Istogramma e medie

Istogramma

Il grafico utilizzato nel caso di variabili continue con modalità espresse in classi è chiamato istogramma o diagramma areale.

Per la suddivisione in classi: ipotizza che esista all'interno delle classi, l'uniforme distribuzione dei valori.

Per la costruzione di tale grafico si ipotizza che le singole frequenze assolute siano uguali all'area dei rettangoli che hanno per base le "classi di modalità" considerate.

Rappresentazione grafica istogramma

h_i = n_i / [x_i - x_i-1]

Dove: Area = base × altezza

Ossia: Area = [x_i+1 - x_i] × h_i

E base = [x_i+1 - x_i] = ampiezza classe

Frequenze assolute = n_i

Valori medi

Valore medio di una serie ordinata di valori è un valore x compreso tra il più piccolo e il più grande dei valori osservati.

X₁, X₂, X₃, X₄, ...... X_n

X₁ < X < X_n

Istogramma

Il grafico utilizzato nel caso di variabili continue con modalità espresse in classi è chiamato istogramma o diagramma areale.

La suddivisione in classi: ipotizza che esista all'interno delle classi, l'uniforme distribuzione dei valori.

Per la costruzione di tale grafico si ipotizza che le singole frequenze assolute siano uguali all'area dei rettangoli che hanno per base le "classi di modalità" considerate.

Rappresentazione grafica istogramma

h_i = n_i / [x_i+1 - x_i]

Dove: Area = base × altezza

Ossia: Area = [x_i+1-x_i] × h_i

E base = [x_i+1 - x_i] = ampiezza classe

Frequenze assolute = n_i

Valori medi

Valore medio di una serie ordinata di valori è un valore x compreso tra il più piccolo e il più grande dei valori osservati.

X₁, X₂, X₃, X₄, ... X_n

X₁ n

Medie algebriche

Le medie algebriche sono valori, "valori medi" sintetizzati tramite delle formule matematiche.

Possono essere usati per variabili di tipo quantitativo.

Prendono in considerazione tutta la distribuzione osservata dei valori.

Media aritmetica

Il "valore medio" maggiormente usato e conosciuto è la media aritmetica.

Media aritmetica: è uno strumento di sintesi di dati numerici [quantitativi] che risponde a requisiti di correttezza formale e sostanziale.

M = Σx_i/n

M = Σx_in_i/Σn_i

Vi è ex "correttezza formale", poiché M rispetta la natura (additiva) del fenomeno sotto analisi: è quel valore che sostituito ad ognuno dei valori osservati ne lascia inalterata la somma.

(X₁+X₂+...) = Σ_ix_i

(M+M+...+M) = (X₁+X₂+...+X_n) = Σ_i X_i

Σ x_i = n M

1 = 1

Medie di posizione

Esiste un ordine, possono essere sia qualitative che quantitative.

Vi sono caratteri moltiplicativi ex: le frazioni.

1) x₁ + x₂ + ... + x_n = ⁿ⁄_∑ x_i

M = M₁ + M₂ + ... + M_m = ^∑ x_i

n

Mn

Mn = 62, 5, 8, 10, 12, 15 = ⁵²⁄₆ 8,67

M_n = 8,67€

x₁ x₂ ... x_n

n₁ volte n₂ volte n_n volte

x₁·n₁ + x₂·n₂ + ... + x_n·n_n = ⁿ⁄₁₌₁ X_i·n_i

M·n₁ + M₂ + ... + M_nn = ⁿ⁄₁₌₁ X_i·n_i

M (_{n1 + n2 + ... + nn}) = ^∑ n_i

M = ⁿ⁄₁ x_i·n_i/_∑ n_i

n_i = 1, M = ⁿ⁄₁ ^∑ x_i

"La correttezza sostanziale" è rispettata perché raggiunge l'obiettivo di minimizzare la perdita globale di informazione causata dal volere valutare il vero valore incognito della popolazione attraverso delle misure ripetute e effettuate su un campione di indici.

X₁, X₂, X₃, ..., X_n

∑₁ (X_i - X̄)² = minimo

Errori

Intervistatori

Questionario

Accidentali (fanno parte della natura del fenomeno)

X_i = X̄ + ε_i

ε_i = X - X_i

Si può scrivere anche ε_i = [X_i - X]

Informazione

F = ∑_i=1ⁿ (X_i - X̄)² = minimo

∂_F = 2 ∑_i=1ⁿ (X_i - X̄) · ( - ) = 0

∑₁ⁿ ΔX_i = nX̄ = 0

X = (∑_i=1ⁿ X_i) / n