Modulo di Statistica

Statistica descrittiva

La statistica è la scienza che ha come fine lo studio quantitativo e qualitativo di un "collettivo". Studia i modi in cui una realtà complessa può essere sintetizzata e quindi compresa. La statistica medica usa gli strumenti della statistica per verificare l'efficacia di interventi terapeutici, assistenziali e riabilitativi. Il medico considera il singolo individuo, mentre lo statista considera un gruppo di soggetti. È importante saper interpretare correttamente le informazioni ricavate; la statistica è utile per prendere decisioni a livello collettivo.

Grazie all'odierna tecnologia dei computer, non è più necessario acquisire familiarità con i dettagli tecnici dei calcoli statistici. In ogni caso, un professionista della salute dovrebbe essere almeno in grado di capire quando i calcoli sono validi, quando non lo sono e come devono essere interpretati.

Passi all'interno di una ricerca

• Definire all'inizio quali sono gli obiettivi della ricerca
• Definire le ipotesi che si intende andare a verificare raccogliendo o analizzando dati
• Disegnare in modo corretto lo studio anche dal punto di vista epidemiologico → definire la popolazione obiettivo ed estrarre un campione dalla popolazione obiettivo
• Rilevare i dati
• Analisi sui dati e sintesi delle informazioni
• Procedure di inferenza statistica → permettono di trarre dei risultati dallo studio

La statistica interviene nella pianificazione dello studio, nel definire la popolazione obiettivo ed estrarre il campione, nella rilevazione e analisi dei dati. L'analisi dei dati non può prescindere da una corretta pianificazione dello studio e deve rispondere a un quesito di ricerca ben definito. La statistica descrittiva si occupa della sintesi delle informazioni.

Raccolta informazioni

Bisogna allestire una banca dati che contenga tutte le informazioni clinico/demografiche che caratterizzano il campione dei soggetti (unità sperimentali). Su ogni soggetto si possono misurare diverse caratteristiche. Le caratteristiche raccolte (variabili) devono essere codificate:

• Per le variabili qualitative (es: sesso, livello di istruzione, grado della patologia) si definiscono le categorie a cui assegnare univocamente ogni soggetto
• Per le variabili quantitative (es. età, peso, altezza, dolore) si definisce il livello di approssimazione che si vuole utilizzare (es: anni compiuti, Kg/hg, m/cm)

Le informazioni devono essere poi strutturate e sintetizzate per consentire la valutazione dei risultati → statistica descrittiva. La composizione del campione relativamente alle caratteristiche rilevate permette il confronto tra diverse casistiche e l'interpretazione di possibili differenti risultati degli studi.

Classificazione delle variabili

Variabile: ogni caratteristica che si misura sulle unità sperimentali. Le variabili si possono classificare in:

• Categoriche: sono soggette a un processo di classificazione (es: sesso, gruppo sanguigno, tipo di patologia, effetti collaterali della terapia); ogni unità sperimentale si attribuisce a una e una sola categoria (es: maschio, femmina; gruppo A, B, AB, 0) quindi le categorie devono prevedere tutte le possibilità di classificazione.
• Numeriche: sono soggette a un processo di conteggio o un processo di misura e si differenziano in:
  • a. Discrete: possono assumere solo numeri interi positivi (0,1,2,3), ma non numeri decimali (1.5, 2.8), compresi nei limiti della scala di misura. Es: numero di figli, numero di articolazioni dolenti.
  • b. Continue: possono assumere tutti i possibili valori della scala di misura, con ogni possibile numero di cifre decimali in relazione alle necessità operative. Es: altezza. Valori possibili 1m, 2m, 1.58m, 1.6543m.

Le variabili numeriche discrete possono assumere solo determinati valori nella scala di misura (numeri reali interi, non decimali). Le variabili numeriche continue possono apparire come discrete, a causa dell'approssimazione introdotta nel processo di misura. Quello che si può conoscere è solo un intervallo entro il quale si troverà il valore vero. Esempio: altezza di una donna adulta misurata con un metro che ha:

• Suddivisione in cm: tra 1.64 e 1.65 m
• Suddivisione in mm: tra 1.647 e 1.648 m
• Suddivisione in decimillimetri tra 1.6475 e 1.6476 m

Qual è la "vera" altezza? Non si ha a disposizione uno strumento così preciso tale da avere la misura ''esatta'' → più lo strumento è preciso, migliore sarà la rilevazione, più piccolo sarà l'intervallo di valori entro cui è compresa la vera misura. L'approssimazione scelta deve essere specificato prima di fornire i risultati. La scelta della precisione dipende dall'utilizzo che si deve fare della variabile.

Scale di misura

Variabili categoriche:

• Scala nominale: dati ottenuti per ''attributi''. I valori rientrano in categorie non ordinate. Es. tipo di artriti nell'adulto o giovanili.
• Scala ordinale: dati ottenuti per ''attributi'' ma è possibile definire un ordinamento tra le categorie. Es. grado di diffusione della malattia.

Variabili numeriche:

• Scala per intervalli: l'origine e l'unità di misura sono arbitrari, possono esserci valori negativi. Es. temperatura misurata in gradi Celsius o Fahrenheit, il tempo misurato sui differenti calendari. Scelta l'unità di misura, è quantificabile la differenza tra diverse misure. Es. la differenza tra 10 e 20 gradi è la stessa che tra 20 e 30 gradi.
• Per rapporti: ha un'origine ''reale'': lo ''0'' ha il significato di quantità nulla. Es: peso, altezza, età, calorie. Valori negativi non dovrebbero essere possibili (se non in casi particolari). Scelta l'unità di misura, è possibile quantificare il rapporto. Es: 40 anni sono il doppio di 20 anni.

È essenziale indicare l'unità di misura.

Descrizione delle variabili

Una serie completa di dati non fornisce necessariamente informazioni facilmente interpretabili. La statistica descrittiva ha come obiettivo di organizzare e sintetizzare le osservazioni, utilizzando rappresentazioni grafiche e misure di sintesi numerica. Entrambe differiscono a seconda del tipo di variabile e della scala di misura. L'analisi statistica viene infatti definita sulla base delle ipotesi dello studio, ma anche e soprattutto sulla base del tipo di variabile: a seconda di quest'ultima, si possono fare diverse rappresentazioni grafiche, specifiche per quel tipo di variabile.

Sintesi sotto forma di tabelle

Le variabili soprattutto categoriche possono essere sintetizzate in modo proficuo sotto forma di tabelle. Si hanno n unità sperimentali da classificare secondo una variabile qualitativa nominale. Si elencano tutte le possibili modalità della variabile k=1 … K (es: i vari gruppi sanguigni). Si classifica ognuna delle unità sperimentali nelle varie modalità k → a ogni unità sperimentale è attribuita una e una sola categoria. Si contano i soggetti che rientrano nelle specifiche modalità raggruppando i dati usando le tabelle (si contano i soggetti del gruppo A, gruppo AB, B e 0), dove posso rappresentare i diversi tipi di frequenze:

• Assolute: numero di volte che è stata osservata la modalità k → n_k
• Relative: proporzione con cui è stata osservata la frequenza k → f = n_k / n
• Percentuali: percentuale con cui è stata osservata la frequenza k → p = n_k / n * 100

Valgono le proprietà:

• La somma delle singole frequenze di tutte le modalità possibili per una determinata variabile è uguale al numero totale delle unità sperimentali n.
• La somma di tutte le frequenze relative delle modalità della variabile è pari a 1.
• La somma delle frequenze percentuali è pari a 100.

Dati mancanti

Se alcune delle variabili non sono state rilevate su tutti i soggetti del campione è opportuno indicare il numero e la percentuale dei soggetti con informazioni mancanti. In presenza di dati mancanti sarebbe preferibile calcolare le frequenze percentuali sul totale dei soggetti con informazioni disponibili, escludendo quindi i dati mancanti. Inoltre le percentuali consentono di confrontare distribuzioni relative a casistiche di differente numerosità. In generale è preferibile fornire nelle tabelle sia il numero di soggetti che la percentuale.

Tabelle a doppia entrata

Permettono di confrontare due variabili tra di loro contemporaneamente oppure si può confrontare la distribuzione di una variabile in due o più gruppi. Se i gruppi hanno numerosità diversa va riportata e vanno riportate le percentuali ed è preferibile farle per colonna. Se le percentuali per colonna sono uguali vuol dire che le due variabili sono indipendenti.

In questo esempio abbiamo un gruppo di 107 pazienti di cui è stata rilevata l'etnia, classificata secondo 4 modalità (caucasica, africana, ispanica, e altro) e la presenza o meno di trombosi in passato (gruppo 1 e gruppo 2). La variabile è categorica nominale → è nominale perché non posso definire un ordinamento univoco delle categorie. Nella tabella vengono riportate le frequenze assolute e le frequenze percentuali di colonna. Le variabili categoriche nominali, come questa, possono essere rappresentate graficamente sotto forma di:

• Diagramma a barre
• Diagramma a torta

Diagrammi per variabili categoriche nominali

Diagramma a barre

In ascissa vengono riportate le modalità della variabile categorica. L'ordine che è stato scelto è arbitrario perché la variabile è nominale ed è rappresentato dall'ordinazione decrescente delle frequenze percentuali. Per le variabili categoriche nominali, l'importante è che l'ordine in cui vengono disposte le barre sia arbitrario, ma per confrontare due grafici tale ordine deve rimanere costante. L'ampiezza delle barre, distanziate l'una dall'altra, è arbitraria ma deve rimanere costante tra le diverse barre mentre, ciò che varierà sarà l'altezza. In ordinata è riportata la % di soggetti che riportano determinate modalità della variabile, usando una scala uguale per i due gruppi. Si può riportare sia la % sia il numero di soggetti a seconda delle modalità della variabile. Quando si vogliono confrontare due campioni con numerosità diverse è però sempre meglio confrontare la %. È consigliabile scegliere come valore massimo per l'asse un numero di poco superiore al valore massimo di % che osservo nei dati.

Diagrammi a torta

L'area della fetta è proporzionale alla frequenza percentuale. Si considerano n soggetti suddivisi in 1, 2, …k categorie con percentuale p₁, p₂, … p_k. Il totale di 100% corrisponde a 360°. Ogni percentuale corrisponde ad un'area di a = 360° * (p_k / 100). In generale non sono consigliati per più di 6 categorie.

Per fare un grafico a torta devo comunque avere una tabella in cui ho le modalità della variabile, i diversi gruppi e le frequenze percentuali. Il grafico a torta fornisce una visualizzazione immediata della distribuzione delle variabili.

Diagrammi per variabili categoriche ordinali

Per le variabili categoriche ordinali utilizziamo l'esempio di un gruppo di studenti, in cui consideriamo la variabile 'livello di stress'. È una variabile categorica ordinale, in cui le categorie considerate sono 'nessuno', 'lieve', 'moderato' ed 'elevato'. Le categorie hanno un ordine ben definito, perché esso è intrinseco nel modo in cui è stata definita la variabile stessa → le barre sono riportate nello stesso ordine naturale delle modalità.

Diagrammi per variabile numerica discreta

Possiamo distinguere variabili numeriche discrete e continue, e la loro rappresentazione è diversa. Consideriamo come esempio uno studio in cui si rileva il numero di sigarette (variabile numerica discreta) nei due gruppi di soggetti con trombosi. Nella tabella è riportato nelle colonne il numero di sigarette, nelle righe i soggetti (che hanno avuto/che non hanno avuto trombosi) di cui è riportata la frequenza assoluta e la percentuale.

Diagramma a linee

È fondamentalmente uguale a un diagramma a barre usato per le variabili categoriche, con la differenza che la barra è semplicemente una linea → la frequenza è concentrata su un singolo valore → numero intero positivo, essendo la variabile numerica discreta. L'ordinamento delle barre rispetta l'ordine naturale dei punteggi. Le barre sono distanziate perché non esistono valori intermedi fra l'uno e l'altro. È importante usare la stessa scala soprattutto per le ordinate, perché altrimenti si rischia di giungere a conclusioni completamente sbagliate.

Diagrammi per variabile numerica continua

Nell'esempio consideriamo i valori numerici di IgG rilevati su due gruppi di soggetti, con e senza trombosi. Qui abbiamo sia numeri interi che numeri decimali → variabile continua. Per sintetizzare le variabili numeriche continue abbiamo due possibilità:

• Istogramma
• Box plot

Sintesi di dati raggruppati in classi

Per rappresentare la distribuzione possiamo raggruppare i dati in classi tenendo conto che:

• L'informazione sulla singola osservazione non è più considerata
• Tutte le osservazioni che sono collocate nella stessa classe sono identificate con il valore centrale della classe
• Le classi devono avere un'ampiezza ''ragionevole'' per limitare la perdita di informazione → definita sulla base degli obiettivi dello studio e della numerosità del campione, tenendo conto che definendo classi troppo piccole o troppo grandi si rischia di non ottenere una sintesi valida delle informazioni
• È opportuno scegliere classi ''sensate'' per la variabile in oggetto
• Si preferisce definire classi della stessa ampiezza
• Gli estremi delle classi non devono essere ambigui: ciascun valore deve essere attribuito ad una sola classe
• Per agevolare la definizione delle classi, si possono scegliere come estremi della prima e dell'ultima classe valori di poco inferiori al minimo e di poco superiori al massimo

Scegliamo, ad esempio, classi di ampiezza 10: minimo 10, massimo 180. Per convenienza fissiamo classi aperte a sinistra (estremo inferiore non incluso). Es: classe 10-20 comprende valori maggiori di 10 e minori o uguali a 20. Viene indicata con (10 -20].

Istogramma con classi ad ampiezza uguale

Sono state scelte classi con la stessa ampiezza → barre hanno la stessa ampiezza. L'area all'interno di ciascuna barra è proporzionale alla frequenza della classe che corrisponde a quella barra. La base di ciascuna barra coincide con l'ampiezza della classe. L'altezza della barra può rappresentare la frequenza assoluta dei soggetti o quella percentuale. Anche in questo caso, se voglio confrontare due grafici devo usare la stessa scala in ordinata e ascisse. L'istogramma è interessante perché fornisce anche un'informazione circa la 'forma' della distribuzione: se è simmetrica, asimmetrica, dove è concentrato il maggior numero di individui, dove il minore e così via.

Istogramma con classi di diversa ampiezza

Quando si usano classi con ampiezza diversa è necessario, nel grafico, essere coerenti con la rappresentazione, in modo tale che comunque l'area di ciascuna barra sia proporzionale alla frequenza di ciascuna classe. Invece di rappresentare in ordinata la frequenza assoluta o percentuale, qui si calcola la densità di frequenza. Essa è ottenuta dividendo la frequenza relativa per l'ampiezza della classe (data dalla differenza tra i due estremi della classe). d = f_k / a_k. L'area maggiore della barra corrisponde sempre a una maggiore frequenza di soggetti in quella classe.

Indici di tendenza centrale

Moda: la modalità con maggiore frequenza, è definita su tutte le scale di misura. La moda non è sempre definita e non è sempre unica → non è sempre una sola.

Mediana: il valore che divide a metà la distribuzione → il 50% delle osservazioni hanno valore inferiore alla mediana e il restante 50% hanno valore superiore alla mediana. È definita sulle variabili in scala ordinale, numerica discreta e numerica continua. Non risente di valori anomali → non è influenzata dalle singole osservazioni. Devo avere la possibilità di mettere in ordine le osservazioni → no categoriche nominali.

Media aritmetica: è calcolata sommando i valori di tutte le osservazioni e dividendo per il totale. Esistono diversi tipi di media. Posso calcolarla solo su variabili numeriche discrete e continue → devo poter fare una somma → no categoriche. È utile usare la media come indice di tendenza centrale a seconda del tipo di distribuzione della variabile, se ho una distribuzione asimmetrica non è utile! È utile se la distribuzione è simmetrica e non ci sono valori anomali troppo alti o troppo bassi. La somma degli scarti di ogni osservazione dalla media è pari a 0. Se moltiplico la media per n ottengo la sommatoria dei valori della variabile.

Variabile categorica nominale: la moda

Variabile categorica nominale: sintetizzabile con il diagramma a barre o con il grafico a torta. Nel calcolo della moda è più facile utilizzare un diagramma a barre perché è più immediato confrontare l'altezza delle barre e calcolare la moda così. Nell'esempio abbiamo due gruppi:

• Gruppo 1 = Trombosi in passato
• Gruppo 2 = No trombosi in passato

Qual è la moda della variabile etnia? In entrambi i gruppi la variabile che ha frequenza maggiore, quindi la moda, è l'etnia caucasica. Non è detto che la moda sia definita in quanto se ho quattro modalità...