Lista definizioni per l'esame di Matematica generale

Teoria matematica generale - primo parziale

Definizione di funzione reale di variabile reale

Una funzione che associa a un numero reale dell’insieme X al più un numero reale dell’insieme Y è una funzione f:

f: A ⊆ ℝ → ℝ

In cui dominio e codominio sono insiemi di numeri reali, cioè: A ⊆ ℝ e f(A) ⊆ ℝ.

Definizione di grafico di funzione

Considerata una funzione f: A ⊆ ℝ → ℝ, il suo grafico è costituito dall’insieme delle coppie (x, y) in cui x appartiene al campo di esistenza della funzione (dominio) e y è il valore corrispondente a x.

Definizioni di punto interno, esterno, di frontiera e di accumulazione

Un punto a si dice interno all’insieme A quando appartiene ad A ed esiste un suo intorno (completo) contenuto in A.

Un punto a si dice esterno all’insieme A ⊆ ℝ quando non appartiene ad A ed esiste un suo intorno N(a) che non interseca A, tale cioè che N(a) ∩ A = 0.

Un punto a si dice di frontiera per l’insieme A ⊆ ℝ quando, rispetto a tale insieme, non è né interno né esterno, ovvero ogni suo intorno completo contiene almeno un punto di A e almeno un punto del suo complementare ℝ\A.

Un punto a ∈ ℝ è di accumulazione per l’insieme A ⊆ ℝ quando ogni suo intorno contiene almeno un punto di A distinto da a; l’insieme dei punti di accumulazione di A è l’insieme derivato (A’).

Definizione di funzione iniettiva

Una funzione f: A ⊆ X → Y si dice iniettiva quando elementi distinti di A hanno immagini distinte in Y (1 elemento di Y = 1 solo elemento di X).

Definizione di funzione inversa

Sia f: A ⊆ X → Y una funzione iniettiva, si chiama inversa la funzione che ad ogni y = f(x) associa la sua controimmagine.

Definizione di funzione composta

Siano date le funzioni f: A ⊆ X → Y e g: Y → Z. Si chiama funzione composta, mediante f e g, la funzione h: A ⊆ X → Z che ad ogni x ∈ A ⊆ X associa l’elemento g[f(x)].

Definizione di limite finito per x tendente ad un valore finito

Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ con x punto di accumulazione di A. f ammette k come limite finito al tendere di x a x quando in corrispondenza di ogni ε > 0 esiste un r > 0 tale che ∀ x ∈ (x – r, x + r) con x ≠ x si ha k – ε < f(x) < k + ε.

Definizione di limite infinito per x tendente ad un valore finito

Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ con x punto di accumulazione di A. f ammette ±∞ come limite al tendere di x a x quando in corrispondenza di un M > 0 è possibile individuare un r > 0 tale che ∀ x ∈ (x – r, x + r) con x ≠ x si ha f(x) > M oppure f(x) < -M.

Definizione di limite finito per x tendente ad un valore infinito

Sia f: A ⊆ ℝ → ℝ un insieme illimitato superiormente (a dx) o inferiormente (a sx). f ammette limite finito k al tendere di x a ±∞ quando in corrispondenza di ogni ε > 0 esiste un H > 0 tale che ∀ x > H, |f(x) - k| < ε.