Prima parte Appunti di statistica per la sperimentazione e le previsioni in ambito tecnologico

ŷᵢ = β̂⁰ + ∑_j=1^k β̂ⱼxᵢⱼ + ε̂ᵢ

i=1,2,...,ny = β₀+β₁x₁+β2x2+...+βkxk+edove β₁ⱼ = coefficienti di regressioneβⱼ - l'appostta da quale attiere risposta Y per ogni varia varia di Xⱼquato tutte le retrtenu vancibli indpretedi sono mautente costleti.

Metodo dei minimi quadrati ordinari (OLS)

Utilizzato per stimale i coefficienti di regressione inun modello di regressione lineare flutter per fine unadi dati senza superdispersone ne terristosci.

Si assume che E(ε) = 0; V(ε)=2 che {εᵢ}iano variabiliSoiaci, non carpetee e i dei sono formalmente dismbibuti.

Il metodo dei minimi quadrati ordinari permette diottenere le stime di βⱼ in mocado tra i che la somma deiquadreti (SSQ) dei residui sia minimizzata questonon impoica peuvessi aini setti i monocio tujeene.

Funzione OLS

L = ∑_i=1ⁿ εⱼ² = ε’e.

L = ∑_i=1ⁿ (yᵢ - β̂₀ - ∑_j=1^kβ̂ⱼxᵢⱼ)².

y = xβ+e cioe y = │ y₁ │ = │ ŷ1 │ + │ β₀ │ │ y₂ │ │ ŷ2 │ │ β₁ │ │ yₙ │ │ ŷn │ │ ε₁ │.

e obbiettio é troque il vetor degle stimatori OLs (β̂) cheminimizza, L = 1/2 εⱼ² = ε’e = (y-xβ) (y-xβ).

L'ols deve soddisfare dL/dβ l = -2x'y +2x'X + x'y = 0.

Che Si specificio con la formura X'Xβ = x'yper uato ; β̂ = (x'x)^-1 x'y.

Il modello di regressione adottato é

ŷⱼ = x_βjche in formal secederle oiuetita: ŷᵢ = β̂0 + β̂ⱼxiyi.

La differrena tra l'osservaztone effettiva yi e lacorrisoondolete Fitted Value ŷᵢ e amiuatataresidioe residuo = y - ŷ.

SSE = SOTITU DEI ∑_i=1ⁿ (yi-ŷⱼ)² = ∑_i=1ⁿ eⱼ² = y꜀ⱼ -β̂ⱼx'y.

Incerte: E(SSₑ) = θ²(n-p) θ̂² = SSE/n-p(I con n-p Graefe).

Stima imparazale del parametro β

Il tetodo dei OLS perette una stima imparazaledel parametro β Nel Otebodo di aggressioneinfatti [(β̂ - β̂)/(σ²)](X'X + λI)^-1quindi var(β̂) = {{β̂ - ε (β̂ []) [ β̂-ε (β1)]}}.

ŷ_i = B̂⁰ + ∑_j=1^K B̂_jX_ij + Ê_i i = 1,2,...,ny = B₀ + B₁x₁ + B₂x₂ + ... + B_kx_k + eB_j = Coefficienti di regressioneB_j - l'appropriata equazione curva della risposta yi per ogni variazione di xj dato tutte le ritrutte variabili indipendenti sono mantenute costanti.

Metodo dei minimi quadrati ordinari (OLS)

Utilizzato per stimare i coefficienti di regressione in un modello di regressione lineare multiplo in una graduatoria staduale senza iperdispersione o eteroscedasticità.

Si assume che E(Ê) = 0; V(Ê) = σ² e che {ě_i} siano variabili causale, non certe, e le cui distribuzioni normalmente distribuiti.

Il metodo dei minimi quadrati ordinari permette di ottenere le stime di B_j in modo tale che la somma dei quadrati (SSQ) dei residui è minimizzata. Questo non implica però che sia la miglior linea di regressione.

Funzione OLS

L = ∑_i=1^N Ê_i² = Ê′Ê = ∑_i=1^N (y_i - B̂₀ - ∑ B̂_jX_ij)².

λ = x^pÊ -> che y = y₁y₂ y_nβ = | | b₀ b₁ ... Ê | e₁ e₂ ... e_nX | x₁ ⁰ X₁x₂ ⁰ X₂ ...x_n⁰x_n.

L'obiettivo è trovare il vettore degli stimatori OLS (B̂) che minimizza:O | L = ∑ Ê_i² = Ê′Ê =[y-xβ]^t(y-xβ).

O ′L deve soddisfare 0|L -2x′y + 2x′x |β - x 所以β | =0.

Che si specifica con la formulae X’Xβ = X’y.

Per autorà: B̂ = (x′x)^-1 x′y.

Il modello di regressione adattato è

Ŷ = β₀ + β₁x_i.

C’è in forma scavelli detta: ŷ_i= B₂ + B₃xi_i.

La differenza tra l'osservazione effettiva y_i e la corrispondente Fitted Value ŷ_i è chiamata residuoe - residuo = y - ŷ.

SSE = Somma dei quadrati dei residui= ∑(n_i=1) (y_i - ŷ_i)² = ∑ e_i²y′y - B′X′y.

Var_py²XγIncerte: E[(SSE)=Ô²n-p]SSE n-pγ Ô̂2= SSE/n-p.

Il teorema di Gauss Markov

Il teorema di Gauss Markov, René un stime imparzialede.