Principi di ingegneria elettrica - domande

1) Descrivere i metodi di analisi delle redi di bipoli lineari in regime stazionario: sovrapposizione degli effetti (senza dim), generatori

equivalenti di Thevenin e Norton (senza dim, ma spiegando le relazioni tra i generatori equivalenti e tenzione a vuoto, corrente di

cortocircuito e resistenza equivalente), serie e parallelo di bipoli, partitori di tensione e corrente.

Sovrapposizione degli effetti:

In un circuito costituito da bipoli lineari, la tensione Vn e la corrente In, possono essere calcolate valutando volta per volta gli effetti

dei singoli generatori ideali di tensione En e di corrente Jn.

Ogni singolo termine costituisce l’effetto di un generatore (Eo J) per volta, con tuti gli altri generatori E o J spenti.

Un generatore di tensione spento equivale ad una tensione

Un generatore di corrente spento equivale ad una corrente

Generatore equivalente di Thevenin

Il comportamento di una qualunque rete di bipoli lineari in termini di tensione V e corrente I, ai terminali A e B è equivalente a

quello di un bipolo costituito da un generatore ideale di tensione Eeq in serie con un resistore di resistenza Req avente i seguenti

valori:

Il comportamento del bipolo è indistinguibile da quello del circuito originario, indipendente dal bipolo esterno.

Generatore equivalente di Norton

Il comportamento di una qualunque rete di bipoli lineari in termini di tensione V e corrente I ai terminali A e B è equivalente a

quello di un bipolo costituito da un generatore ideale di corrente Ieq in parallelo con una conduttanza Geq aventi i seguenti valori:

Il comportamento del bipolo è indistinguibile da quello del circuito originario, indipendente dal bipolo esterno.

Bipolo: rete accessibile solo da una coppia di morsetti in cui la corrente che entra nel bipolo è uguale a quella che esce, e la

tensione ai capi del bipolo è indipendente dal cammino seguito

Bipolo in serie

Due bipoli sono in serie se il terminale in comune tra i due bipoli non converge con altri collegamenti

Partitore di tensione: se i bipoli son attraversati dalla stessa corrente allora la tensione totale si ripartisce sui bipoli in modo

proporzionale alla resistenza.

Bipoli in parallelo

Due bipoli sono in parallelo se i loro terminali sono collegati agli stessi nodi A e B

Partitore di corrente: se i bipoli hanno la stessa tensione, allora la corrente totale si ripartisce sui bipoli in modo proporzionale alla

conduttanza.

2) Descrivere le proprietà dei bipoli condensatori e induttori: equazione caratteristica differenziale, potenza istantanea ed energia

immagazzinata, equazione in forma fasoriale, impedenza, impedenza, reattanza induttiva e capacitiva, sfasamento tra tensione e

corrente.

Bipolo condensatore

È costituito da due armature (corpi conduttori) in cui sono depositate cariche elettriche di segno opposto:

• Equazione caratteristica differenziale:

o È un bipolo con memoria

o C’è una relazione differenziale tra V e I

o In regime stazionario si comporta come un circuito aperto

• Potenza istantanea: →

o È una potenza assorbita in convenzione dell’utilizzatore

• Energia immagazzinata tra to e t:

o L’energia assorbita è una funzione di stato della sola tensione

o Il condensatore è un serbatoio di energia, nel senso che l’energia assorbita viene integralmente rilasciata se la

tensione ai suoi capi Vc torna al valore iniziale

• Equazione in forma fasoriale:

• Impedenza:

• Reattanza capacitiva:

Tensione e corrente sono funzioni sinusoidali in quadratura, la corrente in anticipo di π/2 sula tensione.

Bipolo induttore

Genera un campo magnetico al passaggio di corrente elettrica è costituito da un avvolgimento di materiale conduttivo:

• Equazione caratteristica differenziale:

o L= coefficiente di autoinduzione/induttanza

o È un bipolo con memoria:

• Potenza istantanea:

o È una potenza assorbita→ in convenzione dell’utilizzatore

• Energia immagazzinata tra to e t:

o Dipende solo dal valore iniziale e finale→ è una funzione di stato

• Equazione in forma fasoriale:

• Impedenza:

• Reattanza induttiva:

Tensione e corrente sono funzioni sinusoidali in quadratura, la corrente in ritardo di π/2 sula tensione.

3) Descrivere la legge di Faraday- Neumann e le proprietà del mutuo induttore: equazione caratteristica differenziale, potenza

istantanea ed energia immagazzinata, e del trasformatore ideale: equazioni caratteristiche, potenza, resistenza vista attraverso un

trasformatore ideale.

Flusso di induzione magnetica

Legge di Faraday-Neumann

Data una spira conduttrice filiforme disposta lungo una linea chiusa lc on terminali a piccola distanza, per una variazione del flusso

di induzione φb concatenata nel tempo, la spira produce una forza elettromotrice indotta a Vba misurabile con voltmetro.

Il fenomeno è noto come induzione elettromagnetica

Il campo elettrico indotto Ei è vorticoso (rotazionale) dove il campo di induzione magnetica B è variabile:

Il vettore campo di induzione magnetica B è un solenoide

Mutuo induttore

Si tratta di un doppio bipolo formato da 2 conduttori filiformi magneticamente isolati dall’esterno.

Per la legge di Faraday, il campo magnetico generato da uno dei due circuiti esercita un campo magnetico indotto sull’altro, detto

flusso concatenato

Flussi concatenati:

Se il materiale è lineare uniforme, il campo di induzione magnetica B e quindi i flussi φ1 e φ2 possono essere calcolati

sovrapponendo gli effetti delle correnti:

Il coefficiente di mutua induzione è:

Quindi le tensioni

Potenza assorbita:

Potenza immagazzinata:

È una funzione di stato, posso trasferire energia al circuito 1 a 2 e viceversa, senza collegamenti elettrici, lo scambio di energia è

mediato dall’induzione magnetica.

Trasformatore ideale

Il trasformatore è una macchina elettrica statica, cioè priva di organi in movimento, il cui funzionamento è basato sul principio

dell’induzione magnetica. Un trasformatore è un doppio bipolo:

In cui n=N1/N2 rapporto d trasformazione:

• Induttanze degli avvolgimenti molto grandi

• Accoppiamento “perfetto” tra i due avvolgimenti

• Tensioni v1 e v2 e correnti i1 e i2 limitate

• →

n= coefficiente di accoppiamento dice quanto del flusso prodotto da un avvolgimento si concatena all’altro

Esso garantisce la separazione dei potenziali elettrici dei due circuiti (isolamento galvanico), inoltre è trasparente alla potenza, cioè

la potenza assorbita dal circuito primario coincide con quella erogata dal secondario

Guardando dal 1° al 2°, una resistenza appare come:

Guardando dal 2° al 1°, il generatore ideale di tensione e la resistenza appaiono come:

4) Descrivere il metodo della trasformata di Steinmetz per lo studio delle reti in regime sinusoidale: valore efficace, pulsazione e

fase, passaggio da espressione sinusoidale a notazione fasoriale, proprietà della trasformazione (somma, prodotto, derivata), leggi

di Kirchhoff per i fasori, impedenza di un bipolo e legge di Ohm generalizzata.

Una rete è in regime sinusoidale quando tutte le tensioni e correnti variano nel tempo come sinusoidi isofrequenziali.

Una funzione sinusoidale è esprimibile come:

Per risolvere un circuito elettrico in regime sinusoidale con v(t) e i(t) variabili nel tempo, bisognerebbe risolvere le equazioni

caratteristiche di tipo differenziale.

Trasformata di Steinmetz

Consente di risolvere attraverso l’uso di fasori un circuito in regime sinusoidale. Essa stabilisce una corrispondenza biunivoca tra

funzioni sinusoidale e numeri complessi. Associando alla sinusoide un vettore rotante che rappresenta tale funzione, poi attraverso

la trasformata di Steinmetz indentifico il fasore.

Si associa quindi alla sinusoide il numero complesso tale che:

• Ha modulo pari al valore efficace A della sinusoide

• Ha argomento pari alla sua fase iniziale α

Dove e è il numero di nepero e j l’unità immaginaria. I numeri complessi prodotti dalla trasformata di Steinmetz sono detti fasori. La

corrispondenza tra funzione sinusoidale e fasore è univoca solo se la pulsazione angolare w è fissata

Proprietà della trasformata

• Somma:

La somma di due funzioni sinusoidali corrisponde ad un fasore che ha per parte reale la somma delle due parti reali e

→

parte immaginaria la somma delle parti immaginarie. somma di funzioni sinusoidali= somma dei fasori

• Prodotto:

Il prodotto di un fasore per uno scalare k vale:

La moltiplicazione di una funzione sinusoidale per una costante k corrisponde al prodotto del fasore per la costante k.

• Derivata:

La derivazione della funzione sinusoidale corrisponde alla moltiplicazione del fasore per costante jw

Tutte le proprietà dei bipoli lineari in regime stazionario rimangono valide anche in regime sinusoidale (LKC, LKT, serie e parallelo,

partitore, sovrapposizione degli effetti, generatori equivalenti)

Leggi di Kirchhoff

La somma dei fasori delle correnti sui conduttori connessi ad uno nodo (con orientazione coerente è nulla. La somma dei fasori

delle tensioni sui bipoli di una maglia (con orientazione coerente) è nulla.

Impedenza di un bipolo

L’impedenza di un bipolo è il rapporto tra fasore della tensione e fasore della corrente

Legge di Ohm generalizzata

5) Descrivere la potenza elettrica scambiata da un bipolo in regime stazionario e sinusoidale: potenza istantanea, attiva, reattiva,

complessa, apparente, triangolo delle potenze e conservazione delle potenze.

In regime stazionario la potenza istantanea è P=V*I [W] e, a seconda che si abbia un bipolo generatore o utilizzatore, si avrà una

potenza generata e una assorbita.

In regime sinusoidale la potenza scambiata rimane valida istante per istante

• Potenza istantanea assorbita:

• Potenza attiva: si definisce potenza attiva il valore medio in un periodo di una potenza periodica.

È massima se V e I sono in fase, minima se V e I sono in opposizione di fase, nulla se V e I sono in quadratura.

• Potenza reattiva:

Ha valore medio nullo ed esprime il valore massimo della potenza “rimpallata” tra il bipolo e il resto della rete.

È positiva se associata a componenti induttivi, negativa se capacitivi.

• Potenza complessa:

è il prodotto tra il fasore della tensione e il coniugato della corrente. Potenza attiva (Re (j)) e poi reattiva (Im (s)) possono

essere rappresentate come i lati di un triangolo nel piano di Gauss.

Il principio di conservazione delle potenze può essere applicato per la potenza attiva, reattiva e complessa ma solo apparente

(somma di moduli tutti positivi o nulli). In una rete di bipoli elettrici, in conseguenza di LKC e LKT, la somma delle potenze è nulla in

ogni istante, poiché la somma delle potenze erogate dai bipoli generatori è uguale alla somma delle potenze assorbire dai bipoli

utilizzatori valgono:

bilancio delle potenze istantanee:

bilancio delle potenze complesse:

bilancio delle potenze attive:

bilancio delle potenze reattive:

6) Spiegare il concetto della compensazione della potenza reattiva: motivazioni, diagramma fasoriale di tensione corrente, triangolo

delle potenze prima e dopo il rifasamento, capacità di rifasamento.

I carichi utilizzatori delle utenze di tipo industriale hanno quasi sempre un comportamento di tipo resistivo- induttivo.

Il generatore, dunque, oltre alla potenza necessaria a produrre lavoro, deve erogare anche della potenza reattiva che produce

perdite di carico e cadute di tensione. Tali carichi possono essere schematizzati come un resistore R collegato in seria ad un

induttore L, alimentati da un generatore ideale di tensione E.

Supponiamo

L’impedenza del carico RL vale:

La corrente del carico RL vale:

La potenza assorbita dal carico RL vale:

Quindi

Dato che

• Si potrebbe ottenere la stessa potenza PRL con la stessa tensione E e una corrente IRL piú piccola

• Con la stessa tensione E e corrente IRL sarebbe possibile ottenere una potenza piú grande

Si introduce allora un condensatore in parallelo al carico RL

La corrente

Quindi

Scegliendola capacità in modo opportuno, la corrente totale erogata dal generatore può essere ridotta

La potenza assorbita è

Poiché

La cap