Formulario Fisica 1

Formulario fisica 1 — modelli meccanici da esame

Formule operative • casi limite • condizioni di validità • errori tipici

1. Misure, incertezze, cifre significative

4. Prodotto scalare Velocità

Velocità media vettoriale:

Misura di una grandezza Definizione ±x x δ;x= ⃗ ⃗·0 A B AB ϑ;= cos r∇⃗⃗vm =x δ;x= miglior stima, = incertezza ∇t

In componenti: 0 Velocità scalare media: N

Media di misure ⃗ ⃗·A B Ax Bx Ay By Az Bz= + +N ∇sX vm =1 Angolo tra vettori x̄ xi= ∇tN ⃗ ⃗·A B Velocità istantanea: i=1 ϑ;cos = ⃗v ⃗rt=AB

Incertezza casuale sulla media Componenti: Casi utili rPN ◂x̄)2 ⃗ ⃗ vx xt, vy yt, vz zt= = =⇒ ·− ϑ; < A B >90 0(xii=1∇x = ◂ ⃗ ⃗⇒ · Modulo: ϑ; A B= 90 = 0−N (N 1) p 2 2 2◂ |⃗ |v v v v v= = + +⃗ ⃗ x y z⇒ ·ϑ; > A B <90 0

Risultato: ±x x̄= ∇x Accelerazione

Versori Accelerazione media:

· · ·Cifre significative = = = 1 v∇⃗δ;x si arrotonda a 1 cifra significativa ⃗am =· · ·= = = 0 ∇tx δ;xsi scrive fino alla stessa cifra decimale di0

Accelerazione istantanea:

Vettore con sé stesso

Esempio: 2⃗ ⃗·A A A= ⃗a ⃗v t rt= = [2]⃗x δ;x= 3.500, = 0.001 p ≤ ≤x3.499 3.501 ⃗ ⃗·A A A= ax vx t= = [2]xt

2. Vettori

ay vy t= = [2]yt

Proiezione

Definizioni ⃗ ⃗ az vz t= = [2]ztA B:

Componente scalare di lungo

Un vettore è determinato da: Modulo: p⃗ ⃗·A B 2 2 2modulo, direzione, verso |⃗ |a a a a a= = + +x y zA A ϑ;= cos =∧B B

Due vettori sono uguali se: Elemento di arco

Proiezione vettoriale: In 2D: p⃗ ⃗| |A| B|,= stessa direzione, stesso verso 2 2dx dyds +=⃗ ⃗·A B⃗ ⃗A Bproj =⃗BOpposto: 2 In 3D:B⃗ p− A 2 2 2ds dx dy dz= + +

Uso: lavoro, componenti, angoli, ortogonalità.

5. Prodotto vettoriale

Ha stesso modulo, stessa direzione, verso opposto. Velocità scalare: Definizione

⃗ ⃗ ⃗R A B= + Legge lungo traiettoria:⃗ ⃗ ⃗×R A B=⃗ ⃗ ⃗ ⃗−A B A B)= + (− tZ

Modulo: s(t) s v(τ;= + ) dτ;

Moltiplicazione per scalare R AB ϑ;= sin 0⃗λ; A t⃗ ⃗ 0A, B.

Direzione: perpendicolare al piano di Verso: regola della mano destra.

⃗ ⃗|λ; |λ;| |A| A|= Forme integrali generali

Determinante tZ⇒λ; > 0 stesso verso ⃗ ⃗ ⃗v ⃗v ⃗a(t) = + (τ; ) dτ;× Ax Ay AzA B = 0⇒λ; < 0 verso opposto Bx By Bz t 0

3. Componenti cartesiane

⃗ ⃗ t−Az −Az −AyA× B Bz By Bz Bx By Bx= (Ay )−(Ax )+(Ax ) Z

Forma cartesiana ⃗r ⃗r ⃗v(t) = + (τ; ) dτ;

In 2D: 0

Casi utili ⃗A Ax A= + y t⃗ ⃗ 0⇒ | ×ϑ; π A B|= 0, = 0

In 3D: Traiettoria ◂⃗A Ax Ay Az= + + ⃗ ⃗⇒ | ×ϑ; A B| AB= 90 = t

Si ottiene eliminando dalle equazioni parametriche.

Nel piano: Versori: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗× −( ×A B B A)= dy/dt vy|| || ||= = = 1 yx = =Versori dx/dt vx

Componenti da modulo e angolo × × ×=, =, =ϑ; x

Se è misurato dal semiasse positivo: Conversioni 1 m/s = 3.6 km/h × −, × −, × −= = =Ax A ϑ;= cos 1

Uso: momento di una forza, momento angolare, rotazioni, 1 km/h = m/s Coriolis. 3.6

9. Moto rettilineo uniforme

6. Prodotto misto e doppio prodotto ϑ; y:

Se è misurato dall’asse Condizione:

Prodotto misto a v= 0, = cost.

⃗ ⃗ ⃗× ·A B) C(Ax A ϑ;= sin Legge oraria: −Ax Ay Az x(t) x v(t t= + )0 0Ay A ϑ;= cos ⃗ ⃗ ⃗× · Bx By BzA B) C( = t

Se = 0: 0Cx Cy Cz x(t) x vt= +

Modulo 0

Se: p Inverse: 2 2 ⃗ ⃗ ⃗A AA += −x x× ·A B) C( = 0 0x y v = −t t 0

Allora i tre vettori sono complanari. p 2 2 2A A A A= + + −x xDoppio prodotto vettorialex y z 0−t t =0⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ v× × · − ·A B C) B(A C) C(A B)( =

Formule inverse −x x vt=0⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗× × − × ×Ay A B) C C A B)( = ( v(t):

Area sotto ϑ;tan = Ax

7. Derivata di un vettore

tZ

Versori fissi Ay −v v(t t∇x = dt = )

Se: 0ϑ; = arctan ⃗Ax A(t) Ax Ay Az= (t) + (t) + (t) t 0allora: Attenzione al quadrante.

10. Moto rettilineo uniformemente accelerato

At Ax t Ay t Az t= + +

Somma e differenza per componenti Condizione:

⃗ ⃗A B Bx By Bz+ = (Ax + ) + (Ay + ) + (Az + ) a = cost. ⃗At t t t[2] = [2]Ax + [2]Ay + [2]Az Velocità: ⃗ ⃗− − − −A B Bx By Bz= (Ax ) + (Ay ) + (Az ) −v(t) v a(t t= + )0 0

Versori mobili t

Se = 0: Risultante nel piano Se i versori ruotano: 0 v(t) v at= +×êt ω;⃗ ê= 0p 2 2R R R= +x y

Legge oraria:

Formula di Poisson: ′ ′×t ω;⃗= 1Ry 2− −x(t) x v t a(t t= + (t ) + )ϑ;Rtan = 0 0 0 0′ ′× 2t ω;⃗=Rx

′ ′ t

Se = 0: 0×Modulo somma e differenza t ω;⃗= 1 2⃗ ⃗ x(t) x v t at= + +ϑ; A B:

Se è l’angolo tra e 0 08. Cinematica generale 2

Posizione, spostamento

Formula senza tempo: p 2 2⃗ ⃗ ⃗r x(t) y(t) z(t)(t) = + +| A B| A B ϑ;+ = + + 2AB cos 2 2 −v v x= + 2a(x )00−r ⃗r ⃗r∇⃗ = (t ) (t )2 1p 2 22 2⃗ ⃗ −| − − −t tA B| A B ϑ; v v∇t == + 2AB cos = 2a∇x2 1 0

Formule inverse Velocità e accelerazione

13. Cinematica curvilinea − vx v ϑ;(t) = cosv v

Versori intrinseci

00a = ⃗v v t̂=−t t −vy v ϑ; gt(t) = sin0 0 ⃗v−v v −gax ay= 0, =0 t̂ =−t t =0 va p 2 2 Accelerazione: v vv(t) +=2 2 x y−v v t̂ an n̂⃗a at +=0−x x =0

Angolo della velocità: 2a at vt=2 2− 2v v vy v0 ψ;tan =a = an =vx− x2(x ) ρ;0− − 2x v t)2(x 0 0 v

Traiettoria a = ⃗a vtt̂ n̂= +2t

Da: ρ;−x x 0p t = Modulo:2± −v v x= + 2a(x )0 v ϑ;cos p0 0 2 2a a a= + nt

Si ottiene: Velocità media: v v+0

Raggio di curvatura: vm = g 2 2v− − −2 y(x) y x ϑ; x= + (x ) tan (x )0 0 02 cos2 ρ; =ϑ;2v 0v v+ an0− −x x t= (t )0 02

Raggio di curvatura nel moto piano

Apice ẋ2 2 )3/2Forma vettoriale vy = 0 ÿ( +ρ; =⃗v ⃗v ⃗at(t) = +0 | −ẋ ÿ ẏ ẍ|v ϑ;sin0tV =1 2 g

In forma vettoriale: ⃗r ⃗r ⃗v t ⃗at(t) = + +0 0 3v2 2 ρ; =v sin 2ϑ;0 |⃗ × |v ⃗a

Frenata

xV x= +0 2ga >

Se 0 è il modulo della decelerazione: 0 Uso:2 sin2 ⇒at ⃗vcambia il modulo div ϑ;0−v(t) v a t= 0 0 yV y= +0 ⇒an ⃗vcambia la direzione di2g1 2

14. Moto circolare

− v(tV v ϑ;) = cosx(t) x v t a t= + 00 0 02

Coordinate angolari

Partenza e arrivo alla stessa quota v s Rϑ;=0tstop = ϑ;2v sin0 sa T =0 ϑ; =g R2v0 s2 sin2sstop = v ϑ; R =02a hmax =0 ϑ;2ga <Se usi 0: ω; ϑ;t=v 0 2v sin 2ϑ;−tstop = 0 α; ω;t= = [2]ϑ;tR =a g

Relazioni lineari-angolari2v ◂0 v ω;R=⇐⇒− Rmax ϑ; = 45sstop = 2a at α;R=

11. Caduta libera e lanci verticali

2◂ vy

Asse verso l’alto: 2⇒ϑ; ϑ;+ = 90 stessa gittata1 2 an ω; R= =−gay = R

Lancio orizzontale Inverse:2≁g 9.81 m/s vv v , v= = 00x 0 0y ω; = R

Caduta da fermo x x v t= +0 0 at−gtvy (t) = α; =1 2 R−y y gt=1 02−y(t) y gt= 20 p2 v an R=q 2h−h y y:

Se = 0 t =1

Forma vettoriale2 gh gt= ×⃗v ω;⃗ ⃗r=2 q 2h × × ×⃗a α;⃗ ⃗r ω;⃗ ω; ⃗r= + (⃗ )q R v=2h 0 gt =

Parametrizzazioneg x(t) xC R ϑ;(t)= + cosp 2vf v= + 2ghp 0 y(t) yC R ϑ;(t)= + sin|v| gt= = 2gh p

Moto circolare uniforme

2ghLancio verticale verso l’alto ω; α;= cost., = 0ψ;ftan =−v(t) v gt= 0 v0 at = 01 2−y(t) y v t gt= +

Tempo per arrivare a quota assegnata 20 0 v2 21 an ω; R= =2−yf y v ϑ; t gt= + sin R0 02 2 − −v v y= 2g(y ) 200 ϑ;(t) ϑ; ω;t= +01

Apice: 2 − −gt v ϑ; t ysin + (yf ) = 0 2π;0 0v = 0 2 T =v ω;0tapice = p 2 sin2± − −v ϑ; v ϑ; ysin 2g(yf ) 1g 0 00 f =t = T2 gv 0hmax = ω; = 2π;f2g , y

Velocità necessaria per colpire (x )0 0 2π;R

Con origine nel punto di lancio: v = = 2π;Rf2v 0 Tymax y= +0 x v ϑ; t= cos2g 20 0 R4π; 2 2an Rf= = 4π;

Tempo totale se torna alla quota iniziale: 2T1 2−y v ϑ; t gt= sin0 0 22v

Moto circolare uniformemente accelerato

0T = α; = cost.rg 2gx ω;(t) ω; α;t= +0 0v =0

Velocità finale se torna alla quota iniziale: cos2 −ϑ;(x ϑ; y2 tan )0 0 1 2ϑ;(t) ϑ; ω; t α;t= + +0 0−vvf = 20

Condizione: x ϑ; > ytan 2 20 0 − −ω; ω; ϑ;= 2α;(ϑ; )00

Lancio verticale verso il basso

Angolo per colpire un puntov

Se il modulo iniziale verso il basso è : 15. Moti periodici0

Posto: T = periodo− −X x x , Y y y= =0 0−(vv(t) gt)= +0 12 f =gX1 −Y X ϑ;= tan T2 2− − cos2y(t) y v t gt= ϑ;2v0 0 0 2π;2 ω; = 2π;f =2 2 p T2− 4 2v v y) 2= + 2g(y ± −0 v v g(gX v+ 2Y )0 0 0 0

Inverse: ϑ;tan = 1 2π;

12. Moto parabolico

gX T = =

Componenti iniziali f ω;

Parabola di sicurezzav v ϑ;= cos ω;0x 0 2 )2 f =v −g(x x 00v v ϑ;= sin 2π;0y 0 −y y= +0 22g 2v 0

16. Corpo rigido: cinematica essenziale

Leggi orarie Pura traslazionex y

Se = = 0:x(t) x v ϑ; t= + cos 0 00 0 2 2 ⃗vA ⃗vB=v gx01 −y =2−y(t) y v ϑ; t gt= + sin 2 ⃗aA ⃗aB=0 0 2g 2v2 0

Pura rotazione attorno ad asse fisso

19. Dinamica del punto materiale

Traiettoria curvaω; = uguale per tutti i punti In generale:

Principi 2X vII principio:α = uguale per tutti i punti Fn m=X R⃗F m⃗a=v ω;r= Quindi spesso:at α;r= ̸N mg=

Componenti:2an ω; r= X

24. Piano inclinato

Fx max=

Rapporti: GeometriavA rA= h L α;= sinXvB rB Fy may= L α;base = cosat,A rA=

Peso:at,B rB X P mg α;= sin∧Fz maz=an,A rA= P mg α;= cos⊥an,B rB

I principio: Senza attritoX17. Moti relativi ⃗ ⇒F ⃗a= 0 = 0 mg α; masin =

Puro trascinamento traslatorio a g α;= sinsa sr st∇⃗ = ∇⃗ + ∇⃗ quindi quiete o moto rettilineo uniforme.

⃗va ⃗vr ⃗vt= + N mg α;= cos

III principio: ⃗ ⃗−F FBA=AB

⃗aa ⃗ar ⃗at= + L:

Da fermo lungo lunghezza

Unità di misura

Se il riferimento mobile trasla con velocità costante: 1−2 2M LT[F ] = atL =⃗at = 0 221 N = 1 kg m/s⃗aa ⃗ar= q 2L

20. Quantità di moto e impulso

t =Sistema mobile rotante g α;sin

Quantità di moto×⃗va ⃗vt ω;⃗ ⃗r ⃗vr= + + p⃗ m⃗v= pp

Se le origini coincidono: α;vf 2gL sin = 2gh=

Modulo:×⃗va ⃗vr ω;⃗ ⃗r= + p mv=

Attrito statico, corpo fermo

Dimensioni:Accelerazione assoluta: fs mg α;= sin−1M LT[p] =˙ ≤fs μ;s mg α;cos× × × ×⃗aa ⃗at ω;⃗ ⃗r ω;⃗ ω; ⃗r ω; ⃗vr ⃗ar= + + (⃗ ) + 2⃗ +

Forza e quantità di moto ≤α; μ;stan

Termini: ⃗F p⃗t=˙ ×ω;⃗ ⃗r = accelerazione di Eulero

Angolo limite:m

Se = cost.: α;lim μ;s= arctan× ×ω;⃗ ω; ⃗r(⃗ ) = centripeta di trascinamento ⃗F m⃗v t m⃗a= =

×ω; ⃗vr2⃗ = accelerazione di Coriolis

Attrito dinamico, corpo che scende

Impulso fd μ;d mg α;= cos

18. Sistemi non inerziali

tZ 2

Equazione nel sistema non inerziale −mg α; μ;d mg α; masin cos =⃗ ⃗I F= dtX −a g(sin α; μ;d α;)= cos⃗ ⃗F Fapp m⃗arel+ = treali 1

Condizione di discesa accelerata:⃗F

Se = cost.:

Forze apparenti complete ⃗ ⃗I F= ∇t α; > μ;dtan˙⃗ −m⃗ − × − × × − ×F at m ω;⃗ ⃗r m⃗ω; ω; ⃗r ω; ⃗vrel= (⃗ ) 2m⃗app

Teorema impulso-quantità di moto

Da fermo:Forza apparente traslatoria ⃗ −I p p⃗ p⃗= ∇⃗ = q2 1 2L⃗ −m⃗F at=tr t =

Forza media −g(sin α; μ;d α;)cos

Forza centrifuga ⃗ pI ∇⃗⃗ ⃗−m⃗ × × pF ω; ω; ⃗r= (⃗ ) F ==mcf −v α; μ;d α;)= 2Lg(sin cos∇t ∇t

In modulo: 2 ConservazioneFcf mω; r= ⊥

Attrito dinamico, corpo che sale

Se: Decelerazione: verso l’esterno rispetto all’asse di rotazione. ⃗I = 0ext

Forza di Coriolis adec g(sin α; μ;d &al