Introduzione ai Fenomeni di Trasporto

Indice

• Indice ………………………………………………...……1
• Introduzione ai bilanci ……………………………………….….……………….……2
• Equazioni costitutive ……….……………..….……3
• Trasferimento molecolare di calore conduzione ………………………….……4
• Trasferimento molecolare di materia diffusione ………….……5
• Trasferimento molecolare di quantità di moto moto laminare ……………………………….…………10
• Coefficiente di trasferimento di energia ……………………………….……...…15
• Coefficiente di trasferimento di materia ………………………………….……18
• Bilancio macroscopico di materia ………………………………….….…20
• Bilancio macroscopico di energia …………………………………………….……26
• Bilancio dell’energia meccanica …………….………….…...30
• Bilancio macroscopico di quantità di moto

Introduzione ai bilanci

I bilanci sono la traduzione matematica di:

• Conservazione della materia nel caso dei bilanci di materia.
• Conservazione dell’energia nel caso dei bilanci di energia.
• Secondo principio della dinamica nel caso dei bilanci di quantità di moto.

L’aspetto fondamentale delle equazioni di bilancio è che non è possibile scriverne una se non è stato preliminarmente individuato il volume di controllo, non ha alcun senso scrivere un’equazione di bilancio se non si è individuato il dominio nella quale essa deve essere applicata.

Andiamo ad individuare i tipi di bilanci che è possibile scrivere:

Tipi di bilancio

Esiste un’ulteriore classificazione riguardante i bilanci di materia:

Bilancio di materia

Facciamo alcuni richiami su:

• Equazioni costitutive: sono le equazioni che rappresentano le leggi fisiche che regolano i fenomeni di trasporto molecolare di materia, energia e quantità di moto.
• Proprietà di trasporto: sono strettamente legate alle equazioni costitutive.
• Coefficienti di trasferimento: ci concentriamo su quelli di materia e di calore.

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Equazioni costitutive

Partiamo da una premessa generale che vale sia per il trasferimento di materia, il trasferimento di energia termica e il trasferimento di quantità di moto.

Indichiamo con la generica F una di queste entità e consideriamo un volume di controllo delimitato da una superficie di controllo, nel volume di controllo ci saranno una serie di correnti in entrata e in uscita: Tali correnti possono essere sia localizzate che distribuite su tutta la superficie.

I meccanismi con cui F, cioè la materia, l’energia termica e la quantità di moto, può entrare o uscire dal volume di controllo sono fondamentalmente 2:

• Convezione: è legata al moto d’insieme del fluido, un VC esempio di trasferimento per convezione è data da una corrente fluida spinta all’interno del volume di controllo da una pompa.
• Diffusione molecolare (trasporto molecolare): è legato S al moto delle singole molecole che si muovono all’in-C terno di una miscela.

Consideriamo il seguente esempio Abbiamo a che fare con un fiume con dei pesci che si muovono all’interno.

Il fiume si muoverà con una velocità perché la massa d’acqua si starà complessivamente muovendo vfiume con tale velocità, pertanto esisterà un moto convettivo che trascina anche i pesci presenti all’interno della corrente.

I pesci ovviamente avranno anche un movimento proprio e si possono muovere in direzioni diverse rispetto a quelle della massa d’acqua.

Questo moto indipendente rispetto al moto d’insieme della massa d’acqua è quello che chiamiamo moto diffusivo.

Se ci troviamo su una barca che viene trascinata dalla corrente è chiaro che ci stiamo muovendo solidalmente al fiume e quindi vediamo semplicemente i pesci che si muovono di moto diffusivo.

Viceversa, se invece di muoverci solidalmente con la corrente ci mettiamo sopra ad un ponte e osserviamo ciò che accade da un sistema di riferimento fisso (es. ponte in figura), vediamo che i pesci si muovono con una combinazione dei due effetti convettivo e diffusivo.

Se uno dei pesci dovesse essere morto si muoverebbe solo per effetto di trascinamento della corrente, ossia si muoverebbe solo per moto convettivo.

In generale quando dobbiamo tener conto della quantità di F che entra o esce attraverso la superficie del volume di controllo, sarà necessario far riferimento sia al meccanismo convettivo che a quello diffusivo.

⃗⃗⃗ Indichiamo con il flusso della grandezza F, ossia la quantità dell’entità F che entra o esce dal sistema per unità di superficie e per unità di tempo ortogonalmente alla superficie stessa.

à Il flusso è un vettore e ⃗⃗⃗ = [ ] non uno scalare!

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Il flusso avrà in generale una componente in tutte le direzioni degli assi.

Il flusso in una generica situazione sarà sempre dato dalla somma di un contributo convettivo, legato al moto d’insieme, e uno diffusivo, legato al trasporto molecolare:

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ = ( ) + ( ) ⃗⃗⃗

Ricordiamo che il flusso una volta determinato andrà a sostituire uno dei termini dell’equazione di bilancio, pertanto siamo costretti a determinare questo termine se il nostro obiettivo è risolvere l’equazione di bilancio.

Trascuriamo per un momento il moto convettivo e focalizziamoci su quello diffusivo, andando a vedere come è possibile rappresentare tale flusso.

Termine diffusivo

Trasferimento molecolare di calore conduzione

Il meccanismo di trasporto molecolare di calore è più propriamente detto conduzione, nel nostro esempio andiamo dunque a considerare un solido.

Nei solidi il meccanismo convettivo non esiste in quanto non c’è nessun fluido in movimento né un moto d’insieme, ma esiste la possibilità che il calore venga trasmesso per trasferimento molecolare.

Consideriamo il seguente esempio: Supponiamo di avere un solido la cui temperatura varia in direzione y secondo il profilo riportato in figura (rosso).

T zione y secondo il profilo riportato in figura (rosso).

Fissiamo un piano di riferimento a y=y e vediamo che se ci spo- 0( ) <0 stiamo leggermente a sinistra di tale piano la temperatura risulta =0 essere leggermente maggiore di quella presente a y=y , mentre a0destra del piano risulterà essere inferiore.

Questo è legato al fatto che è presente un gradiente di temperatura (segmento blu) valutato a y=y che risulta essere negativo, ve-y=y y 00 diamo infatti che la funzione risulta essere decrescente.

La presenza del gradiente di temperatura innesca un flusso termico conduttivo q che risulta essereydirettamente proporzionale al gradiente di temperatura in quel punto, in particolare la costante diproporzionalità è proprio la conducibilità termica del mezzo.

La legge costitutiva che descrive il trasferimento molecolare di calore, ossia la conduzione, è la legge di Fourier:

: [ ].flusso conduttivo 2 : [ ].conducibilità termica del mezzo = (− ) : [ ].gradiente di temperatura in direzione y

Se la variazione di temperatura avvenisse anche nelle altre direzioni, la precedente equazione scalare andrebbe scritta in termini vettoriali:

= − ()

La conducibilità termica è una proprietà esclusivamente del mezzo e dipende dalla temperatura [k = ()], in generale è reperibile nei manuali.

Nella legge di Fourier compare il segno meno perché il flusso risulta essere positivo se il profilo di temperatura risulta essere decrescente al crescere di y.

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Trasferimento molecolare di materia diffusione

Supponiamo di avere a che fare con una miscela in cui una delle specie risulta essere la specie A e la frazione molare di tale specie varia in direzione y:

Fissiamo un piano di riferimento a y=y e vediamo che se ci spo-0x stiamo leggermente a sinistra di tale piano la frazione molare di AA risulta essere leggermente maggiore di quella presente a y=y ,0mentre a destra del piano risulterà essere inferiore.

( ) <0 Questo risulta essere legato al fatto che è presente un gradiente di =0 concentrazione (segmento blu) valutato a y=y che risulta essere0negativo, vediamo infatti che la funzione risulta essere decre-scente.

La presenza del gradiente di frazione molare innesca un flusso dif-y=y y0 fusivo di materia che risulta essere direttamente proporzionale algradiente di concentrazione.

In questo caso la costante di proporzionalità è il prodotto e la legge costitutiva che descrive il trasferimento molecolare di materia, ossia la diffusione, è la legge di Fick:

: [ ].flusso diffusivo 2 : [ ].concentrazione totale della miscela 3 = (− ) 2 : [ ].coefficiente di diffusione o diffusività : [ ].gradiente di concentrazione in direzione y ∙

Il coefficiente di diffusione nel trasporto molecolare di materia è analogo a quello che è la conducibilità per il trasporto molecolare calore.

Nella legge di Fick compare il segno meno perché il flusso risulta essere positivo se il profilo di concentrazione risulta essere decrescente al crescere di y.

Se la frazione molare di A dovesse variare anche nelle altre direzioni avremmo un flusso diffusivo vettoriale esprimibile come:

⃗⃗⃗ = − ( )

Bisogna fare molta attenzione a non confondere la concentrazione totale con la concentrazione molare della specie, infatti è la concentrazione totale della miscela.

Spesso la legge di Fick in termini monodimensionali si trova espressa come:

= −

Questa scrittura è valida solo se la concentrazione totale risulta non variare nella direzione y e può ∙ essere portata all’interno del differenziale, ma ovviamente il prodotto ci darà .

Se abbiamo a che fare con una miscela gassosa può essere ricavata mediante l’equazione di stato dei gas (non è detto sia a comportamento ideale) e pertanto dipenderà da pressione e temperatura:

= (, )

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Se la temperatura o la pressione dovessero variare in direzione y anche varierebbe, ne consegue che non potremmo portarlo dentro il differenziale e sarebbe un grave errore usare la “legge di Fick semplificata” che abbiamo riportato.

In generale la diffusività è funzione di:

= (, , )

Si nota subito che il coefficiente di diffusione dipende dalla frazione molare delle varie specie presenti nella miscela.

Trasferimento molecolare di quantità di moto moto laminare

Consideriamo un fluido che si muove verso x, quindi avrà una certa componente della velocità in questa direzione e tale componente varierà in direzione y:

xA ( ) <0 =0y=y y0

Fissiamo un piano di riferimento a y=y e vediamo che se ci spostiamo leggermente a sinistra di tale0piano la velocità del fluido risulta essere leggermente maggiore di quella presente a y=y , mentre a0destra del piano risulterà essere inferiore.

Sostanzialmente il fluido che sta a destra del piano, che è più lento, rallenta il fluido più veloce che sta a sinistra e cioè gli esercita uno sforzo di taglio che è legato proprio al fatto che sia presente un gradiente di velocità.

La presenza del gradiente di velocità innesca uno sforzo di taglio o flusso diffusivo di quantità di moto ma in questo la proporzionalità tra i due dipende dal tipo di fluido.

Nel caso dei fluidi Newtoniani esiste una proporzionalità diretta tra e il gradiente di velocità, inparticolare la costante di proporzionalità sarà la viscosità del fluido e la legge costitutiva che descriveil trasferimento molecolare di quantità di moto, ossia il moto laminare, è la legge di Newton:

: [ = = ].flusso di quantità di moto sforzo tangenziale 2 2 = (− ) : [ ].viscosità dinamica / : [ ].gradiente della componente x della velocità in direzione y

In generale abbiamo che:

= (, )

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Andiamo a riassumere in forma tabellare quanto abbiamo detto finora riguardo al trasporto molecolare:

Notiamo che più sono elevate le proprietà di trasporto e maggiore è il flusso.

Andiamo a vedere come le varie espressioni possono diventare ancora più simili eseguendo opportune operazioni.

Se per esempio prendiamo il trasferimento di energia termica, ossia partiamo dalla legge di Fourier, e moltiplichiamo e dividiamo per che ipotizziamo essere costanti in direzione y (posso portarli all’interno del differenziale):

2 = : [ ].diffusività termica ( ) ( ) = − = − : [ ].concentrazione di energia 3

Notiamo come la diffusività termica abbia le stesse unità di misura della diffusività di materia.

Prendiamo la legge di Newton e moltiplichiamo e dividiamo per che non consideriamo variabile con y:

2 = : ].diffusività di quantità di moto o viscosità cinematica[) ) ( ( =− = − à : ].concentrazione di quantità di moto[ 3

Per il trasferimento di materia non c’è bisogno di fare alcuna operazione:

2 : ].