Prima parte appunti Ingegneria elettrica

Ingegneria elettrica

Modello a parametri concentrati

Un modello matematico è una rappresentazione astratta della realtà che include solo gli aspetti rilevanti allo scopo dello studio della stessa. Un modello è definito ad un determinato livello di astrazione. La realtà viene descritta con un certo livello di dettaglio, includendo nella rappresentazione solo quelle componenti e interazioni fra componenti che si ritengono necessarie allo scopo prefissato. Non esiste un modello matematico perfetto. Un modello matematico descrive bene un fenomeno fisico sotto determinate ipotesi.

Perché non bisogna sempre usare le equazioni di Maxwell?

Ci impiegheremmo molto più tempo ad usare le equazioni di Maxwell rispetto ad utilizzare un'analisi a parametri concentrati.

Differenze

Sistema a costanti concentrate: Le tensioni e le correnti sono solo funzioni del tempo: V(t) e I(t). Per l’analisi di una rete si possono usare le leggi di Kirchhoff.

Sistema a costanti distribuite: Le tensioni e le correnti sono funzioni del tempo e dello spazio: V(t,x) e I(t,x). Per l’analisi di una rete si devono usare le equazioni di Maxwell.

Circuito elettrico

Un circuito elettrico è un insieme interconnesso di componenti elettrici tra loro collegati in un percorso chiuso.

Dispositivo a parametri concentrati

Un dispositivo si dice a parametri concentrati quando presenta una grandezza fisica di valore trascurabile rispetto al valore della stessa grandezza riferita al sistema fisico in cui tale dispositivo agisce.

Quando si possono usare le costanti concentrate?

Dato un filo lungo L, di materiale conduttore attraversato da una corrente i in regime stazionario (la corrente è continua), descrivo una superficie chiusa S che lascia all’esterno solo i morsetti A e B. Dal punto di vista fisico la corrente entrante in A per arrivare in B impiega un certo tempo. Tuttavia se in modulo le due correnti sono uguali, allora è come se il tempo impiegato fosse zero e, di conseguenza, la velocità di propagazione infinita. In realtà la velocità di propagazione è quella della luce c = 300000 km/s.

Possiamo ora esprimere in formule le correnti: \( i = I \sin(\omega t) \)A = \(-i I \sin(\omega(t - \tau))\)B. Con \(\omega = 2\pi f\) e \(T\), che è il tempo impiegato dalla corrente nel passare da A a B: Pertanto la corrente posso esprimerla come: \( i = I \sin(\omega(t - \tau)) \) Isin(\(\omega t - \omega \sin(\omega t - B\))

Quindi posso usare il modello circuitale a parametri concentrati solo quando la quantità \(\lambda / c\) tende a zero.

Definiamo \(\lambda\) come lunghezza d’onda intesa come rapporto tra la velocità di propagazione del campo elettromagnetico (proprietà del mezzo) e la frequenza con cui sto eccitando la struttura (proprietà della grandezza che sta sollecitando il mezzo). Quindi avremo un circuito analizzabile con il modello circuitale quando \(\lambda \rightarrow \infty\) e cioè quando è molto più grande della massima lunghezza del dispositivo elettrico.

Esempi

• f = 50 Hz, \(\lambda = c/f = 300000/50 = 6000\) m: se la dimensione del filo con cui trasmetto la corrente elettrica è 30 m (come ad esempio nell’impianto elettrico di una stanza), possiamo usare il modello circuitale. Se L fosse 3000 km (come ad esempio nelle linee che trasportano l’energia elettrica attraverso grandi estensioni territoriali), non si possono adoperare i parametri concentrati.
• f = 50 kHz, \(\lambda = 300000/50000 = 6\) km: se trasmetto un segnale a 50 kHz (ultrasuoni) con un filo di 30 m, non posso più modellare un circuito, perché il \(\lambda\) comincerebbe a non essere più trascurabile.
• f = 50 MHz, \(\lambda = 300000/50000000 = 6\) m (trasmissioni radio).
• f = 50 GHz, \(\lambda = 300000/50000000 = 6\) mm: se devo effettuare la circuiteria di un computer, non posso avere lunghezze dei dispositivi troppo elevate.

Elementi

Gli elementi che costituiscono una rete elettrica sono caratterizzati da un parametro. Un elemento lineare può essere descritto attraverso un’equazione integro-differenziale a coefficienti costanti. Una rete costituita da soli elementi lineari è detta lineare. Gli elementi delle reti elettriche lineari sono:

• Resistenze
• Induttanze
• Capacità
• Generatori

Resistenza

La relazione fra la tensione v e la corrente i in una resistenza R è espressa dall’equazione: \( v(t) = R \cdot i(t) \). R è costante e si misura in ohm (Ω).

Prima legge di Ohm

L’intensità della corrente che attraversa un conduttore cambia al variare di V. Sperimentalmente si può verificare il comportamento di I al variare di V, tenendo costante la temperatura. Per tutti i conduttori metallici la curva è una retta che passa per l’origine: ciò significa che l’intensità di corrente è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale applicata.

L’intensità di corrente I che attraversa un conduttore metallico mantenuto a temperatura costante è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale V applicata ai suoi estremi: \( I = \frac{V}{R} \), dove R è la resistenza elettrica del conduttore.

Cortocircuito e circuito aperto

Nel cortocircuito la tensione v è nulla qualunque sia la corrente i. Nel circuito aperto la corrente i è nulla qualunque sia la tensione v.

Seconda legge di Ohm

La resistenza di un conduttore dipende dalla sua forma e dal materiale di cui è composto. Approssimando un conduttore ad un cilindro di lunghezza l e sezione S, la resistenza del conduttore vale: \( R = \rho \frac{l}{S} \) (Ω), dove ρ (Ω·m) è la resistività del materiale.