Moti di filtrazione in regime stazionario

Equazione del moto di filtrazione

Vogliamo arrivare a scrivere l’equazione che governa il moto di filtrazione che mi permetterà di restituire il valore di h in un dominio di filtrazione x-y-z.

Facciamo ipotesi di moto stazionario, trascuriamo l’effetto della temperatura su acqua (quindi non mi aspetto significative variazioni di densità e di volume dell’acqua connesse alle oscillazioni termiche) e consideriamo l’acqua incomprimibile.

Con queste ipotesi, per ottenere l’equazione governante, dobbiamo combinare l’equazione di equilibrio dinamico (legge di Darcy) e l’equazione di continuità per la fase fluida.

Piano x-z ed equilibrio dinamico

Ragioniamo in un piano x-z quindi due dimensioni. Possiamo scomporre v nelle due dimensioni x-z = k = -k e = k = -k. Stiamo considerando il mezzo  ̇ ̇ isotropo quindi le k sono uguali. Queste rappresentano le equazioni di equilibrio dinamico.

Equazione di continuità

Immaginiamo un elementino di volume del mezzo poroso che viene attraversato dall’acqua nell’unità di tempo dt. Immaginiamo che in questo dominio di filtrazione, il flusso sia caratterizzato da un generico vettore che posso scomporre in una e⃗. Le dimensioni di questo elementino saranno dx e dz.

All’uscita da questo elementino, l’acqua avrà la stessa velocità che aveva all’inizio? Potrebbe anche non averla perché il moto può cambiare caratteristiche da punto a punto ma non nel tempo.

Ricordiamo che per Darcy q = V A. L’equazione di continuità, in questo caso, posso scriverla sia in termini di massa che di volume perché ho ipotizzato che la densità non varia.

Quantità in ingresso dz dy + dx dy mentre la quantità in  uscita dall’elementino nell’unità di tempo ( + dx) dy dz + ( + dz) dx dy. 

Se il moto è stazionario, la porosità dell’elemento non sta cambiando. Ora, se la porosità non sta cambiando (sono i pori ad ospitare acqua), tanta acqua deve entrare e tanta acqua deve uscire. In questa ipotesi quindi, la differenza tra quantità in ingresso e uscita deve essere pari a 0.

In questo modo otterrò l’equazione di continuità per il caso di moto stazionario + = 0. 

Equazione differenziale di Laplace

Combiniamo le due equazioni -k ( + ) = 0. Poiché k≠ ho che +  0, =0 che rappresenta l’equazione differenziale di Laplace (esprime come varia h nel dominio x-z). In tre dimensioni avremmo scritto ℎ = 0.

Reti di flusso e funzioni

Per risolvere queste equazione differenziale si usava il metodo grafico che consisteva nel costruire delle reti di flusso. Per arrivare a queste, introduciamo delle funzioni molto importanti ovvero funzione potenziale e funzione flusso.

Funzione potenziale è definita in modo tale che = e che = . Luogo(, ) v = −k v = −kequipotenziale è il luogo dei punti in cui ϕ è costante e se ϕ(x, z) = −k h(x, z) +

La funzione flusso è definita in modoc allora anche h non varia nel piano x, z. Ψ(x, z) tale che