Algebra lineare
Insieme di regole di calcolo che hanno a che fare con vettori e matrici.
Si chiama vettore una m-pla (lista) ordinata di numeri reali: X = ⎛ x1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ ⎝ xn ⎠ vettore colonna
L'insieme di tutti i vettori con m componenti reali si indica con ℝm.
Detti x, y ∈ ℝm, x = y se e solo se xi = yi.
Esempio: X = ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 ⎟ ⎝ 2 ⎠ y = ⎛ 2 ⎞ ⎜ 4 ⎟ X X = ⎛ 2 ⎞ ⎜ 1 ⎟ X = y
Operazioni tra vettori
Somma di vettori
Detti X, y ∈ ℝm con X = ⎛ x1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ ⎝ xm ⎠ e y = ⎛ y1 ⎞ ⎜ y2 ⎟ ⎝ ym ⎠ si chiama somma il vettore (X + y) ∈ ℝm dato da:
X + y = ⎛ x1 + y1 ⎞ ⎜ x2 + y2 ⎟ ⎝ xm + ym ⎠
Esempio: X = ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 ⎟ y = ⎛ 3 ⎞ ⎜ 5 ⎟ X + y = ⎛ 4 ⎞ ⎜ 7 ⎟
Prodotto di un vettore per uno scalare (numero)
Detti c ∈ ℝ e X ∈ ℝm con X = ⎛ x1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ ⎝ xm ⎠ si chiama prodotto del vettore X per lo scalare c il vettore: cX ∈ ℝm ⇒ cX = ⎛ cx1 ⎞ ⎜ cx2 ⎟ ⎝ cxm ⎠
Esempio: c = 2 X = ⎛ 3 ⎞ ⎝ 6 ⎠ cX = ⎛ 6 ⎞ ⎝ 12 ⎠
Prodotto scalare tra vettori
Detti X, y ∈ ℝm con X = ⎛ x1 ⎞ ⎜ x2 ⎟ ⎝ xm ⎠ e y = ⎛ y1 ⎞ ⎜ y2 ⎟ ⎝ ym ⎠ si chiama prodotto scalare il numero:
X ⋅ y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xnym
Norma di un vettore e distanza tra vettori
Detto X ∈ ℝm si chiama norma il numero dato da: ||X|| = √n√ x12 + x22 + ... + xm = √ ∑i=1m xi2
Esempio: X = ⎛ 1 ⎞ ⎝ 3 ⎠ ||X|| = √12 + 32 = √10
Detti X, y ∈ ℝm si chiama distanza tra i vettori la norma della differenza,
Algebra lineare
Insieme di regole di calcolo che hanno a che fare con vettori e matrici.
Si chiama vettore una n-pla (lista) ordinata di numeri reali: X = ⎣X1, X2, ..., Xn⎦ vettore colonna
L’insieme di tutti i vettori con n componenti reali si indica con ℝn.
Detti x, y ∈ ℝn X ≠ y se e solo se Xi ≠ Yi.
Esempio: X = ⎣1, 2⎦ y = ⎣2, 1⎦ X ≠ y X = ⎣1, 2⎦ y = ⎣1, 2⎦ X = y
Operazioni tra vettori
I) Somma di vettori
Detti x, y ∈ ℝn con X = ⎣X1, X2, ..., Xn⎦ e y = ⎣y1, y2, ..., yn⎦ si chiama somma il vettore (X + y) ∈ ℝn dato da:
X + y = ⎣X1 + y1, X2 + y2, ..., Xn + yn⎦
Esempio: X = ⎣1, 2⎦ y = ⎣3, 5⎦ X + y = ⎣4, 7⎦
II) Prodotto di un vettore per uno scalare (numero)
Detti c ∈ ℝ e X ∈ ℝn con X = ⎣X1, ..., Xn⎦ si chiama prodotto del vettore X per lo scalare c il vettore: cX ∈ ℝn ⇒ cX = ⎣cX1, cX2, ..., cXn⎦
Esempio: c = 2 X = ⎣3, 6⎦ cX = ⎣6, 12⎦
III) Prodotto scalare tra vettori
Detti x, y ∈ ℝn con X = ⎣X1, ..., Xn⎦ e y = ⎣y1, ..., yn⎦ si chiama prodotto scalare il numero:
X ⋅ y = X1⋅y1 + X2⋅y2 + ... + Xn⋅yn
Norma di un vettore e distanza tra vettori
Detto X ∈ ℝn si chiama norma il numero dato da: ||X|| = √X ⋅ X = √(X12 + X22 + ... + Xn2)
Esempio: X = ⎣1, 3⎦ ||X|| = √(12 + 32) = √10
Detti X, y ∈ ℝn si chiama distanza tra i vettori la norma della differenza cioè la lunghezza del segmento di estremi x e y.
d(x, y) = ||x - y|| = √((x1 - y1)2 + (x2 - y2)2 + ... + (xm
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