Idrostatica

CAPITOLO TERZO

3. IDROSTATICA

3.1 Introduzione

L'idrostatica studia il comportamento dei fluidi in quiete, caratterizzati cioè da valori nulli, punto per

punto, sia delle velocità che delle accelerazioni. Non sono infatti di tipo idrostatico le condizioni che

si verificano, ad esempio, all'interno di un recipiente dotato di una apertura (detta luce) regolabile,

all'interno del quale sia contenuto del liquido inizialmente in quiete, allorché la luce venga aperta

istantaneamente.

Tanto nel presente capitolo quanto nel prosieguo del corso, verranno considerati unicamente fluidi

newtoniani, sebbene, nel caso specifico dell'idrostatica, le trattazioni che verranno sviluppate

possano ritenersi valide per alcuni degli altri tipi di fluidi esaminati in sede di descrizione delle

proprietà reologiche, e precisamente tutti i fluidi per i quali, in condizioni di quiete, risultino nulli gli

sforzi tangenziali.

3.2 Stato di sforzo in un punto.

Come preannunciato nel §2.3, lo stato di sforzo in un punto assume caratteri di particolare semplicità

nel caso di fluidi newtoniani in quiete, come conseguenza dell'annullamento delle componenti di

sforzo tangenziali, a norma della equazione (74).

Si consideri infatti il volume elementare di fluido di Figura 22, avente forma di un cilindro con



una delle due superfici di estremità, dS , avente una giacitura generica individuata dalla normale ,

n

n

 

con l’asse del cilindro . L’angolo è quindi anche l’angolo formato dalla

20

che forma un angolo

con l’altra superficie di estremità, dS, normale all’asse del cilindro, per cui si ha anche

superficie dS n



dS = dS .cos . Assumendo tutte le dimensioni lineari proporzionali allo sviluppo in asse infinitesimo

n

del cilindro ds, le superfici di estremità dS e dS e la superficie laterale dS sono infinitesime di ordine

n L

2 rispetto a ds, mentre il volume dV è infinitesimo di ordine 3.

ሬ

Ԧ

d

n

s  ሬԦ

dS ሬ

Ԧ ds

n d

dԦ Ԧ

dS s

L ሬ

Ԧ

d

dS

Figura 22. Schema illustrativo dello stato di tensione in un punto in condizioni idrostatiche.



  

20 2 1 1

Si noti che dS può assumere diverse giaciture, corrispondenti agli valori di per gli valori

n 

dell’angolo di rotazione della superficie dS attorno all’asse del cilindro L’angolo è tuttavia l’unico

s.

n

parametro rilevante ai fini del risultato che si vuole dimostrare. 55

Si vuole esaminare lo stato di sforzo nel punto nel quale il volume cilindrico collassa al tendere a



zero di tutte le dimensioni lineari, mantenendo costante l’angolo . Il volume fluido è in equilibrio

 

 

 d

sotto l'azione della forza peso (forza di volume o di massa) e delle forze (spinte) , e

d G d

 n



d , agenti sulle tre superfici dS, dS e dS ., rispettivamente. Essendo il fluido in quiete, e quindi



 n L

L 



gli sforzi puramente assiali, e sono ortogonali alle superfici piane su cui agiscono, mentre

d

d

 n

 è ortogonale all’asse del cilindro, tali essendo tutte le forze elementari che lo compongono.

d L

A norma della prima equazione cardinale della statica (47), deve risultare:

 

  

+ + + =

d G d d d 0 , (78)

n L

in cui: 

=

d G f d V

m

 =

d p d S

 =

d p d S

n n n

 =

d p d S

L L L

dove p e p sono gli sforzi assiali uniformi sulle superfici piane dS e dS , mentre è il valore medio

p

n n L

degli sforzi assiali sulla superficie laterale gobba, avente giacitura variabile. Osservato che la forza

di massa è proporzionale al volume dV e che le forze di superficie sono proporzionali alle superfici

dS, dS e dS , si conclude che la forza di massa è trascurabile rispetto alle forze di superficie, attesi i

n L

diversi ordini di infinitesimo di superfici e volumi, per cui l’equazione (78) si semplifica nella:



  

+ + =

d d d 0 . (79)

n L



 

 hanno componente non nulla lungo l’asse del

d

Inoltre, delle tre spinte rimanenti soltanto e

d

 n

 ad esso ortogonale. Proiettando l’equazione lungo l’asse del

d

cilindro, essendo, come detto, L

cilindro e ricordando la relazione fra le aree delle superfici dS e dS si ottiene pertanto:

n



= = . (80)

p d S p d S cos p d S

n n n

da cui, infine: = . (81)

p p

n

Il medesimo ragionamento si può ripetere, pervenendo alle medesime conclusioni, per qualunque



valore dell’angolo attorno all’asse del cilindro, in

e per qualunque rotazione della superficie dS n

 2

tal modo considerando tutte le giaciture possibili di elementi di superficie passanti per il punto.

Rimane così dimostrato che, in un fluido in quiete, lo stato di sforzo in un punto è individuato da un

valore univoco della componente scalare dello sforzo normale, indipendente dalla giacitura della

superficie considerata, cui viene dato il nome di pressione, e alla quale si conviene, come già

ricordato, di assegnare valori positivi se corrispondenti a una sollecitazione di compressione sulla





superficie premuta. Conseguentemente, nel caso idrostatico l'espressione (69) dello sforzo agente

 n

sulla faccia di una superficie di giacitura individuata dalla propria normale esterna si riduce a:

n

 

 = − , (82)

p

n

n

mentre l’espressione (70) del risultante delle forze di superficie esercitate su una superficie S assume

la forma:  



 = − . (83)

p

n d S

S

56

3.3 Equazione indefinita dell'idrostatica.

Accertato che lo stato di sforzo in un punto di un fluido in quiete è caratterizzato da un valore univoco

di pressione, si pone il problema di determinare la distribuzione delle pressioni all'interno della massa

fluida considerata. A tale scopo, si consideri il volume elementare parallelepipedo dV appartenente

a un fluido in quiete, di lati dx , dx e dx , rappresentato in Figura 23.

1 2 3

Il volume dV è in equilibrio sotto l'azione delle forze di superficie, associate alla distribuzione



f

delle pressioni, e delle forze di massa , che ammetteremo di norma costituite dalla sola forza peso:

m  = − 

f g z ,

m

cui corrisponde la forza peso elementare agente sul volume parallelepipedo dV:



  

= = − 

d G f d V g z d x d x d x

m 1 2 3 

Detta p la pressione nel punto P individuato dal suo vettore posizione , mediante sviluppi in serie

x

di Taylor arrestati al primo ordine nelle tre direzioni degli assi coordinati, la spinta agente

complessivamente sulle facce esterne della superficie di contorno del volume elementare dV,

risultante delle forze di superficie, può esprimersi come segue (vedi schema di Figura 23):

 

    

 

d x d x

p p

   

 = − + + − +

1 1

d p d x d x b p d x d x b

   

 

2 3 1 2 3 1

   

x 2 x 2

1 1

 

   

 

d x d x

p p

   

− + + − +

2 2

p d x d x b p d x d x b

   

 

1 3 2 1 3 2

   

x 2 x 2

2 2

 

   

 

d x d x

p p

   

− + + − =

3 3

p d x d x b p d x d x b

   

 

1 2 3 1 2 3

   

x 2 x 2

3 3

  

 

  

p p p

 

− + + = −

b b b d x d x d x p d x d x d x

 

  

1 2 3 1 2 3 1 2 3

 

x x x

1 2 3 ,

  

b b b

in cui , e sono i versori degli assi coordinati x , x e x rispettivamente.

1 2 3

1 2 3

Le forze agenti sul volume elementare devono farsi equilibrio. A norma della prima equazione

cardinale della statica, equazione (47), nel caso di forze di massa qualunque deve pertanto risultare,

dopo semplificazione del volume elementare dV = dx dx dx :

1 2 3



 = 

f p , (84)

m

ovvero, nel caso in cui le forze di massa siamo costituite dalla sola forza peso:



−  = 

g z p . (85)

L'equazione (84) è detta equazione indefinita dell'idrostatica o equazione dell'idrostatica in forma

locale. Essa deve essere soddisfatta in ogni punto della massa fluida in quiete. Poiché il vettore

gradiente di una funzione scalare è, punto per punto, perpendicolare alla superficie dello spazio sulla

quale la funzione è costante, dalla (84) risulta che la pressione è costante su superfici (dette

isobariche) rispetto alle quali la forza di massa risulta, punto per punto, normale. Nel caso della forza

peso, le superfici isobariche sono piani orizzontali. Proiettando la (85) lungo la verticale, per le

proprietà dell'operatore gradiente esposte nel §1.2.4 si ottiene:

d p 

= − g (86)

d z 57

x 3 dV dx 3 P dx 1

dx 2 x 2

x 1 Figura 23. Volume fluido elementare in equilibrio idrostatico.

 

la quale, sulla base di una equazione di stato, = (p, T), consente di determinare la distribuzione di

pressione p(z). La (86) può essere utilizzata per determinare la distribuzione di pressione

nell'atmosfera terrestre, ipotizzando il tipo di trasformazione termodinamica rappresentativa delle

condizioni della colonna d'aria: ad esempio, isoterma o adiabatica. Lo stesso tipo di valutazione può

effettuarsi allo scopo di rendersi conto delle condizioni nelle quali un aeriforme possa essere

considerato, ai fini applicativi, come un fluido praticamente incomprimibile. Assumendo condizioni

isoterme e pressioni non troppo elevate, l'equazione di stato è data dalla Legge di Boyle-Mariotte,

qui scritta in termini di densità invece che di volume specifico, inverso della densità:

p

p = = 0

cost , (87)

  0

in cui il valore della costante può desumersi, ad esempio, per l'aria, in condizioni di pressione

atmosferica e alla temperatura di 20 °C, dai valori riportati in Tabella 1 (p = 1 atm = 101325 Pa) e

0

 3

Tabella 2 ( = 1,226 kg/m ). Si ha quindi la seguente equazione differenziale ordinaria:

0 

g

d p g

= − = − 0

d z d z ,

p cost p 0

la quale, integrata con le condizioni al contorno p = p per z = 0, fornisce la distribuzione di pressione

0

in funzione della quota: 

g 0

− z

= p

p p e .

0

0

Mediante tale relazione si può valutare il rapporto delle pressioni, p e p vigenti alle quote z e z :

1 2 1 2



g ( )

0

− −

p z z

1 2

= p

1 e .

0

p 2

Ad esempio, a una differenza di quota di 10 m corrisponde un rapporto fra le pressioni pari a:

58 

9 , 80665 1

, 226

p − 

10

= =

1 ,

101303

e 0

,

99881

p 2

pari anche al rapporto fra le densità corrispondenti, mentre al dislivello di 50 m corrisponderebbe un

rapporto delle pressioni pari a 0,994. Pertanto, ogniqualvolta si abbia a che fare con volumi di

aeriformi non troppo estesi in verticale, la pressione risulta distribuita in modo pressoché uniforme

all'interno del volume, in conseguenza della densità relativamente ridotta. All'atto pratico, tale

osservazione porta ad assumere senz'altro uniforme la pressione e, coerentemente, nulla la densità

dell'aeriforme. A queste condizioni ci riferiremo esclusivamente nel prosieguo, ferme restando le

considerazioni esposte sulle possibilità di utilizzo più generale della (86).

Importanti condizioni riguardanti il campo delle forze di massa e il fluido possono essere ricavate

dall'equazione indefinita dell'Idrostatica (84). Nel caso di un fluido incomprimibile, isotermo e

omogeneo, la cui densità risulti una costante, la forza di massa si può esprimere come:

  

p

 

=  .

f  



m  

Essendo le forze di masse date da un gradiente, per le proprietà esposte al §1.3.5 esse devono

costituire un campo conservativo. Tale condizione è quindi necessaria per l'equilibrio idrostatico di

fluidi a densità costante. Nel caso di un fluido qualunque (eventualmente anche comprimibile) in

equilibrio idrostatico in un campo di forze di massa conservativo dotato di potenziale U, tale che:

 = 

f U ,

m

l'equazione indefinita dell'Idrostatica si scrive:



 = 

U p . (88)

Essendo il gradiente di uno scalare un vettore, dalla proporzionalità dei gradienti del potenziale e

della pressione consegue il parallelismo degli stessi gradienti. Poiché inoltre il gradiente di una

funzione scalare del posto è un vettore punto per punto ortogonale alle superfici sulle quali la

funzione è costante, dal parallelismo dei due gradienti discende la coincidenza delle superfici sulle

quali è costante il potenziale (superfici equipotenziali) e la pressione (superfici isobariche). Tale

circostanza comporta anche l'esistenza di un legame funzionale fra potenziale U e pressione p:



=

p (U ) .

Moltiplicando scalarmente la (88) per un vettore spostamento elementare avente direzione

qualunque, si ottiene la relazione fra i corrispondenti differenziali:

 =

d U d p ,

dalla quale, in forza del legame funzionale fra potenziale e pressione, discende un analogo legame

funzionale con la densità, essendo: d p

    

= = = =

( p ) ( (

U )) (

U ) .

d U

Un tale tipo di fluido è detto barotropico. In un fluido barotropico risultano pertanto coincidenti le

superfici isobariche, equipotenziali e le superfici ove è costante la densità, dette isocore o

isopicnotiche.

Nel §2.4 è stata richiamata la seguente forma dell'equazione di stato, esprimente il legame fra

densità e variabili termodinamiche (o di stato): ( )

 

= p, T 59

ed è stato altresì osservato che il legame funzionale può includere, in generale, ulteriori variabili di

–

stato per esempio la salinità. In forza dell'equazione di stato, in un fluido barotropico anche le

superfici sulle quali è costante la temperatura (isoterme) e, se del caso, la salinità (isoaline) devono

quindi risultare coincidenti con le superfici isobariche, equipotenziali e isopicnotiche. Un fluido non

21

barotropico si dice baroclinico .

3.4 Equazione globale dell'idrostatica.

Si consideri un qualunque volume finito V individuato all'interno di una massa fluida in quiete, detto

c

volume di controllo, sia esso interamente immerso nel fluido circostante, ovvero a contatto con una

parete, come rappresentato in due esempi in Figura 24, o anche con altri fluidi. Essendo tale volume

fluido in condizioni di equilibrio statico, devono valere per esso le equazioni cardinali della statica

(47) e (48):  

N



= =

R F 0 , (47)

e e

k

=

k 1 

  

N N

 

 

= =  =

r F 0 . (48)

e e k e

k k

= =

k 1 k 1

 



R

in cui e sono rispettivamente il risultante delle forze esterne e il momento risultante rispetto

e

e

a un qualunque punto dello spazio delle forze esterne applicate alla massa fluida contenuta nel

volume di controllo.

Le forze esterne agenti sul volume di controllo possono suddividersi in forze di massa (o di

22

volume) di risultante : 

  

=

G f d V

m

V

e forze di superficie, esercitate dalle masse esterne alla superficie di contorno, siano esse fluide o

solide (pareti), di risultante:  



 = − p

n d S . (83)

S c

Nel caso le forze di massa siano costituite dalle sole forze peso, il vettore:

S c

  S

 

c

V c

dS V c dS

dS



Schemi per la derivazione dell’equazione globale dell’idrostatica.

Figura 24.

21 La non coincidenza delle superfici isobariche, equipotenziali, isopicnotiche, isoterme ed isoaline su grandi

estensioni di mare, determinando la natura baroclinica degli oceani, non consente il verificarsi della condizione

di equilibrio idrostatico ed è pertanto la causa della circolazione oceanica.

22 Da declinare al femminile, perché singolo vettore equivalente alla distribuzione continua di forze peso

elementari se applicato nel baricentro del volume fluido.

60   

 

= −  = −  = − 

G g z d V g z d V gm z (73)

V V

rappresenta evidentemente il peso del volume di controllo di massa m.

La prima equazione cardinale della statica si scrive perciò:

 



+ = , (89)

G 0

equazione globale dell’idrostatica.

denominata In generale, in Idraulica si dicono globali equazioni

in forma di integrali estesi a volumi di controllo.

Essendo il sistema di forze esterne esercitato sul volume di controllo costituito dalle sole due

forze menzionate, uguali in modulo, parallele e discordi per effetto della (89), la seconda equazione

cardinale richiede che esse risultino agenti sulla medesima retta d’azione 23 . Nel caso in cui le forze

di massa siano costituite dalle sole forze peso, si concluderebbe che le forze di superficie



 , verticale, rivolto verso l’alto e di

costituiscono un sistema equivalente al vettore risultante

modulo pari al peso del volume fluido, applicato nel barice