuzioni.
• Date n osservazioni v₁, v₂, …, v_n o la variabile statistica X definita da {x_i, n_i} (i = 1, …, k), un indice di posizione è una funzione dei dati α(v₁, v₂, …, v_n) = α(x_i, n_i) = α(X) che gode di alcune proprietà.

Proprietà generali

1) Internalità, condizione di Cauchy: l’indice di posizione deve essere compreso tra il minimo ed il massimo dei dati osservati x_min ≤ α(X) ≤ x_max.

Questa proprietà è irrinunciabile.

2) Monotonicità: se due variabili statistiche hanno modalità minori o uguali una dell’altra allora la stessa relazione vale per i rispettivi indici di posizione: se X ≤ Y → α(X) ≤ α(Y).

3) Moltiplicatività, cambiamento di u.m.: se le modalità di una variabile statistica sono moltiplicate per una costante allora anche il valore dell’indice di posizione viene moltiplicato per la stessa costante: α(cX) = c α(X).

• Se valgono tutte l’indice di posizione si dice in senso stretto.
• Se non valgono 2) o 3) l’indice di posizione si dice in senso lato.

Indici tipici

• Non analitici: moda, percentili di ordine p, mediana.
• Analitici: medie potenziate aritmetica, armonica, geometrica, quadratica…

La moda

È la modalità con la massima frequenza.

Ci sono differenti modi di calcolo a sec