Introduzione al modello circuitale: Fondamenti di elettrotecnica

Paolo Maffezzoni Nota 1: il modello circuitale

Ingegneria informatica e dell’automazione – Politecnico di Milano 2026

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Contents

Capitolo 1 . . . . . . . . . . . . . . . Sistemi elettrici e loro modelli 5

1.1 . . . . . . Le grandezze descrittive: tensione e corrente 5

1.2 . . . . . . . . . . . . . . Gli strumenti di misura 7

1.2.1 . . . . . Proprietà della tensione e della corrente 9

1.2.2 . . . . . . Leggi delle tensioni e delle correnti 10

1.2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il circuito elettrico 13

1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le leggi di Kirchhoff 15

1.4 . . . . . . . . . . . . Esercizio sulle leggi di Kirchhoff 19

1.5 . . Dispositivi con più di due terminali e loro modelli 22

1.6 . . . . . . . . . Esercizi con tripoli/doppi bipoli 23

1.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Il teorema di Tellegen 26

1.7 28

1.1 Sistemi elettrici e loro modelli

In questo corso, acquisiremo la capacità di eseguire l’analisi dei sistemi elettrici. Dalla descrizione di un dato sistema in termini di elementi che lo compongono e di come sono connessi tra di loro, impareremo una metodologia generale per calcolare il valore delle grandezze elettriche che lo descrivono e con esse a capire come funziona e a che cosa serve. L’obiettivo verrà raggiunto diventando padroni di un modello matematico fondamentale dell’Ingegneria chiamato il modello circuitale.

Va precisato che il termine di sistema elettrico può riferirsi a realtà fisiche molto diverse tra loro e tutte fondamentali per la preparazione dell’Ingegnere dell’area ICT (Information and Communication Technology). Facciamo degli esempi.

Figure 1.1: Esempio stilizzato di rete di distribuzione dell’energia: da una centrale di produzione tradizionale e da un campo eolico (energia rinnovabile) partono dei fili di rame che trasportano l’energia sotto forma di variabili elettriche alle abitazioni dove viene utilizzata.

Un primo tipo di sistema elettrico è rappresentato dalla rete di trasporto/distribuzione dell’energia elettrica. Questa è formata da un insieme di fili di rame, chiamati conduttori, che collegano punti in cui l’energia viene prodotta, es. le centrali elettriche, impianti fotovoltaici, ai punti in cui viene utilizzata, es. le nostre abitazioni, gli impianti industriali, le linee di trasporto metropolitano o dei treni. Tali reti hanno dimensioni dell’ordine delle centinaia di chilometri dato che si possono estendere su tutto il territorio di una nazione. La figura 1.1 mostra un esempio stilizzato di rete per l’energia.

Un secondo esempio, altrettanto rilevante, è rappresentato dai sistemi della micro e nano elettronica. Per es., la figura 1.2 riporta una tipica scheda elettronica (detta anche "board"), che possiamo trovare all’interno di un computer o di un controllore di un’automobile, dove un certo numero di componenti sono collegati tra loro da micro-piste di rame.

Questo secondo esempio di rete non ha lo scopo di trasportare energia bensì di elaborare l’informazione. L’energia elettrica nel primo esempio e l’informazione nel secondo sono rappresentate (o determinate) da alcune grandezze fisiche misurabili chiamate grandezze descrittive.

Figure 1.2: Una scheda elettronica.

Figure 1.3: Collegamenti con piste di rame.

Alcuni dei componenti che si vedono sulla scheda in fig. 1.2 sono a loro volta dei sistemi elettrici formati al loro interno da una rete complessa di collegamenti. La fig. 1.4 mostra uno di questi componenti chiamato microprocessore, mostrato chinato coi contatti esterni rivolti verso l’alto, e che funziona da cpu (central processing unit) di un computer.

Oltre che nei computer e lap-top troviamo i microprocessori negli smart-phones, nei controlli dei robots, autovetture, aeroplani, nei sistemi di comunicazione via satellite, ecc. Un micro-processore ha le dimensioni dell’ordine del centimetro quadrato e può contenere miliardi di micro/nano componenti, detti dispositivi, collegati tra loro da micro-conduttori di rame.

Figure 1.4: Microprocessore.

Nonostante la spaventosa differenza di scala geometrica tra una rete per l’energia e un processore elettronico il comportamento elettrico di questi sistemi può venire descritto dallo stesso modello circuitale. La tecnica di modeling, cioè la costruzione del modello, si basa sull’identificazione delle grandezze fisiche descrittive che chiameremo tensione e corrente elettrica e sulla scrittura delle leggi che le governano. Nel modello, le grandezze fisiche sono sostituite da variabili matematiche (indicate v, i) mentre le leggi fisiche si traducono in equazioni che legano tali variabili, come mostrato schematicamente in figura 1.5.

Figure 1.5: Il processo di modeling.

Il modello circuitale consente di esplorare fenomeni elettrici e non che vanno oltre gli esempi, seppur rilevanti, precedentemente accennati e che sconfinano nella ricerca più visionaria. Basti pensare, spostandosi nel campo della biologia e bioingegneria, che gli impulsi nervosi con cui il nostro cervello funziona sono degli impulsi elettrici che si muovono in un circuito biologico. Questo consente di interfacciare sistemi elettrici costruiti dall’uomo, quali ad es. un arto artificiale, con il nostro sistema nervoso/cervello.

D’altra parte, è importante fin da subito sottolineare che, sebbene molto potente, il modello circuitale, al pari di ogni modello dell’Ingegneria, è in grado di cogliere solo alcuni aspetti della realtà fisica che vuole rappresentare. Come tale esso ha dei limiti di validità. Per questo motivo è importante non solo apprenderne l’uso ma anche saper riconoscere i suoi limiti di applicazione.

1.2 Le grandezze descrittive: tensione e corrente

Gli uomini hanno imparato a descrivere e dominare i fenomeni elettrici ammettendo che essi siano dovuti ad una proprietà della materia chiamata la carica elettrica. La carica elettrica si manifesta in quanto i corpi che la possiedono esercitano l’un l’altro delle interazioni (cioè delle forze). Esistono due tipi distinti di carica elettrica, indicati convenzionalmente come cariche di tipo positivo e di tipo negativo. Tra cariche elettriche dello stesso tipo si misura una forza che tende a respingerle mentre tra cariche di tipo opposto tale forza è di tipo attrattivo. La figura 1.6 mostra qualitativamente le forze che si esercitano tra cariche puntiformi, cioè le cui dimensioni siano trascurabili.

Figure 1.6: Azioni tra cariche puntiformi.

Gli atomi che formano la materia sono composti da particelle che possiedono carica positiva (protoni) e da altre che possiedono la stessa quantità di carica ma negativa (elettroni). Le particelle con carica positiva e quelle con carica negativa sono in egual numero e quindi tendono a neutralizzarsi vicendevolmente. Questo fa sì che a livello macroscopico i corpi materiali non manifestino particolari effetti elettrici. Per “scatenare” tali fenomeni è necessario che, attraverso una qualche azione, alcune cariche dello stesso tipo siano in eccesso nel corpo in modo da prevalere su quelle di tipo opposto.

È allora evidente che per sottrarre/apportare alcune cariche al corpo è necessario applicare una forza che vinca la forza di tipo attrattivo/repulsivo, rispettivamente, che le lega alle altre cariche del corpo, cioè è necessario compiere un lavoro. Un primo aspetto comune a tutti i fenomeni elettrici è che affinché essi si manifestino deve esistere un’azione attraverso cui si separano cariche elettriche di tipo opposto eseguendo un lavoro.

Il primo esperimento in cui l’elettrizzazione della materia fu condotta in modo controllato e ripetibile, fu quello eseguito da Alessandro Volta alla fine del 1799 quando riuscì a costruire il primo esempio di pila elettrica. La pila di Volta è composta da dischi di rame e zinco disposti in modo alternato uno sull’altro interponendo tra loro una spugna imbevuta in una soluzione di acido (solforico).

Per effetto della reazione chimica che ha luogo tra i due metalli, alcuni atomi con un eccesso di carica positiva, detti ioni positivi, vengono spostati verso un capo della pila mentre contemporaneamente ioni negativi si spostano al capo opposto. In questo modo dunque il lavoro proveniente dalla reazione chimica si trasforma nel lavoro elettrico necessario per attuare la separazione delle cariche.

Figure 1.7: Il circuito con la pila di Volta.

Volta si accorse che quando due fili metallici collegati agli estremi della pila venivano impugnati si avvertiva la sensazione di essere attraversati da un fluido, una sensazione che oggi potremmo definire "elettrizzante". Alla luce delle nostre conoscenze oggi sappiamo che ciò accade perché le cariche positive e negative separate dal lavoro chimico della pila si ricongiungono muovendosi lungo il cammino che si viene a formare lungo i due conduttori metallici e l’uomo che li impugna. Si viene così a formare un circuito chiuso lungo cui le cariche si mettono in movimento dando vita ad una circolazione continua (o flusso) di carica. Convenzionalmente si attribuisce a tale circolazione il verso del movimento delle cariche positive.

L’esperimento mette in luce due aspetti della manifestazione elettrica:

• Esiste un dispositivo, la pila, che funziona come generatore del fenomeno elettrico in quanto è in grado di separare cariche di segno opposto svolgendo un lavoro;
• Si instaura un movimento continuo di cariche elettriche lungo un percorso chiuso.

L’esperimento della pila di Volta rappresenta un caso elementare di circuito elettrico e ad ognuno dei due aspetti fondamentali dell’esperimento, lavoro elettrico e movimento di cariche, siamo in grado di associare una grandezza elettrica descrittiva del fenomeno.

La tensione elettrica è una grandezza fisica associata ad una linea orientata nello spazio, cioè su cui è stato fissato un verso di percorrenza, γ, che congiunge due punti A e B. Chiamiamo tensione elettrica lungo la linea γ e la indichiamo come V(γ) il lavoro elettrico che noi dobbiamo compiere in antagonismo alle forze elettriche per muovere lungo tale linea una carica di prova positiva e unitaria.

Figure 1.8: La tensione elettrica lungo la linea orientata γ è indicata come V(γ).

L’unità di misura della tensione è il volt [V], dal nome dell’inventore della pila. Chiaramente il lavoro da noi svolto sarà positivo se il movimento della carica di prova avviene effettivamente in opposizione alle forze elettriche che agiscono su di essa oppure sarà negativo (cioè non svolto da noi ma assorbito) se il movimento avviene concordemente alle forze elettriche. Pertanto la tensione elettrica è una grandezza dotata di segno.

Per definire la seconda grandezza elettrica, si supponga di voler misurare il flusso di carica all’interno del filo metallico. A tale proposito si taglia il filo venendo a formare la superficie sezione σ.

Figure 1.9: Il filo viene sezionato identificando la superficie orientata σ.

Si fissa arbitrariamente un verso di attraversamento come positivo che induce un orientamento della superficie σ e si conta la quantità netta di carica positiva che attraversa la superficie. La corrente elettrica in un mezzo conduttivo (cioè che ne consente la circolazione) è una grandezza descrittiva associata ad una superficie orientata, σ, che indichiamo come I(σ), definita come la quantità