Introduzione all'econometria (Software statistico GRETL)

Analisi dei dati per l’economia

L’econometria studia come combinare i modelli teorici e le banche dati utilizzando strumenti statistici per rispondere a domande economiche. Fornisce quindi il modo per verificare se il segno atteso suggerito dalla teoria sia uguale a quello che realmente si riscontra nei dati e fornisce una stima della dimensione della relazione tra variabili utile anche per fare previsione.

Modello econometrico

Per costruire un modello econometrico bisogna partire da un modello economico in cui una determinata variabile è funzione di altre variabili non espresse in modo esplicito. Poiché le relazioni economiche riguardano un fenomeno medio relativo ad imprese, individui, ecc. e spesso viene preso un campione di popolazione a modello, esiste una componente casuale “e” che incorpora l’inesattezza della relazione economica.

Per passare al modello econometrico si inizia facendo un’ipotesi di linearità, inoltre la componente “e” rappresenta l’errore che incorpora i fattori omessi che potrebbero spiegare la variabile che ci interessa. Riflette quindi l’incertezza che caratterizza i dati o in generale l’attività economica.

Si aggiungono infine dei parametri associati a ogni variabile in relazione a quanto tali variabili spiegano la variabile presa in esame.

Si possono costruire anche modelli non lineari.

Il modello econometrico è usato per fare inferenza statistica utilizzata in vari modi:

• Stimare parametri.
• Prevedere grandezze, es. andamento della domanda.
• Verificare ipotesi economiche, efficacia di un aumento della quantità.

I dati

I dati vengono forniti da fonti ufficiali, aziende, o anche raccolti attraverso dei campionamenti e si dividono in dati micro, macro, presi su individui, famiglie, imprese, o relativo ad aggregazioni di individui, imprese o a livello di regione.

Possono essere dati di flusso, stock, relativi alla loro variazione in un arco di tempo, o relativi ad una grandezza osservata in un preciso momento del tempo.

Possono essere quantitativi (continui), qualitativi, in generale tutti i dati economici sono quantitativi, o sotto forma di grandezze relative a scelte binarie.

I dati possono essere suddivisi in 3 categorie:

• Dati di serie storica - Dati osservati su orizzonti temporali, visualizzabile anche attraverso un grafico e utile per vedere l’andamento tendenziale.
• Dati panel - dati che hanno dimensioni relative sia a dai cross section sia a dati relativi a serie storiche.
• Dati cross section - Dati relativi a diverse variabili in un preciso istante temporale. Sono dati sia quantitativi che qualitativi.

Il modello di regressione semplice

Il modello di regressione semplice è il modello di regressione a due variabili. Viene costruito in quanto gli economisti sono interessati a studiare relazioni tra variabili economiche o finanziarie.

Prendendo per dati l’andamento dei beni durevoli e non in relazione al reddito disponibile, si può utilizzare come fonte l’archivio storico dell’indagine sui bilanci delle famiglie italiane 1977-2014 che contiene i dati sui consumi e i risparmi delle famiglie italiane, con cui è possibile costruire panieri di beni di consumo e derivarne l’indice dei prezzi dei beni al consumo da cui si può derivare l’inflazione come variazione di tale valore.

La teoria economica dice che il consumo dipende dal reddito: la variabile dipendente (endogena) è la spesa (Y) mentre la variabile indipendente (esogena) è il reddito (X).

Esiste una relazione lineare tra consumo e reddito disponibile in cui la spesa media attesa dipende dal reddito secondo la relazione: = + (/) = / funzione di regressione sono intercetta e pendenza della questa è nota come dove i parametri funzione di regressione.

Rappresenta la spesa media quando il reddito è nullo, ovvero la spesa autonoma che è possibile attingere dal risparmio. Rappresenta la variazione attesa della spesa ovvero la variazione del consumo di beni al variare di 1 di reddito (variazione minima). Può essere pensato come la propensione marginale al consumo.

Possiamo vedere come la derivata del valore atteso di y dato x: (/) (/)= =2 è ancora un modello di regressione matematico e non statistico in quanto è necessario sottolineare l’aspetto che la spesa per consumi è una variabile casuale, diversamente il reddito (in quanto esogena) è una variabile esterna quindi data.

Considerando invece una parità di reddito avremo che la spesa per consumo può variare in relazione alla propensione al risparmio di ciascuna famiglia.

La variabile casuale ha una funzione di densità di probabilità (fdd) che indica la probabilità di osservare diversi livelli di spesa in relazione a diversi livelli di reddito. Le distribuzioni nel grafico sotto sono le fdd condizionate al reddito famigliare di valore x.

La media condizionale o espresso come valore atteso di y, è il valore su cui è centrata la fdd, (|) = µ | mentre la varianza condizionale di y è la dispersione della distribuzione intorno al valore medio e viene espressa come .(|) = 2

Nel modello i parametri e sono riferiti alla popolazione, ma poiché si lavora (|) = µ = + | 1 2 1 2 con un campione casuale di famiglie, è necessario operare una distinzione tra parametro stimato (b e b) e 1 2 stima puntuale.

Questi parametri avranno una certa incertezza poiché per ogni livello di reddito si avrà una determinata distribuzione relativa alla spesa campionabile in relazione al reddito.

Per mostrare la componente incerta da aggiungere al modello di regressione al modello matematico privo di incertezza, supponiamo di avere una dispersione intorno alla media per ogni livello di x tale che la dispersione sia la stessa, ovvero la sia costante per ogni x.(|) = 2

Le fdd quindi hanno medie diverse per valori diversi del reddito x, ma hanno la stessa varianza (ovvero hanno distribuzioni uguali), quindi la probabilità di “cadere” lontani dalla media per ogni livello di reddito non dipende dal reddito stesso ma è sempre uguale, perciò possiamo dire che le osservazioni campionarie sono omoschedastiche.

La componente che fa da discrimine tra il modello matematico e quello esogeno viene chiamata termine di errore casuale “e”, definito: + (|) = − = − 1 2 la differenza tra l’osservazione campionaria y e il suo valore predetto nella regressione.

Ovvero è regressione lineare semplice. Per raggiungere il modello econometrico di avremo che: + − = 1 2

Associando ad ogni osservazione empirica fatta, quindi ad ogni coppia di valori famiglia/reddito, un punto sul piano cartesiano è possibile costruire un diagramma di dispersione.

Per questa nuvola di punti sappiamo che passano infinite rette, tuttavia a noi serve rappresentare una retta di regressione passerà tra questi punti in modo tale che possa approssimare in modo coerente i dati raccolti.

In relazione alla retta di regressione scelta avremo quindi differenti effetti marginali, cioè parametri che descrivano l’impatto sulla spesa alimentare di una variazione del reddito familiare.

Lo stimatore utilizzato per selezionare la sola retta di regressione tra le possibili è il criterio dei minimi quadrati ordinari (MQO o S) il quale minimizza gli errori “e” al quadrato. 2 2) ); − − = �()= �((1 2 1 2 1 1

Prendendo il quadrato degli errori si va a “penalizzare” errori molto grandi sia positivi che negativi.

Prendendo le derivate parziali di questa funzione rispetto i due parametri b e b si ottengono due “equazioni 1 2 normali” ottenendo per loro soluzioni che sono funzioni dei dati campionari su y e x e delle medie i i campionarie (� ∑ ∑= ̅ = ) ∑( − ̅ )( − �) =2� )∑( 2− ̅ = � − ̅1 2

Sostituendo i valori di b e b trovati minimizzando il valore dell’errore, troviamo l’equazione della retta di 1 2 regressione.

Nei modelli lineari l’effetto marginale dell’aumento del valore di x è facilmente calcolabile, tuttavia nei modelli non lineari il calcolo non sarà immediato.

Il segno del parametro b rappresenta inoltre la tipologia di relazione che intercorre tra la variabile 2 dipendente e quella indipendente:

• Se b è positivo allora la relazione è diretta e un aumento di x comporta necessariamente un 2 aumento di y.
• Se b è negativo allora la relazione è inversa quindi ad un aumento di x corrisponde una diminuzione 2 del valore di y.

Con la retta di regressione è possibile inoltre fare previsioni ovvero prevedere per differenti livelli di variabile indipendente, il valore della variabile dipendente.

Si può inoltre vedere quanto variano i residui e in relazione a questo capire quanto si va a sovra/sottostimare con il modello rispetto la realtà.

e<0 vuol dire che il valore y stimato è maggiore del valore reale, quindi ℎ < �. − � < 0 viene sovrastimata dalla regressione.

e>0 vuol dire che il valore stimato è minore del valore reale, quindi − � > 0 ℎ > �. y viene sottostimato dalla regressione.

Regressioni con variabili binarie (o dummy) [D]

Le variabili indicatrici/binarie/qualitative/dummy sono vettori della stessa dimensione dei dati che assumono solo valore 0 e 1. In generale sono usate per rappresentare una caratteristica non quantitativa dei dati.

Generalmente D può indicare: il genere, se sposato, l’etnia, la provenienza, il settore di appartenenza aziendale, ecc…

È possibile fare regressione con sole dummy variabile tale per cui la variabile dipendente è continua mentre quella indipendente è una dummy.

Regressioni non lineari

Trasformazione quadratica

Le variabili economiche sono spesso legate da relazioni non lineari pertanto è necessario trasformare la variabile in modo da adattarla per la non linearità.

Dato un qualsiasi modello di regressione lineare, l’effetto marginale è un valore costante che descrive la variazione della variabile dipendente in funzione di una variazione unitaria della variabile indipendente: + () = 2 1 ∆(|) (|) = =2 ∆

La previsione che si individua sulla retta di regressione ha il limite il fatto che la progressione sia lineare e costante.

È possibile però avere dati tale per cui la loro distribuzione su un sistema di assi cartesiani non siano ben descritti da una retta ma bensì da una curva che riesce a interpolarli meglio.

Nel momento in cui la relazione tra due variabili non è costante, ovvero la relazione non è lineare, l’effetto marginale non viene più spiegato da un solo valore in quanto il coefficiente angolare della retta tangente in un punto alla curva varia in relazione al punto che si va a considerare.

Ipotizzando una curva di regressione descritta dalla funzione: 2 = + + 1 2

L’inclinazione non è costante e viene descritto dalla derivata prima della funzione: () = 2 2

L’effetto marginale di una variazione unitaria della x sul valore atteso della y varia per ciascun valore assunto dalla x (regressore).

Modello lineare modello non lineare 2 Funzione di regressione = + + = + + 2 1 1 2 () inclinazione = = 2 2 2 x=200 = = 2 ∗ 2002 2 x=400 = = 2 ∗ 4002 2

Nel modello lineare il regressore induce lo stesso impatto sul prezzo sia che la x sia piccola, sia che la x sia grande, quando in realtà potrebbe esserci un valore che decresce o cresce in relazione alla grandezza della x e questo viene rappresentato meglio nel modello non lineare.

La stessa variazione di comporta una variazione Δy in relazione allo stesso valore della x. ∆

Elasticità ed effetto marginale

A volte il modello economico, sia esso lineare o non lineare, prevede la stima di una elasticità ossia la variazione percentuale delle variabili.

• Modello lineare - ∆(|) (|) | = =2 ∆ ∆()� ∆() ()(∆%)|à = = = ∆ ∆ () ()�

In alternativa l’elasticità può essere calcolata come rapporto tra le medie di x e y: ̅� = 2 �

È possibile interpretare l’elasticità della relazione lineare come una variazione percentuale indotta nella y da una variazione unitaria percentuale della y.

• Modello non lineare - l’effetto marginale nel modello non lineare è tale per cui non vi è un valore unitario ma questo varia al variare del valore della x. Di conseguenza ci si può aspettare che l’elasticità segua lo stesso corso: () | = 2 2 2 2() 2(∆%)| = 2 =à = 2

È possibile usare le medie della x e della y per ottenere l’elasticità media.

È possibile in alternativa decidere di calcolarla per differenti valori della x a cui corrispondono valori attesi /stimati sulla curva della y ovvero si va a calcolare il valore atteso della y e lo si applica alla formula dell’elasticità.

L’elasticità non è costante: a fronte di una variazione costante della x si può notare una variazione percentuale della x via via crescente in valore assoluto.

Modello funzione Effetto marginale elasticità Lineare = + + 2 1 2 2 2 Quadratico 2 = + + 2 21 2 2

Diagramma a dispersione

Il diagramma di dispersione, anche detto scatter plot, permette di rappresentare su due dimensioni la relazione fra due variabili.

Passando a regressioni lineari multiple con tanti potenziali regressori, lo scatter plot non è utilizzabile per rappresentare la relazione congiunta, quindi per poter rimanere nell’ambito dei diagrammi a dispersione, è necessario rappresentare più diagrammi a dispersione per coppie di variabili e in particolare per ogni combinazione di variabile dipendente con ogni regressore.

Il diagramma a dispersione non lineare può essere utilizzato anche per rappresentare una relazione tra due variabili 2 modello quadratico semplice come ad esempio un come + + = 1 2

NB. Il modello quadratico semplice è un caso particolare di un polinomio più generale appartenente ai modelli di regressione multipla. Il caso generale è un modello non lineare polinomiale che può a sua volta essere quadratico, cubico …

Il modello quadratico generale ha una parte lineare e un termine quadratico | 2. y = β + β x + β x + e0 1 2

Il modello quadratico semplice risulta essere utile nel momento in cui non vi è un’elaborazione intera del polinomio.

In GRETL è possibile rappresentare un modello quadratico generale e non quello semplice: per fare ciò è innanzitutto necessario aggiungere una nuova variabile rappresentante il quadrato delle variabili prese in esame (sotto il comando aggiungi).

Per stimare il modello generale quindi si va a st