Introduzione al modello circuitale: Fondamenti di elettrotecnica

PA O L O M A F F E Z Z O N I

N O TA 1 : I L M O D E L L O C I R -

C U I TA L E

I N G E G N E R I A I N F O R M AT I C A E D E L L’ A U T O M A Z I O N E – P O -

LITECNICO DI MILANO

2 2026

Last printing, January

Contents

1 1 5

Capitolo . . . . . . . . . . . . . . .

Sistemi elettrici e loro modelli

1.1 5

. . . . . .

Le grandezze descrittive: tensione e corrente

1.2 7

. . . . . . . . . . . . . . .

Gli strumenti di misura

1.2.1 9

. . . . .

Proprietà della tensione e della corrente

1.2.2 10

. . . . . . .

Leggi delle tensioni e delle correnti

1.2.3 13

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il circuito elettrico

1.3 15

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Le leggi di Kirchhoff

1.4 19

. . . . . . . . . . . . .

Esercizio sulle leggi di Kirchhoff

1.5 22

. .

Dispositivi con più di due terminali e loro Modelli

1.6 23

. . . . . . . . . .

Esercizi con tripoli/doppi bipoli

1.6.1 26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Il teorema di Tellegen

1.7 28

1

1.1 Sistemi elettrici e loro modelli

In questo corso, acquisiremo la capacità di eseguire l’analisi dei

sistemi elettrici. Dalla descrizione di un dato sistema in termini di

elementi che lo compongono e di come sono connessi tra di loro,

impareremo una metodologia generale per calcolare il valore delle

grandezze elettriche che lo descrivono e con esse a capire come fun-

ziona e a che cosa serve. L’obiettivo verrà raggiunto diventando

padroni di un modello matematico fondamentale dell’Ingegneria

modello circuitale.

chiamato il

Va precisato che il termine di sistema elettrico può riferirsi a realtà

fisiche molto diverse tra loro e tutte fondamentali per la preparazione

dell’Ingegnere dell’area ICT (Information and Communication Tech- Figure Esempio stilizzato di rete

1.1:

nology). Facciamo degli esempi. di distribuzione dell’energia: da una

rete

Un primo tipo di sistema elettrico è rappresentato dalla di centrale di produzione tradizionale

e da un campo eolico (energia rin-

Questa è formata da

trasporto/distribuzione dell’energia elettrica. novabile) partono dei fili di rame che

un insieme di fili di rame, chiamati conduttori, che collegano punti trasportano l’energia sotto forma di

in cui l’energia viene prodotta, es. le centrali elettriche, impianti variabili elettriche alle abitazioni dove

viene utilizzata.

fotovoltaici, ai punti in cui viene utilizzata, es. le nostre abitazioni,

gli impianti industriali, le linee di trasporto metropolitano o dei treni.

Tali reti hanno dimensioni dell’ordine delle centinaia di chilometri

dato che si possono estendere su tutto il territorio di una nazione. La

figura mostra un esempio stilizzato di rete per l’energia.

1.1

Un secondo esempio, altrettanto rilevante, è rappresentato dai sis-

temi della micro e nano elettronica. Per es., la figura riporta una

1.2

tipica scheda elettronica (detta anche "board"), che possiamo trovare

all’interno di un computer o di un controllore di un’automobile, dove

un certo numero di componenti sono collegati tra loro da micro-piste

di rame.

Questo secondo esempio di rete non ha lo scopo di trasportare en-

ergia bensì di L’energia elettrica nel primo

elaborare l’informazione.

esempio e l’informazione nel secondo sono rappresentate (o deter- Figure Una scheda elettronica.

1.2:

Figure Collegamenti con piste di

1.3:

6 nota1:il modello circuitale grandezze

minate) da alcune grandezze fisiche misurabili chiamate

descrittive. Alcuni dei componenti che si vedono sulla scheda in fig.

sono a loro volta dei sistemi elettrici formati al loro interno da

1.2

una rete complessa di collegamenti. La fig. mostra uno di questi

1.4

componenti chiamato microprocessore, mostrato chinato coi contatti

esterni rivolti verso l’alto, e che funziona da cpu (central processing

unit) di un computer.

Oltre che nei computer e lap-top troviamo i microprocessori negli

smart-phones, nei controlli dei robots, autovetture, aeroplani, nei

sistemi di comunicazione via satellite, ecc.. Un micro-processore ha

le dimensioni dell’ordine del centimetro quadrato e può contenere Figure Microprocessore.

1.4:

miliardi di micro/nano componenti, detti dispositivi, collegati tra

loro da micro-conduttori di rame.

Nonostante la spaventosa differenza di scala geometrica tra una

rete per l’energia e un processore elettronico il comportamento elet-

trico di questi sistemi può venire descritto dallo stesso modello cir-

cuitale. La tecnica di modeling, cioè la costruzione del modello, si

basa sull’identificazione delle grandezze fisiche descrittive che chi-

ameremo tensione e corrente elettrica e sulla scrittura delle leggi

che le governano. Nel modello, le grandezze fisiche sono sostitu-

ite da variabili matematiche (indicate v, i) mentre le leggi fisiche

si traducono in equazioni che legano tali variabili, come mostrato

schematicamente in figura 1.5.

Il modello circuitale consente di esplorare fenomeni elettrici e non

che vanno oltre gli esempi, seppur rilevanti, precedentemente ac-

cennati e che sconfinano nella ricerca più visionaria. Basti pensare,

spostandosi nel campo della biologia e bioingegneria, che gli im-

pulsi nervosi con cui il nostro cervello funziona sono degli impulsi Figure Il processo di modeling.

1.5:

elettrici che si muovono in un circuito biologico. Questo consente di

interfacciare sistemi elettrici costruiti dall’uomo, quali ad es. un arto

artificiale, con il nostro sistema nervoso/cervello.

D’altra parte, è importante fin da subito sottolineare che, sebbene

molto potente, il modello circuitale, al pari di ogni modello dell’Ingegneria,

è in grado di cogliere solo alcuni aspetti della realtà fisica che vuole

rappresentare. Come tale esso ha dei limiti di validità. Per questo

motivo è importante non solo apprenderne l’uso ma anche saper

riconoscere i suoi limiti di applicazione. capitolo 1 7

1.2 Le grandezze descrittive: tensione e corrente

Gli uomini hanno imparato a descrivere e dominare i fenomeni elet-

trici ammettendo che essi siano dovuti ad una proprietà della materia

chiamata La carica elettrica si manifesta in quanto i

carica elettrica.

corpi che la possiedono esercitano l’un l’altro delle interazioni (cioè

delle forze). Esistono due tipi distinti di carica elettrica, indicati con-

venzionalmente come cariche di tipo positivo e di tipo negativo. Tra

cariche elettriche dello stesso tipo si misura una forza che tende a

respingerle mentre tra cariche di tipo opposto tale forza è di tipo

attrattivo. La figura mostra qualitativamente le forze che si eserci-

1.6

tano tra cariche puntiformi, cioè le cui dimensioni siano trascurabili.

Gli atomi che formano la materia sono composti da particelle

che possiedono carica positiva (protoni) e da altre che possiedono

la stessa quantità di carica ma negativa (elettroni). Le particelle con Figure Azioni tra cariche pun-

1.6:

tiformi.

carica positiva e quelle con carica negativa sono in egual numero e

quindi tendono a neutralizzarsi vicendevolmente. Questo fa si che

a livello macroscopico i corpi materiali non manifestino particolari effetti

elettrici. Per “scatenare” tali fenomeni è necessario che, attraverso

una qualche azione, alcune cariche dello stesso tipo siano in eccesso

nel corpo in modo da prevalere su quelle di tipo opposto. È allora

evidente che per sottrarre/apportare alcune cariche al corpo è nec-

essario applicare una forza che vinca la forza di tipo attrattivo/re-

pulsivo, rispettivamente, che le lega alle altre cariche del corpo, cioè

è necessario compiere un lavoro. Un primo aspetto comune a tutti

i fenomeni elettrici è che affinché essi si manifestino deve esistere

un’azione attraverso cui si separano cariche elettriche di tipo opposto

eseguendo un lavoro.

Il primo esperimento in cui l’elettrizzazione della materia fu con-

dotta in modo controllato e ripetibile, fu quello eseguito da Alessan-

dro Volta alla fine del quando riuscì a costruire il primo esempio

1799

di pila elettrica. è composta da dischi di rame e

La pila di Volta

zinco disposti in modo alternato uno sull’altro interponendo tra loro

una spugna imbevuta in una soluzione di acido (solforico).

Per effetto della reazione chimica che ha luogo tra i due metalli,

alcuni atomi con un eccesso di carica positiva, detti ioni positivi, ven-

gono spostati verso un capo della pila mentre contemporaneamente

In questo modo dunque il

ioni negativi si spostano al capo opposto. Figure Il circuito con la pila di

1.7:

Volta.

lavoro proveniente dalla reazione chimica si trasforma nel lavoro elettrico

necessario per attuare la separazione delle cariche. Volta si accorse che

8 nota1:il modello circuitale

quando due fili metallici collegati agli estremi della pila venivano

impugnati si avvertiva la sensazione di essere attraversati da un flu-

ido, una sensazione che oggi potremmo definire "elettrizzante". Alla

luce delle nostre conoscenze oggi sappiamo che ciò accade perché le

cariche positive e negative separate dal lavoro chimico della pila si

ricongiungono muovendosi lungo il cammino che si viene a formare

lungo i due conduttori metallici e l’uomo che li impugna. Si viene

così a formare un circuito chiuso lungo cui le cariche si mettono in

movimento dando vita ad una circolazione continua (o flusso) di car-

ica. Convenzionalmente si attribuisce a tale circolazione il verso del

movimento delle cariche positive.

L’esperimento mette in luce due aspetti della manifestazione elet-

trica:

a. esiste un dispositivo, la pila, che funziona come generatore del

fenomeno elettrico in quanto è in grado di separare cariche di

segno opposto svolgendo un lavoro;

b. si instaura un movimento continuo di cariche elettriche lungo un

percorso chiuso.

L’esperimento della pila di Volta rappresenta un caso elementare di

circuito elettrico e ad ognuno dei due aspetti fondamentali dell’esperimento,

lavoro elettrico e movimento di cariche, siamo in grado di associare

una grandezza elettrica descrittiva del fenomeno.

è una grandezza fisica associata ad una linea

La tensione elettrica

orientata nello spazio, cioè su cui è stato fissato un verso di percor-

γ A B.

renza, che congiunge due punti e

Chiamiamo tensione elettrica lungo la linea e la indichiamo

γ

( )

V

come il lavoro elettrico che noi dobbiamo compiere in antag- Figure La tensione elettrica lungo la

γ 1.8: ( )

V

linea orientata è indicata come .

γ γ

onismo alle forze elettriche per muovere lungo tale linea una carica

di prova positiva e unitaria. L’unità di misura della tensione è il volt

[V], dal nome dell’inventore della pila. Chiaramente il lavoro da noi

svolto sarà positivo se il movimento della carica di prova avviene

effettivamente in opposizione alle forze elettriche che agiscono su di

essa oppure sarà negativo (cioè non svolto da noi ma assorbito) se il

la

movimento avviene concordemente alle forze elettriche. Pertanto

tensione elettrica è una grandezza dotata di segno.

Per definire la seconda grandezza elettrica, si supponga di voler

misurare il flusso di carica all’interno del filo metallico. A tale propos-

ito si taglia il filo venendo a formare la superficie sezione σ. Figure Il filo viene sezionato identi-

1.9:

ficando la superficie orientamenta.

σ

capitolo 1 9

Si fissa arbitrariamente un verso di attraversamento come posi-

la quantità

tivo che induce un orientiamo della superficie e si conta

σ

netta di carica positiva che attraversa la superficie. La corrente elet-

in un mezzo conduttivo (cioè che ne consente la circolazione)

trica

è una grandezza descrittiva associata ad una superficie orientata,

σ

( )

I

che indichiamo come , definita come la quantità