Meccanica applicata alle macchine: preparazione per esame orale

Cinematica del Punto

Cinematica è movimento di un sistema meccanico in base ai vincoli, indipendentemente dalle forze agenti su di esso.

Dato un sistema di riferimento nel piano con versori x̂, ŷ, v, la posizione nel piano di un punto può essere definita mediante il vettore posizione P̅ e mediante la coppia di coordinate (x(t), y(t)):

P̅(t) = (P - O) = x(t)x̂ + y(t)ŷ

Le componenti del vettore lungo i due assi sono funzioni che descrivono la successione delle posizioni occupate dal punto nel piano in funzione del tempo. Questa funzione è la legge di moto.

La traiettoria è l'insieme dei punti che rispettano la legge di moto, esprimendo una coordinata in funzione dell'altra.

• x = x(t)
• y = y(t)

⇒

• t = g(x)
• y = y(g(x)) = f(x)

Si definisce velocità la derivata rispetto al tempo del vettore posizione e è definita come limite del rapporto incrementale del vettore posizione al tendere a zero dell'intervallo di tempo Δt:

v̅ = lim Δt→0 P̅(t+Δt) - P̅(t) / Δt = dP̅ / dt

Se Δt →0 dP̅ diventa il vettore tangente alla traiettoria e il vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria.

l'ascissa a del vettore velocità si può calcolare attraverso la tangente locale alla traiettoria:

tagα = φ̇ / ẋ = dφ / dt / dx / dt = dφ / dx = f'(x) derivata rispetto a x della traiettoria

Si può esprimere in funzione dell'ascissa a:

v̅ = vt̅ con t̅ = cosαx̂ + senαŷ

Si definisce accelerazione la derivata rispetto al tempo del vettore velocità:

a̅(t) = d(vt̅) / dt = dv / dt t̅ + v dt̅/dt (at an)

t̅ è funzione del tempo

• a_t tangenziale, rappresenta la variazione nel tempo del modulo velocità
• a_n componente diretta verso centro traiettoria, quando traiettoria retta = il rettilineo

La derivata di un versore ha come risultato un vettore ortogonale al versore stesso, il versore è t̅ alla traiettoria e derivando ottengo un versore che punta verso il centro della traiettoria:

dt̅ / dt = ȧt̅ × x̂ = |0 x̂ ŷ0 0 ȧ

-ȧsenαx̂ ȧcosαŷ = ȧn̂

Cinematica del Punto

La cinematica è il movimento di un sistema meccanico in base ai vincoli, indipendentemente dalle forze agenti su di esso.

Dato un sistema di riferimento nel piano con versori î, ĵ, &kcirc; la posizione nel piano di un punto può essere definita mediante un vettore posizione P(t) e mediante la coppia di coordinate (x(t), y(t))

    P(t) = (r-O) = x(t) î + y(t) ĵ

Le componenti del vettore lungo i due assi sono funzioni che descrivono la successione delle posizioni occupate dai punti nel piano in funzione del tempo. Questa funzione è la legge di moto.

La traiettoria è l'insieme dei punti che rispettano la legge di moto,esprimendo una coordinata in funzione dell'altra.

       x = x(t)      t=g(x)

       y = y(t)      y-φ(g(x)) = f(x)

Si definisce velocità la derivata rispetto al tempo del vettore posizione è definita come limite del rapporto incrementale del vettore posizione al tendere a zero dell'intervallo di tempo Δt

    ü = lim _{Δt → 0}    P(t+Δt) - P(t) = dP

                   Δt          dt

Se Δt > 0  dP diventa il vettore tangente alla traiettoriail vettore velocità è sempre tangente alla traiettoria l'inclinazione α del vettore velocità si può calcolare attraverso la tangente locale alla traiettoria

    tga = ^φ'⁄_χ = ^dì⁄dt⁄_dx⁄dt = ^df(x)= ⁄f'(x) derivata rispetto a x della traiettoria

si può esprimere in funzione de