Relazione da consegnare per svolgere l'esame di Idrologia e infrastrutture idrauliche

Esercitazioni idrologia

Relazione realizzata da Eleonora Canestrelli, matricola 2128610, anno accademico 2025-2026

Esercitazione 1

Esercizio 1: Dati idrologici ed equazione di continuità

Calcolare la quantità di acqua immagazzinata S all’interno di un bacino in funzione del tempo t, considerando i dati di precipitazione cumulata e quelli di portata alla sezione di chiusura (misurati istantaneamente). Si assuma l’area del bacino pari a A = 1820 ha e si ipotizzi nulla la quantità d’acqua immagazzinata nel bacino al tempo t = 0.

Calcolare inoltre la percentuale di pioggia IDef che si ritrova nel deflusso superficiale osservato, la percentuale di pioggia IΔS trattenuta dal bacino, ed il tempo per cui è massimo l’accumulo di acqua nel bacino.

Svolgimento

Dopo aver convertito l’area del bacino in m2 (A=18200000 m2), analizziamo i dati del problema riportati in una tabella dove inseriamo l’intervallo di tempo Δt (mezz’ora), il tempo totale considerato incrementato di Δt, l’altezza della pioggia hcum ed infine la portata.

Immaginiamo il bacino di controllo diviso in 3 regioni per effetto del fenomeno di afflusso-deflusso in funzione dell’istante considerato:

• I, regione occupata dal fluido solo al tempo t, zona di afflusso;
• II, regione occupata dal fluido sia al tempo t che a quello t + Δt, zona di immagazzinamento;
• III, regione occupata dal fluido solo al tempo t + Δt, zona di deflusso.

Consideriamo come proprietà estensiva del bacino una variabile B e la sua variazione nel tempo e quindi nelle 3 aree e distinguiamo tra termini legati alle zone che si riferiscono al volume di controllo e termini legati alle zone che si riferiscono alle superfici del volume di controllo.

• Per il primo termine si ottiene: con β definita come la grandezza B per unità di massa fluida m e dm=ρ;
• Per il secondo termine si ottiene:

Allora l’equazione di partenza diventa. Definendo il flusso netto della grandezza estensiva (dipendente dalla massa) B come la differenza fra i due integrali di superficie otteniamo l’equazione del teorema del .= + ∙ trasporto di Reynolds: ∮ ∫

Il primo membro dell’equazione può ritenersi nullo per la conservazione della massa fluida mentre gli altri due termini corrispondono rispettivamente alla variazione di volume immagazzinato S ( ) e alla somma del volume d’acqua in uscita (deflusso Q(t)) e in ingresso (afflusso I(t)), ( = () − ().) perciò: Il segno dei flussi è dovuto dal coseno dell’angolo che forma in vettore velocità con la normale uscente dalla sezione considerata.

Nel caso esaminato, i dati idrologici sono forniti ad intervalli discreti, quindi è necessario rielaborare l’equazione di continuità per adattarla alla formulazione discreta. Ricaviamo innanzitutto il volume di portata defluita come la media della portata tra due intervalli Δt moltiplicati per l’intervallo stesso a partire dalle portate istantanee, i volumi affluiti come il prodotto tra l’area e le altezze di pioggia cumulate per ogni Δt, e l’intervallo Δs come la differenza tra i due volumi.

I valori riportati sono in m3 che andiamo a convertire in mm dividendo per l’area del bacino. Infine, calcoliamo la quantità di acqua immagazzinata S come la somma progressiva dei valori di ΔS trovando così Sfinale=21.82mm.

Riportiamo poi la somma dei volumi di deflusso ed afflusso e calcoliamo la percentuale di pioggia del deflusso come il rapporto tra i due volumi. Il valore complementare sarà la pioggia immagazzinata nel bacino:

Il grafico in figura mostra l’andamento della pioggia e dell’acqua immagazzinata nel bacino. Notiamo che tale andamento, in funzione del tempo t considerato in ore, è massimo tra le 2 e le 3.30 h in corrispondenza dei valori di altezza delle piogge massimi e decresce una volta che il valore di hcum è nullo.

Esercizio 2: Grandezze meteorologiche

In una stazione climatica, la pressione dell’aria è pari a 110 kPa, la temperatura dell’aria 20°C, e il punto di rugiada a 16° C. Calcolare la corrispondente pressione di vapore, l’umidità relativa, quella specifica e la densità dell’aria.

Svolgimento

Riportiamo i dati e calcoliamo le diverse grandezze meteorologiche richieste partendo dalla pressione di vapore e di vapor saturo.

La pressione di vapore saturo corrisponde alla pressione sotto la quale si raggiunge la temperatura di rugiada: in corrispondenza di tale temperatura la quantità di acqua che evapora è pari a quella che condensa nell’unità 17.27 = 611 di tempo (l’aria diventa satura di vapore): (l’operazione richiede la temperatura in Celsius, 237.3+ ma il risultato deve essere moltiplicato per 1000 per ottenere KPa).

Ricaviamo poi l’umidità relativa come il rapporto fra la pressione di vapore e la sua pressione di vapor saturo e l’umidità specifica definita = = 0.622 come la massa di vapore acqueo contenuta nell’unità di massa di aria umida. Infine, per = (1 + 0.608) = la densità dell’aria calcoliamo inizialmente la costante dei gas per l’aria umida 287(1 + 0.608) con Rd costante dei gas perfetti pari a 287 J/kgK così da poter utilizzare il valore per il = / calcolo della densità.

Esercizio 3: Acqua precipitabile

Calcolare la quantità di acqua precipitabile in una colonna d’aria satura di altezza pari a 10 km e avente una base circolare di area pari a 1m2. Si considerino i seguenti dati:

• Pressione dell’aria al suolo: 101.3 kPa
• Temperatura al suolo: 30° C
• Gradiente termico pari a 6.5°C/km
• Costante dei gas perfetti Ra pari a 287 J/kgK.

Svolgimento

L’esercizio ci richiede di calcolare l’acqua precipitabile, ovvero la quantità di umidità presente in una colonna atmosferica. Dividiamo la colonna in intervalli di Δz=1km e calcoliamo la temperatura e la pressione.

La variazione della temperatura lungo la quota corrisponde a: 2 = 1 − (2 − 1) (i valori trovati verranno poi riportati in Kelvin sommando 273), mentre la variazione della pressione con la temperatura è: 2 = 1(2/1 ) = /,.

Calcoliamo in seguito la densità dell’aria umida, la pressione di vapor saturo e l’umidità specifica 17.27 = 611 = = 0.622. Per trovare la massa d’acqua in tutta la 237.3+ 2 = colonna tra z1 e z2 sommiamo tutti i contributi nell’elemento infinitesimo: che, ∫1Δ = ̅̅̅̅̅̅̅Δ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅ calcolandolo in forma discreta per Δz, diventa: dove sono i valori medi calcolati su Δz.

Infine calcoliamo il valore totale dell’acqua precipitabile sommando tutti i valori trovati (mp= 76.07 Kg) e calcoliamo la percentuale relativa ad ogni intervallo.

Esercizio 4: Cella temporalesca

Considerata una cella temporalesca convettiva di 5km di diametro, posta ad una quota dal suolo di 1.5km, e le seguenti condizioni atmosferiche registrate al suolo:

• Pressione dell’aria al suolo: 101.3 kPa
• Velocità del vento pari a 1 m/s
• Aria satura con temperatura pari a 30° C
• Gradiente termico pari a 7.5°C/km

calcolare l’intensità di precipitazione dell’evento meteorico.

Svolgimento

Come già fatto in precedenza, calcoliamo la temperatura, la pressione, la densità dell’aria umida, la pressione di vapor saturo e l’umidità specifica per le quote geodetiche z=0/1.5/10 Km.

La cella temporalesca è un modello semplificato adatto a spiegare le precipitazioni intense che si basa sulle seguenti ipotesi:

• Le nubi si formano appena si raggiunge la temperatura di saturazione
• Le variazioni di temperatura sono causate dal movimento ascendente e dall’espansione adiabatica dell’aria
• Viene in prima approssimazione trascurata l’acqua liquida immagazzinata nelle nubi

In queste condizioni la condensazione nell’unità di tempo uguaglia l’intensità di precipitazione.

Indichiamo con B (grandezza estensiva) la massa di vapor=d’acqua, mentre come proprietà intensiva l’umidità v = / specifica q che ricordiamo essere. Inserendo v = ȳ = = nel teorema di Reynolds, si ȳȳ = + ∙ ottiene dove ∮ ∫ il primo termine è nullo per l’ipotesi di stazionarietà. ȳ =

Data una precipitazione con intensità di pioggia i − , − = possiamo riscrivere l’equazione come: ∙ − ∙ (le sezioni 1 e 2 si ∮ ∮ 2 1 possono notare in figura). = (1 − )): ρdV ∙ d A = 0

Scriviamo ora l’equazione di continuità per l’aria secca (con densità ∮1−1( ) = ( ) ( ). ottenendo così l’equazione di continuità: Andando a sostituire il risultato 2 1 1−2 ottenuto nell’equazione precedente, otteniamo l’equazione di continuità per la cella temporalesca:).

Il risultato ottenuto è i= 0.000017 m/s che convertendo in mm/h diventa i= 61.38 mm/h.

Esercitazione 2

Esercizio 1: Parametri statistici

Considerata la serie storica dei massimi annuali delle portate al colmo del fiume Tevere registrata alla stazione di Roma Ripetta, calcolare i principali parametri statistici (media, varianza, scarto quadratico medio, coefficienti di variazione, di asimmetria e di curtosi).

Svolgimento

Nell’idrologia spesso si ricorre allo studio di caratteristiche idrauliche di bacini idrografici tramite parametri statistici perché non sempre siamo in grado di ottenere misure precise di variabili idrologiche di nostro interesse (come nel caso della portata nella sezione di chiusura dei bacini a causa della mancanza in molte aree di una strumentazione in grado di effettuare misurazioni precise in condizioni di piena).

L’utilizzo della statistica ci consente di ottenere valori più o meno precisi a partire da dati provenienti da stazioni vicine o da dati misurati in anni precedenti in eventi simili a quelli di nostro interesse. Si possono infatti considerare le variabili idrologiche come variabili casuali caratterizzate da una specifica distribuzione di probabilità: i metodi statistici attribuiscono ad ogni portata per ogni evento una certa probabilità di non superamento (anche se stiamo ammettendo che la portata possa assumere qualunque valore, non abbiamo un limite superiore, assegnamo agli eventi eccessivamente elevati una probabilità talmente bassa da considerarli impossibili).

È quindi importante estrarre informazioni essenziali da un insieme di dati misurati andandoli poi a sintetizzare in una serie di parametri.

Dai valori registrati nel passato attraverso metodi come AM (Annual Maximum) o POT (Peacks over Threshold) si cerca di costruire una serie storica che rispetti le ipotesi di stazionarietà e di indipendenza stocastica. La serie storica se dotata di una numerosità campionaria sufficiente (in genere 20 anni di osservazioni) rappresenterà una campione, una parte di valori estratti a caso dalla popolazione di una variabile casuale che è definita come l’insieme di tutti i valori che può assumere la varaibile casuale.

Determinare la variabile casuale o aleatoria significa quindi trovare la distribuzione di probabilità che meglio approssima sia la serie storica dei dati osservati (il campione), sia il comportamento reale del fiume (la popolazione).

Una variabile aleatoria è una funzione che associa un numero reale ad ogni possibile risultato di un fenomeno aleatorio, ovvero una variabile X associata ad una partizione di eventi E sulla quale è associata una distribuzione di probabilità P. Queste si dicono discrete se le variabili possono assumere solo valori reali discreti xi, continue se possono assumere qualsiasi valore reale in un intervallo compreso tra due estremi.

I principali parametri statistici che sono necessari per lo studio statistico di un campione sono:

• Media di un campione: = 1/ ∑
• Varianza: media aritmetica tra i quadrati delle differenze tra i valori della distribuzione e il valore +∞2 2 = ( − ) () medio o anche momento di ordine 2 ∫−∞∑ (−)√ =1 =
• Deviazione standard: 2 ∗= /
• Coefficienti di variazione: grado di dispersione della variabile casuale +∞3 31 = / = ( − ) ()
• Coefficiente di simmetria: dove è il momento di ordine 3. ∫3 3 −∞

Questo coefficiente fornisce l’asimmetria della distribuzione di probabilità rispetto alla distribuzione normale 2 = /

• Coefficiente di curtosi: grado di appiattamento della funzione di probabilità 2 4 2

Si riportano in questa tabella gli indici di posizione quali moda (valore con frequenza più alta) e mediana (valore al di sotto del quale cadono metà dei valori campionari).

Esercizio 2: Adattamento delle serie storiche alle distribuzioni di probabilità

• Eseguire l'adattamento, utilizzando il metodo dei momenti, della serie storica alle seguenti distribuzioni: a) dist. normale (o di Gauss); b) dist. log-normale (o di Galton); c) dist. asintotica del massimo valore di I tipo (o di Gumbel); d) dist. Gamma; e) dist. asintotica del massimo valore di II tipo (o di Frechet a due parametri).
• Rappresentare, successivamente, sulle carte probabilistiche (e/o QQ-plot) i punti relativi alle frequenze cumulate campionarie della serie, confrontandoli con le espressioni teoriche delle funzioni di ripartizione identificate dai parametri stimati con il metodo dei momenti. Per l’individuazione delle frequenze empiriche di non superamento della serie su carta probabilistica si utilizzi la formula di Blom (b=3/8).
• Al fine di verificare l’adattamento del campione di dati osservati alle quattro distribuzioni di probabilità, eseguire, infine, i seguenti test statistici con livelli di significatività pari al 95% ed al 99%:

1. Test di Pearson (o del Chi-quadrato);
2. Test di Kolmogorov-Smirnov.

Svolgimento

Una volta calcolati i parametri caratteristici delle distribuzioni di probabilità dobbiamo adattare la serie storica alle distribuzioni sopra riportate. Per fare ciò utilizziamo il metodo dei momenti dove assumiamo che: i parametri delle distribuzioni sono esprimibili in funzione dei parametri statistici della popolazione, tali parametri coincidano con quelli del campione e, quindi, che i parametri della distribuzione prescelta vengano espressi in funzione dei parametri statistici del campione.

I risultati sono poi riportati su carte probabilistiche: grafici utilizzati per verificare l’ammissibilità della funzione di probabilità scelta per descrivere il campione, i punti infatti, devono addensarsi lungo una retta. La carta probabilistica permette quindi di rappresentare la distribuzione di una variabile aleatoria e confrontarla con un modello teorico.

Riportiamo infine un grafico Q-Q PLOT che corrisponde alla rappresentazione grafica dei quantili di una distribuzione.

Inizialmente, per ogni tipo di distribuzione, ordiniamo il campione in senso decrescente e calcoliamo la () = ( ≤ ) = = ( − )/ ( + 1 − 2) frequenza di non superamento dove b= 3/8 per la formula di Blom (tale funzione ci permette di introdurre una correzione per evitare che nel campione si () abbiano valori di frequenza = 0 1).

Distribuzione normale

Distribuzione che descrive il comportamento di variabili casuali che si distribuiscono intorno ad un valore medio. La sua funzione di densità di probabilità è mentre la funzione di ripartizione.

Distribuzione log-normale

La distribuzione di probabilità lognormale è molto simile alla distribuzione sopra riportata, ma a seguire la legge normale non è la variabile originaria x ma il suo logaritmo y= ln(x). Presenta una funzione densità di probabilità e una funzione di ripartizione.

Distribuzione di Gamma

Tale distribuzione viene anche chiamata di Pearson di tipo III a due parametri ed è caratterizzata da una () = funzione densità di probabilità e funzione di ripartizione +∞ −1 − 2 ≥ 0, = ( ) = dove e sono i parametri della distribuzione. ∫−∞() In questo caso si rappresenta solo il grafico Q-Q PLOT in quanto la distribuzione gamma non si normalizza. Essa, infatti, è definita