Lezione 2 Costruzione di macchine

Instabilità elastica

Si ha un momento destabilizzante ⇔ M_i = ρ(z) e la curvatura χ = ^∂2/_∂² = - ^M_s/_E.

Ma quindi x è l'equilibrio M_s = M_i (E=0) ρ (z) = -E ^∂2(z)/_∂².

Con (z) = ρ + E ^∂2/_∂², con ² = ^ρ/_E.

Eq differenziale del II^o ordine '' + ² = 0 ⇒ (z) = A sen( + φ) ; '(z) = ±A cos( + φ).

Instabilità elastica

Sia ha un momento destabilizzante ⇔ Mi = ρ · v(z) e la curvatura χ = ^∂²v/_∂z² = -^Ms/_EJxx.

Ma quindi x l'equilibrio Ms = Mi (EL = 0).

Car v(z) ~ v → ρ · v(z) = -EJ_xx ^∂²v(z)/_∂z².

Car l² = ^ρ/_εJ.

Eq differenziale del II^o ordine v'' + l²v = 0 ⇒ v(z) = A sen(wx + φ) ; v'(z) ± Aw cos(wx + φ).

N''(z) = Aw² ϕ eu (wz + ϕ) −Aw² ϕ eu (wz + ϕ) + d² A ϕ eu (wz + ϕ) = 0.

d² = w².

Condizioni al contorno

E con imposizione condizioni al contorno trovo A e ϕ:

• V(0) = 0 ⇒ A ϕ (0 + ϕ) = 0 ϕ = 0
• V(ℓ) = 0 ⇒ A ϕ (2ℓ) = 0 A = 0

Aℓ = nπ cn n ∈ N_{d² e² = n²π²}^e/_e Jxx/ⱼxx.

ρ_c = ^{n²π² EJxx}/_e².

• Se P_c < P_E ➔ Condizione di compressione semplice (equilibrio)
• Se P_c = P_E ➔ Equilibrio precario
• Se P_c > P_E ➔ Instabilità / rottura

E P_c ↑ ⇔ l ↓ e EJ ↑.

P_c ↓ ⇔ l ↑ e EJ ↓.

σ̅_C = P_c / A = π²E (e_x) / l²A = π²E (o₂) / l²A.

σ̅_C = π²E / λ².

σ̅_C ↑ σ̅_y sovramento λ limite.

Come trovo il limite?

1^o snervamento!

So che σ_Y = σ_c = π²Ε/e².

λ = π√(Ε/σ_Y).

Per un acciaio λ ≈ 10² e per fare verifica δ < δ_Y/ω.

Metodo omega

Caso carrello - incastro

l_o = l/√2.

ρ_c = 2 π²Ε I_xx / l².

Caso incastro - manicotto

l_o = l/2.

ρ_c = π²Ε I_xx / l².

Caso incastro

l_o = 2l.

ρ_c = 1/4 π²Ε I_xx / l².

Casco esempio iniziale

l_o = l.

ν(0) = 0.

ν(l) = 0.

P_c = E ^{π2 I_xx} / l².

In generale → P_c = ^{π2 E I_xx} / l_o².

Lunghezza di inflessione

(Distanza tra due punti di flessione in una deformata)

È da usare il "J" più piccolo, in quanto questo si riferisce alla sezione più fragile, quindi dà un risultato più conservativo!