Legge di Gauss e induzione elettrica
Nella scorsa lezione avevamo fatto un esempio applicativo relativo al calcolo del campo elettrico dovuto ad una distribuzione di cariche discrete di cariche.
In sostanza avevamo considerato un cariche distribuite in una certa regione dello spazio assemblando un sistema di coordinate cartesiane.
Portando dalla configurazione basica costituita da due cariche poste a una certa distanza balenaginime.
Quindi ciascuna delle quali era identificata da un certo vettore posizione ne abbiamo calcolato il campo elettrico dovuto a questa distribuzione di due cariche le abbiamo reste il instante al caso di n cariche, disposte su punti discreti omogeni una data regione spaziale.
Abbiamo fatto questa applicazione considerando, lo maglio dire facendo assunzione modeo importante. I celi siamo mee vuoto
Abbiamo ipotizzato che il mezzo fosse il vuoto con parametri Eo e mo.
Tornando zo un'ulteriore azione che abbiamo fatto relativo al calcolo del campo elettrico dovuto a una distribuzione di un canche era infemta sempre lo vuoto, poiché mtele espressione oloe campo, ilulierzocomporni un fattore liole tipo, 1/4πEo
Poiché se pemoliamo in considerazione una certa conca positiva e andiamo ad identificare il campo elettrico prodotto da questa (lanca positiva).
E = 1/4πEo * qi/α2
Il campo ad umba della distanza r, identificata da un vostro in, le compono e l'altrebo lungola, be ha una l'amplezza che i ten. Οn aq/4πEoR2
Legge di Gauss e induzione elettrica
Nella scorsa lezione avevamo fatto un esempio applicativo relativo al calcolo del campo elettrico dovuto ad una distribuzione di cariche discrete di cariche.
In sostanza avevamo considerato un’anche distribuite in una certa regione dello spazio assemblando un sistema di coordinate cartesiane.
Portando dalla configurazione basica costituita di due cariche poste alla una certa distanza base anche noi.
Quindi ciascun delle quali era identificata da un certo vettore posizione, e abbiamo calcolato il campo elettrico dovuto a questa distribuzione alla due cariche e abbiamo reso il risultato nel caso di n cariche, disposte su punti discreti sempre in una della regione spaziali.
Abbiamo fatto questa applicazione considerando, io meglio dire facendo assumiamo metodo importante. I quei siamo me e il vuoto.
Abbiamo ipotizzato che il mezzo fosse il vuoto con parametri eo e μo.
Intanto se un esempio applicativo che abbiamo fatto relative al calcolo del campo elettrico dovuto alla distribuzione di un cariche era rifermo sempre le vuoto, poche e expression del campo, i companda un fattore io lo tipo.
Cioè se prendiamo in considerazione una certa carica positiva.
e andiamo ad identificare il campo elettrico prodotto da questa (carica positiva).
Il campo ad una della distanza r, identificato da un vettore le, li composi e l’andremo lungo sia, beh ha un ampiezza che pon
E = λ * Ro q2 / 4πεoRo2
Il fatto di utilizzare E0 caso geral indicare che siamo nel vuoto i cioé il mezzo che stiano considevando é il vuoto
Considerando intomo alla carica immemobile conuniamo a prefer mediomgine llede aucromfememeza al raggio pensato si conclusion di queste turcomfenmez il intermos note campo elettmo si meimmintetocamte poiché vaha deferavata di F fissando r, essem dal costamte il differerza immensa una costomte i olabbiamo celamento di ampo che e ai costomte sulle duefcomfenmeze díl raggio r
Caso di n cariche
Il campo rotale estava alumstiumizNome di mi canche sams il gememaie ra sommantamu mi ndi uoel per i che va da 1 fìmo m dei campi e și dudt alee si mgoie canche
E = ∑ i = 0 Ei = 14πɛ _ ∑ i = 1n qi( Ri - RB) ( Ri - RB ) 3
R rappresenta il vettore relativo al punto di osservazione
Ri rappresenta il punto dov'é allocata la sorgente i cioé la singola canca
Quindi dobbiamo calcodare la distanza dalla sorgente al punto di osservazione
Essenzialmente Im termmi v vettanti rappresenta la differenza tra I due vettori posizione
R1 relativo al punto di osservazione Ri relativo alla sorgente
Caso cariche se non siamo nel vuoto
Non c'è il parametro ε0
Cosa succede quando anziché considerare le sorgenti presenti, cioè le cariche, vuoto le assumiamo presenti un un mezzo che è diverso dal vuoto?
Le espressioni della forza elettrica e del campo elettrico cambiano rispetto al caso dello spazio libero che abbiamo finora studiato.
Pensiamo di considerare un materiale generico e supponiamo di poter inserire in qualche modo una carica Q0 al suo interno del questo materiale.
In assenza di questa carica, il materiale risulta elettricamente neutro, cioè se osserviamo da qui vediamo mozzicate questo nostro materiale, ogni atomo che lo compone possiede un nucleo carica positiva che è circondato da una nuvola di elettroni.
Questa nuvola aura internmento intonata, ma di segno opposto alla carica che invece è associata al nucleo.
Quindi in una condizione di equilibrio per cui il campo elettrico in ogni atomo, restano di osservazione rispetto elettroni insieme a indiamento precoce.
Concetto importante
In assenza della cariche il materiale è elettricamente neutro, nel senso che c’è un bilanciame nelonengò vibrazioni del campo elettrico.
Nel momento in cui accumulo ad insiemeindibeli carica Q al interno generie, del nostro materiale, cosa succede al reparto molecolare di questo mezzo?
Innamettuito dipende dalla polarità della carica che andiamo a munere (ma indiamento enternamente dale fatto una s paroline emegameto, le permemello e identmico c nel un qualche modo cioraammmofernammi di reazione dalla parte delle cariche presenti neo nostro); le rispetto per la carica “interna”.
Queste variazioni chiamomi origine a delle forze che verremmos estratore sugli atomi.
Queste forze producono una certa distorsione che se ricordiamo che cariche di segno opposto si attraggono e dello stesso segno si respingono è tendetroche un'basaia deà polaritac'icl'ora un'attrazione di alcune cariche e di repulsione da parte di altre cariche.
Questo comporta un movimento all'interno del materiale che mqualche modo sposto el centro di motivamento dellec nuvola elettronica rispetto el nucleo se immaginiamo di amosimolare singoti atomi.
Avrempi dette polomi, in cui un eso si adolespimo prevalentemente cariche positive, l'elettronor nuvola divement prevaivene le carica mobile.
Questo processo di distorsione del materiale si chiama polarizzazione del materiale.
Polarizzazione del materiale
Supponiamo di avere un certo materiale dal punto di vista atomico, se prendo un pezzo di questo metallo e lo vado ad espandere osserva che l'automa carica l'adesempio positiva e poi fa muovere gli electroni.
Questo accade in assenza della carica
Se vado ad inserire una carica all'interno del materiale
Succede una cosa diversa: si ha la formazione di una carica netta
Im pratica ciascuno di questi in forma più estesa rappresenta un dipolo elettrico
Quando, nel materiale senza carica (da partenza) ciascun atomo è scomposto (come abbiamo rappresentato qui)
Se poi andiamo ad inserire una carica succede che il materiale subisce un effetto di distorsione perché immediatamente, due cariche di segno opposto verranno attratte; questo effetto stesso si smuove sempre rispetto alla carica e verranno rispinte.
Quindi si ha un movimento olicanche dell'interno del materiale che comporta la formazione dei dipoli all'interno.
Questo parametro dell'indice del materiale e chiamiamo permettivita del materiale e l'intensita dell'interno del momento di dipolo paretto.
Quindi il parametro che gli impio di misurare questi l'effetto di polarizzazione del materiale, cioè dell'essere in qualche modo un parametro proprio del materiale che consente di valutare il grado di polarizzazione del materiale.
Questo parametro è rappresentato da offerta permittività del mezzo che indiciamo con eε
La permissità del mezzo è esprimibile come prodotto di uno permittimità relativo Er e0 permittimità del vuoto e0.
Permittività del mezzo
ε =εr ☃ ε0costante dielettrica relativa
Quindi il grado di polarizzazione di un materiale si misura attraverso la costante dielettrica del mezzo, che noi chiamiamo permittimità del mezzo, esprimibile una come funzione della permittività, costante dielettrica, Er, relativa la e per la costante dielettrica del vuoto.
Quindi la Er e il parametro che usiamo a caratterizzano le mezzo.
Un materiale può essere caratterizzato due punti di vista elettrico; specificandone i valore di E ma nei casi di materiali con materiali più complessi, e è una funzione Er.
Noi considereremo i casi più semplici per cui "Er" sono un numero che dovrà sempre essere maggiore di 0, ovvero è = 1
Nota importante
Posso avere un materiale la cui permittività coincide con quella dello effetto spazio libero inoltre, posso avere un materiale, la cui permittività è superiore a quella dello spazio libero ma NON <pu essere pi piccola>
ε == ε0
Parente di due essere maggiore, e ovvero è > 1?
Questo si esprime simbolicamente nei E spressione della velocità con cui in onda luminosa materia si sposta devo all'interno di un mezzo
Se consideriamo la velocità della luce nel vuoto c, che le parole 3 · 108 m/s
c = 3 · 108 m/s
proprio velocità della luce nel vuoto
Ma c mua posso calcolare anche come c = 1NIUOEuo
Ma c la posso calcare anche come c = ~ =
Facendo il prodotto tra Eo e Mo esce 3x108 che sarebbe la velocità con cui la luce nel vuoto.
Sapendo che la velocità della luce nel vuoto c=3x108 possiamo calcolare c=1/√eoMo
possiamo affermare che in generale la velocità di propagazione di un segnale (fra cui una) per onde elettromagnetica) in un mezzo sarà diverso dal vuoto si può calcolare come:
Vp=1/√eMo
Qui stiamo facendo un'ipotesi, molto importante, cioè che la costante Mo non cambi. Un mezzo di questo tipo si chiama mezzo non magnetico.
Per il momento assumiamo che il mezzo abbia due parametri ma diversi da quelli del buio che studieremo oggi, e i carta de lo scopriremo se e.
Velocità della luce: velocità con cui un eletromagnetico che viaggia alla velocità della luce nel vuoto.
Se prendiamo lo vuoto, la nostra onda luminoso ad una frequenze e immagniamo che trovi di un mezzo che diverso dallo spazio vuoto.
Quindi zp al posto di Eo inseriamo E.
Se Er fosse superiore che 1, ottenere una velocità di propagazione di un segnale sarà maggiore della velocità della luce nel vuoto.
Quindi che e e il valore massimo della velocità possibile fisicamente.
Dire che Er maggiore di 1 significa confermare che non è possibile avere velocità superiore della velocità della luce nel vuoto.
Quando prendiamo un materiale, stiamo considerando la reazioni di quel materiale all'applicazione di un campo esterno che può essere un campo elettrico o un campo magnetico.
Riusciamo la reazione del materiale all'applicazione di questi campi attraverso i parametri ε0, μ0
Il fatto di realizzare il prodotto significa che andiamo proprio a combinare l'effetto di reazione dei due campi.
Siamo partiti da una situazione in cui un materiale è sottoposto dalla presenza di una carica esterna.
Questo carica produce un effetto di distorsione nelle segmenti di materia che viene misurata attraverso la permittività
In relazione a questo fenomeno di polarizzazione possiamo definire un induzione vettoriale come un nuovo valore che rappresenta la reazione del materiale ad campo elettrico
Induzione elettrica
Questo vettore D è il prodotto di ε per Quindi abbiamo un campo esterno di sollectiazione del materiale, la quale produce intorno a se un campo elettrico e il campo ε
Il campo E andrà a solletticare e motivale la reazione del materiale sarà il vettore D che è proprio induzione elettrica e matematicamente è rappresentato dal prodotto eletto permittività per il campo elettrico
Induzione elettrica: quel vettore che fisicamente va a rappresentare la reazione del materiale avente permittività pari a ε ad l’applicazione di un campo elettrico
Se applico un campo E ad un certo materiale con costruiro determinate ε, questo mi rispondes dando luogo ad un nuovo campo vettoriale che chiamò induzione elettrica ed è il prodotto di ε per Consideriamo una carica q che è posta nell'ambito di un certo sistema di riferimento immersa in un
si tratta di una carica puntiforme isolata in mezzo a materiale che ha una costante dielettrica e permittività pari a E.
Noi sappiamo che se consideriamo una circorferenza di raggio R, su questa circonferenza il mio campo elettrico assumerà un valore costante che sarò
E= q/4πER2
Allora posso dire che l'induzione elettrica D che sarebbe
D=E. R= q/ rappresenta la superficie de la sfera di raggio R
L'equazione D=E= q/4πER2(3.9) rappresenta la superficie della sfera di raggio R
L'equazione D=EE= q/4π.
Se vado a considerare le intensità di queste due espressioni, vorrà di modulo due vettori fesso dielettrica l'intensitá dell e vettore D il q altriplicato per l'altro E a propria ugaualita e q(1)
D.1= 4πRqria= q/4π/
Questo esroka& Qui cozzione puo ssere.perenzim0.etssere una distribuzione di carica geometriecia determinol una superficie di formamasterai ma e una pu con una sterna E assumendo che una distribuzione el o centro dia cui ha fermaliun imboluzione l mem el da sI pui centromet ese sua superficie stossa E esp la espresazionet.di oppure determino ci contornoventro Ri che edenistribui supe la superficie che lìm(intra questi quevolume ne chiamiamo cio Da
ciascun totale Q contenuto in questo volume sarà l'integrale attraverso la superficie S che limita il volume di D, è scalare m ds
Integrale di superficie
Q= ∯S D·m̂ ds
Im pratica abbiamo preso un elemento di superficie ds e m̂ rappresenta la versore normale alla superficie e andiamo a fare il prodotto scalare tra d e m
Fare il prodotto scalare tra due vettori significa andare a proiettare il primo vettore lungo la direzione Volentificata dall'altro vettore
In pratica sto prendendo l’induzione elettrica lungo la direzione normale dell’elemento di superficie ds
Cercando di calcare m, proietto lungo la normale e moltiplico per ds
Prendiamo un altro elemento di superficie, e quindi abbiamo un altro elemento di superficie con il suo versone normale alla superficie
Quando ho i due contributi, li vado a sommare tanti questi contributi ed ho effettuato l'integrale
Stiamo dicendo che la carica totale contenuto in un certo volume, la possiamo calcolare come integrale del Iltusso dell’induzione elettrica D attraverso la superficie che è limita questo volume
Legge di Gauss per le onde elettriche
Q = ∯S D·m̂ ds
La legge di Gauss consente di calcolare la carica totale contenuta in un certo volume attraverso il calcolo degli integrali di flusso dell'induzione elettrica.
Si applica per calcolare la carica totale contenuta in un certo volume.
Se ho un certo vettore A, lo posso sempre esprimere come prodotto di un verso:
|A| = |A|
Come ci si arriva alla legge di Gauss?
Partendo dal caso di una carica puntiforme isolata posta nell'origine di un sistema di riferimento e a destra fine si va ad estendere
|D| · 4πR2 = q
al caso in cui la carica non sia una carica puntiforme, ma sia una carica distribuita su una certa superficie, con una certa densità e si dice che se la carica totale è e il integrabile.
Poiché se 4πR2 · |D|, se ci fosse una superficie sferica e D fosse costante sulla sfera, e l'integrale lo potrei scrivere come
|D| · 4πR2
Esercizio legge di Gauss
Supponiamo di avere un vettore D = x2(x+y)ẋ + ŷ(3x-2y) e voler calcolare la carica totale contenuta nel volume rappresentato da questo cubo applicando la legge di Gauss.
D = ẋ2(x+y) + ŷ(3x-2y)
La superficie S è la superficie laterale di questo cubo
Da quanti elementi di superficie è composto?
Come possiamo scomporre la superficie laterale del cubo?
Abbiamo sei facce!
Iniziamo a prendere le superfici di base inferiore e superiore.
Le normali che uscerà sempre uscirem.
In questo caso la normale è orientata lungo z.
Q = ∬s1 D•dS = ∬01 ∬02 D•(-2) dxdy + ∬01 ∬02 D•z1 dxdy
Le due dimensioni sono x e y,
- X tratta da 0 e 2
- Y tratta da 0 e 2
perché questa è la proiezione sia sopra che sotto.
Se cambio superficie
Questo volta le normali sono orientate lungo y.
- + contribuzione espressione di sopra;
- + contribuzione espresso pagami dietro
Calcolare l'integrale componendo le superfici
La cosa è quella presente nel volume a come elemento di conta realmente e si dimostra anche come tante determino le volumen si può calcolare (secondo Torino). Come relisso di potassimo idea superfice e quindi faccio un integrali di superfice.
Comunazione pagine precedente:
Quando: ho che Q è paria:
Risolozione integrale
Noniamo che questi due integrali li possiamo eliminare in quanto quando vado a fare il prodotto scabia d con z viene 0. D non ha componimenti lungo z. </pu>
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Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
