Geometria e Algebra lineare

APPUNTI: GEOMETRIA ED ALGEBRA LINEARE

SISTEMI LINEARI ED ELIMINAZIONE GAUSSIANA

INTRODUZIONE AL CONCETTO DI SISTEMA E SOLUZIONE DI UN SISTEMA

​ ​

DEFINIZIONE: Consideriamo un sistema avente -equazioni ed avente -variabili nella siffatta forma descritta:

Possiamo notare che, nel nostro sistema, sono verificate le seguenti condizioni espresse per punti qui sotto, ossia

​

I numeri sono detti coefficienti del sistema

​

I numeri sono detti le costanti del sistema ​ ​

Questo sistema prenderà il nome di sistema omogeneo se e solo se . Definiremo una soluzione del sistema una -upla di

​

numeri detti tale che tutte le equazioni sono verificate. Per tanto, diremo che il sistema è detto compatibile se esiste una soluzione vice versa

se non ammette soluzione allora il sistema è detto incompatibile.

​ ​ ​

DEFINIZIONE: Siano dati due sistemi detti aventi rispettive -equazioni in -variabili, allora diremo che i due sistemi sono equivalenti se e solo

se hanno le stesse ed identiche soluzioni dei rispettivi sistemi associati.

INTRODUZIONE AL CONCETTO DI SISTEMA PARAMETRICO

​ ​ ​

DEFINIZIONE: Una soluzione parametrica di un dato sistema avente -variabili non è nient’altro che un sistema equivalente al sistema sistema di

​

partenza nella siffatta forma espressa qui sotto, ovvero:

Possiamo notare che, nel nostro sistema, sono verificate le seguenti condizioni espresse per punti qui sotto, ossia

​

Le variabili espresse come prendono il nome di variabili vincolate del sistema in questione

​ ​

Le variabili espresse come con prendono il nome di variabili libere del sistema in questione

​

Definiamo il rango del sistema in questione (espresso secondo al notazione ossia del sistema), come il numero di variabili vincolate del

sistema in questione ​ ​ ​ ​

Definiamo la soluzione parametrica del sistema se e solo se scelti dei valori per cui con allora essa è descritta come

DEFINIZIONE: Il termine di testa di un’equazione lineare è il termine relativo alla variabile di indice più basso che appare come coefficiente diverso da

zero. ​ ​

DEFINIZIONE: Un sistema lineare si definisce sistema a scala (o anche row echelon) se e solo se per definizione per ogni riga se è il termine di testa

​ ​ ​

allora sulle righe successive il termine di testa è detto con e le variabili di testa delle righe del sistema lineare sono detti pivot. I sistemi a scala

possono essere risolti in modo automatico per sostituzione. Le variabili vincolate sono i pivot; risolvo con il metodo di sostituzione partendo dal basso verso

l’alto. ​

OSSERVAZIONE: Sia il mio sistema lineare un sistema lineare a scala, esso è incompatibile se e solo se per definizione presenta come soluzioni, delle

soluzioni assurde. ​ ​

OBBIETTIVO: Dato un sistema lineare , trovare un sistema lineare tale che il sistema lineare diventi un sistema lineare a scala. Come possiamo

​

modificare un sistema senza cambiare le soluzioni?

OPERAZIONI / MOSSE OVVIE:

Scambiare due righe in modo tale che il sistema diventi a scala

​

Moltiplicare riga per riga per un qualsiasi numero detto

Sostituzione dei valori all’interno del sistema

OPERAZIONI / MOSSE MENO OVVIE:

Aggiungere una riga per un multiplo di un’altra riga. Perché funziona correttamente?

​ ​ ​ ​

sistema in cui abbiamo sommato - volte la -esima riga alla -esima

​ ​ ​

OSSERVAZIONE: ossia basta far vedere che le soluzioni del sistema sono anche loro delle soluzioni di .

​ ​

Consideriamo che sono delle soluzioni appartenenti al sistema . Ricordiamo che il sistema è definito secondo la forma

​ per cui possiamo concludere che vale la seguente affermazione qui sotto esplicitata, ossia che:

​ ​ ​

diciamo che soddisfa tutte le equazioni del sistema, tranne al più la -esima equazione del sistema lineare, sostituiamo tutti gli

nell’equazione per cui abbiamo la seguente dimostrazione: ​ ​

Alla fine di questa dimostrazione confermiamo che è definitivamente una soluzione del sistema .

NOTAZIONI ESSENZIALI:

​ ​ ​

Il sistema lineare avente come righe scambiate

​ ​ ​ ​

Il sistema lineare avente come riga moltiplicata per un numero allora è lineare

TEOREMA DELL’ELIMINAZIONE GAUSSIANA PER SISTEMI LINEARI

​

Il seguente procedimento riduce tutti i sistemi lineari a scala, esso è il seguente procedimento algoritmico ​

1. Troviamo la variabile con indice minimo che appare nel sistema, diciamo che sia una qualsiasi essa sarà il termine di testa di una riga.

Scambio questa riga (potrebbero esserci diverse scelte) con la prima

2. Il termine di testa della nuova prima riga un pivot del sistema a scala. Sottraendo multipli della prima riga alle altre eliminiamo tutti gli altri termini

​

aventi tutti

3. Se il sistema ottenuto è a scala, abbiamo finito. Altrimenti ripeto il procedimento dopo aver rimosso la prima riga del sistema.

4. Il sistema ottenuto ri-aggiungendo in ordine le righe che le rimangono è equivalente al sistema originario ed è anche a scala.

SISTEMA OMOGENEO ASSOCIATO ​

Ricordiamo che per definizione di sistema lineare si ha che per cui esso si definisce sistema omogeneo se

​

e solo se per cui diremo che il sistema omogeneo associato al sistema lineare è dato dalla seguente scrittura qui sotto siffatta, ossia

che: ​ ​

come mai i due sistemi, quello lineare e quello omogeneo associato sono direttamente collegati? Sono collegati nel seguente modo che andiamo a

dimostrare. ​ ​

Siano delle soluzioni del sistema lineare

​ ​

Siano delle altre soluzioni del sistema lineare

​ ​

Allora possiamo asserire che sono delle soluzioni del sistema omogeneo questo perché vediamo nella seguente

dimostrazione qui sotto esplicata: ​ ​

per cui possiamo asserire con certezza che la coppia sono delle soluzioni del sistema omogeneo

​ ​

Possiamo dire con certezza che sono delle soluzioni del sistema lineare vediamolo nella seguente dimostrazione qui sotto

esplicata: ​ ​ ​ ​

Quindi, se fissassimo una soluzione di allora ogni soluzione in forma con soluzioni del sistema

​

omogeneo associato ​

DIMOSTRAZIONE: Sia un’altra soluzione allora possiamo dire verificata la seguente condizione:

​

Ma in concreto come sono fatte le soluzioni del sistema sistema omogeneo associato ? Sono eseguite nel seguente modo qui sotto esplicato

​ ​

Ricordando che la soluzione di un sistema lineare generico è data da sapendo che vale la condizione che .

​

Siamo alla ricerca di due soluzioni, una particolare ed una generale che risolvano il nostro sistema omogeneo associato

​ ​

La soluzione particolare si ha imponendo tutti gli per cui si ha e quindi in sintesi diremo che una soluzione

​

particolare è data dalla forma ​ ​

La soluzione generale si ha invece nella forma per cui tolti tutti i e quindi in sintesi diremo che una soluzione generale è

​

data dalla forma per cui:

SCRITTURA SECONDO LA NOTAZIONE VETTORIALE

​ ​

Sia allora la notazione vettoriale sarà e sono valide le seguenti proprietà caratteristiche, ossia

che ​

somma: ​ ​

prodotto per costanti: allora ​

proprietà associativa per la somma: ​

proprietà commutativa per la somma: ​ ​

esistenza dello zero rispetto la somma: per cui ​

esistenza dell’elemento inverso rispetto la somma: ​

proprietà distributiva per il prodotto: ​

proprietà di composizione rispetto al prodotto:

​ ​ ​

Se il sistema lineare è un sistema avente -equazioni in -variabili allora possiamo scrivere questa cosa, ossia:

​

Per quanto riguarda le soluzioni di un sistema lineare possiamo vedere che sono valide le seguenti equivalenze:

SCRITTURA SECONDO LA NOTAZIONE MATRICIALE

​ ​ ​

Si definisce una matrice una funzione tale che associa le coppie in altre parole è una collezione avente

​ ​ ​ ​

elementi di detti descritti da un indice di riga e da un indice di colonna e formalmente si scrive nel seguente modo

qui sotto esplicato, ossia: ​ ​ ​

Denotiamo con la seguente scrittura la -esima riga della matrice associata

​ ​ ​

Denotiamo con la seguente scrittura la -esima colonna della matrice associata

​

Con questa nuova conoscenza possiamo adesso riassumere i dati di un sistema lineare nel seguente modo:

Possiamo allora applicare la riduzione a scala sulla matrice completa ossia la matrice risultante dall’unione della matrice dei coefficienti unita alla matrice

dei termini noti per poi, infine, tornare di nuovo al nostro sistema lineare di partenza. ​

DEFINIZIONE: Una matrice prende il nome di matrice a scala se e solo se, presa una qualsivoglia riga avente primo coefficiente diverso da zero, allora

​ ​

per ogni riga successiva il primo coefficiente sarà diverso da zero ed avrà indice di colonna strettamente maggiore di

SPAZI VETTORIALI E SOTTO-SPAZI VETTORIALI

STUDIO DEGLI SPAZI VETTORIALI ​ ​ ​

DEFINIZIONE: Definiremo uno spazio vettoriale una struttura algebrica costituita da un campo i cui elementi sono detti scalari. Da un

​ ​ ​

insieme i cui elementi sono detti vettori. Da una operazione binaria interna su detta somma di vettori, espressa secondo la legge e

​ ​

da una operazione binaria esterna su detta prodotto di uno scalare per un vettore, espressa secondo la legge

Data la definizione formale di spazio vettoriale diremo che sono soddisfatte le seguenti proprietà qui sotto siffatte

​ ​ ​

In particolare, con la somma è un gruppo abeliano. Inoltre, se al posto di sostituissimo ovunque un altro campo abbiamo la definizione di spazio

​

vettoriale sul campo . Gli elementi di uno spazio sono dei vettori e l’elemento neutro per la somma, zero, si chiama vettore nullo.

STUDIO DEGLI SOTTO-VETTORIALI

​ ​ ​

DEFINIZIONE: Sia uno spazio vettoriale definito dalla struttura algebrica allora definiremo un sotto spazio vettoriale detto come un

​ ​ ​

sottoinsieme non vuoto di espresso nella forma . Diremo che è linearmente chiuso o meglio che esso è chiuso rispetto alla somma e al

​ ​

prodotto per scalari, se e solo se per e per allora sono verificate queste tre condizioni necessarie per la condizione di sottospazio

vettoriale, ossia:

PRESENTAZIONE CARTESIANA DI UN SOTTO-SPAZIO VETTORIALE ​

Sia dato un sistema omogeneo associato definito allora possiamo dire che

​ ​ ​

o meglio, sono definite delle soluzioni del sistema lineare geometrico per tanto possiamo dire che è sottospazio vettoriale di .

DIMOSTRAZIONE (chiuso rispetto la somma) ​

Siano date due soluzioni ossia allora possiamo dimostrare la chiusura rispetto alla somma mediante questo

procedimento:

DIMOSTRAZIONE (chiuso rispetto il prodotto)

​

Sia dato un allora possiamo dire che

DIMOSTRAZIONE (appatenenza dello zero)

L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare non omogeneo non è allora un sotto-spazio vettoriale, in quanto non contiene il vettore nullo.

La presentazione cartesiana funziona solo in coordinate (per il momento), come possiamo fornire una soluzione più generale?

COMBINAZIONI LINEARI, SISTEMI DI GENERATORI, BASI DI UNO SPAZIO

​ ​ ​ ​

DEFINIZIONE: Sia uno spazio vettoriale, definiremo la combinazione lineare di vettori definiti come con ed aventi dei coefficienti

​ ​

(detti anche pesi) definiti come per cui potremmo dire che il vettore è definito combinazione lineare se

​ ​

DEFINIZIONE: Definiamo il sottospazio generato o meglio noto come lo span generato dai seguenti vettori con è l’insieme di tutte le

possibili combinazioni lineari dei vettori rappresentati. ​

Un altro modo per enunciare questo concetto è considerando un insieme non vuoto tale che questo insieme è composto proprio dai nostri vettori

​ ​ ​

per cui il sottospazio generato proprio da è

​ ​

Sapendo dunque che con l’insieme allora esso prenderà il nome di presentazione parametrica dello spazio vettoriale

​ ​

e l’insieme è detto spazio di generatori

INDIPENDENZA LINERA E DIPENDENZA LINEARE

​ ​

DEFINIZIONE: Un insieme di vettori definito come con si dirà linearmente dipendente se e solo se per definizione esistono

​ ​

non tutti nulli tale che .

​ ​

DEFINIZIONE: Un insieme di vettori definito come con si dirà linearmente indipendente se e solo se dall’eguaglianza

​ ​

implica che .

BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE ​ ​

DEFINIZIONE: Sia dato il mio spazio vettoriale definito allora un insieme nella forma di vettori appartententi allo spazio vettoriale nella

​

forma prende nome di base dello spazio vettoriale se e solo se sono verificate queste due condizioni:

​ ​

Sia ossia che i vettori sono un sistema di generatori di

​

i vettori sono linearmente indipendenti ​

Un caso particolare di base è la cosiddetta base canoninca in cui i vettori sono nella forma

OSSERVAZIONE ​ ​ ​

Se i vettori sono in un -spazio vettoriale, allora se sono valide le seguenti tre affermazioni, ossia che:

​

1. Se ho che ​ ​

2. Se ho che allora

​ ​

3. Se ho che allora

DIMOSTRAZIONE (1) ​ ​ ​

Sappiamo che detto che voglio far vedere al letto che anche con ma

allora devo procedere nel seguente mod qui sotto indicato, ossia: ​

Per cui possiamo dire che possiamo mostrare anche la controparte ossia mostriamo che vale il vice-

​

versa, indicato col simbolo nel seguente modo siffatto

PROPOSIZIONE ​ ​

1. Se allora essa è una base dello spazio vettoriale

​

2. Se è un insieme linearmente indipendente massimale

DIMOSTRAZIONE (1 implica 2)

​ ​ ​ ​

Se ho una base allora so che per definizione lo ma questo implica che se allora l’insieme è per definizione linearmente

​ ​ ​

dipendente, infatti diremo che tale che allora questa è una

relazione di dipendenza.

DIMOSTRAZIONE (2 implica 1)

​ ​

Sappiamo che la base è detta massimale se e solo se (per definizione) è linearmente dipendente. Allora diremo che

​ ​ ​

tale che per tutti gli (altrimenti sarebbe relazione di dipendenza), divido ed ho che:

​ ​

DEFINIZIONE: Diremo che lo spazio vettoriale è di dimensione finita se esiste una base . Da adesso in poi ogni spazio vettoriale sarà

di dimensione finita a meno che non diciamo altrimenti

PROPOSIZIONE ​ ​ ​ ​ ​

Sia definita una base dello spazio vettoriale e allora anche per

DIMOSTRAZIONE ​ ​ ​

Sappiamo che se allora per cui perché

​

sappiamo che sono linearmente indipendenti

​ ​ ​ ​

DEFINIZIONE: Se ho che e d ho una base ed infine ho che allora diremo che sono delle

​ ​ ​ ​ ​

coordinate dello spazio vettoriale rispetto alla base e quindi indicheremo con il vettore delle coordinate di rispetto alla base

TEOREMA ​ ​

Se è una base dello spazio vettoriale allora sono sempre verifcate queste tre condizioni qui sotto espresse:

​ ​

1. Ogni insieme avente elementi dello spazio vettoriale è linerarmente dipendente

​

2. Ogni insieme avente - elementi linearmente indipendenti è a sua volta una base

​

3. Ogni base ha sempre - elementi al suo interno

DIMOSTRAZIONE ​

Lavorando per sostituzione otteniamo la seguente dimostrazione. Partiamo col dire che è per definizione linerarmente indipendente per cui

​ ​ ​

Almeno uno fra gli è sicuramente diverso da zero per cui a meno di permutare diciamo che sia il primo elemento allora la dimostrazione

è la seguente: ​ ​

Sia per l’osservazione, in oltre è linerarmente indipendente altrimenti

​ ​

Questa è una relazione di dipendenza fra gli ma questo genera un assurdo per cui la base che abbiamo è base.

​ ​

Sostituiamo -elementi per cui è in definitiva una base. Se

​ ​ ​ ​ ​

almeno uno dei coefficienti con sarò diverso da zero altrimenti sarebbe dipendente da contro le ipotesi del

​ ​

teorema. Possiamo assumere che sia e come prima otteniamo una base tale che li possiamo sostituire

tutti, per tanto: ​ ​

Se allora semplicemente ed è una base

​ ​

Se questo porta ad un assurdo perché è già una base ed in oltre sarà linearmente dipendente

​ ​ ​

Se è una base ed abbiamo porta ad un assurdo perché già è una base

​ ​

DEFINIZIONE: Sia uno spazio vettoriale avente dimensione finita. La dimensione dello spazio vettoriale, scritta come è il numero di elementi di

una qualsiasi base appartenente allo spazio vettoriale preso in questione

TEOREMA DELL’ESISTENZA DELLE BASI ​ ​ ​

Consideriamo le seguenti condizioni. Sia dato uno spazio vettoriale definito come sia dato un campo sappiamo che lo spazio vettoriale e che

​ ​

tale che lo . ​

Allora diremo che esiste una base ed in particolar modo diremo che ogni spazio vettoriale possiede una base. Oltre a questo abbiamo che:

​ ​

Se è un insieme finito allora lo spazio vettoriale ha dimensione finita

​ ​

Se è un insieme di vettori linearmente indipendente, allora esiste una base

DIMOSTRAZIONE ​ ​ ​

Consideriamo il caso particolare, restringendoci al solo caso in cui l’insieme sia finito e che . Dato per ipotesi che esiste

​ ​

e questo non è altro che il primo elemento della base

​ ​ ​

Se tutti i sono linearmente dipendenti da allora implica che e quindi abbiamo sostanzialmente finito questa parte di dimostrazione.

​ ​ ​

Altrimenti sia dato tale che siano indipendenti. Proseguendo così arriviamo ad un insieme del seguente tipo ta