Fisiologia I

Fisiologia I

Parte prima

• Flusso delle particelle
• Membrana cellulare
• Potenziale elettrochimico
• Pompa sodio-potassio
• Potenziale d’azione
• Tecnica del patch-clamp
• Canali ionici

Anno Accademico 2020-21 CdL in Medicina e Chirurgia

Flusso delle particelle

Viscosità

• L'ambiente cellulare è un ambiente estremamente viscoso dove il solvente è l’acqua.
• In realtà l’acqua non sembra un ambiente viscoso, tuttavia, considerando la dimensione cellulare essa si presenta come un ambiente estremamente viscoso; infatti, più si riducono le dimensioni e più il movimento diventa difficoltoso, prevale quindi la viscosità.
• Il coefficiente di viscosità misura la difficoltà di strati diversi di fluidi di scorrere l'uno sull'altro.
• Questa difficoltà si riflette anche a livello di un oggetto che si muove nel fluido.
• Quando due superfici parallele di area A si muovono una relativamente all'altra si trova sperimentalmente che la forza F necessaria per farle scorrere è proporzionale all'area della superficie considerata e al gradiente di velocità.
• Il gradiente di velocità esprime come cambia la velocità nella direzione perpendicolare a questa.
• Esso cambia in funzione della profondità, in funzione cioè della distanza tra le due superfici.

Viscosità e superfici parallele

• Si trova quindi una forza che fa muovere questa superficie in uno stato stazionario, ovvero uno stato in cui le grandezze non cambiano e dove la velocità è costante, l’accelerazione conseguentemente risulta essere nulla.
• La forza F riesce a far sì che le due superfici, cioè la superficie A su cui agisce la forza F e la superficie di base che ha velocità nulla, scorrano una sull’altra.
• A Quando superfici parallele di area di un fluido si muovono l’una relativamente all’altra come sulla figura, si trova sperimentalmente che la forza F necessaria per farle scorrere è proporzionale all’area e al gradiente di velocità.
• Nel momento in cui una forza F fa muovere questa superficie A abbiamo un gradiente di velocità A v x η d/d che essendo costante si può eguagliare alla velocità che ha la superficie rispetto alla base diviso l'altezza totale.
• La costante di proporzionalità si chiama coefficiente di viscosità o anche, più semplicemente, viscosità. η d.
• Il coefficiente che misura il rapporto di proporzionalità è il coefficiente di viscosità (η).
• Il coefficiente di viscosità misura quindi il rapporto fra la forza diviso la superficie e la velocità d ℎ diviso la profondità a cui si trova la superficie di riferimento.
• Il coefficiente di viscosità misura quindi la difficoltà che strati diversi di fluido hanno di muoversi l'uno rispetto all’altro.

F A v h VBase (=0)

• Nella formula sottostante F/A è una forza su una superficie e quindi avrebbe la dimensione di N/m², cioè di quella grandezza che è il Pascal, misura della pressione.
• In questo caso non si tratta di una pressione, infatti, una pressione indica quando una forza agisce perpendicolarmente alla superficie.
• Si trova quindi una grandezza che dimensionalmente è una pressione ma fisicamente non rappresenta una pressione anche se si misura in Pascal.
• La grandezza V/h si misura in (m/s)/m quindi risulta come secondi per cui la dimensione del coefficiente di viscosa risulta essere Pascal per secondo.

F dv V = η = η A dx h

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• Nel SI l'unità di misura della viscosità è il Pa•s, nel sistema CGS invece, sistema centimetro, grammo, l'unità di misura della viscosità è il Poise; 1 Pa•s corrisponde a 10 poise.
• Si trova che l'acqua a 20 °C ha un coefficiente di 1 mPa•s.
• L'acetone è molto meno viscoso, infatti ha una viscosità di circa un terzo quella dell'acqua.
• L'etanolo ha una viscosità simile a quella dell'acqua.
• L'olio di oliva ha una viscosità molto più grande dell'acqua.
• Il glicerolo ha una viscosità enormemente più elevata dell'acqua.
• La viscosità di un liquido dipende dalla temperatura, infatti essa tende a diminuire con l'aumentare della temperatura.

Viscosità e temperatura

• Infatti, l’acqua a 37 °C ha una viscosità di circa il 30% in meno rispetto a quella dell'acqua a 20 °C.
• Il plasma sanguigno ha una viscosità di 1.5 mPa•s, il sangue invece, compresa la parte corpuscolare, ha una viscosità di circa 4 mPa•s.

L’unità di misura della viscosità è il Pa·s nel SI, mentre nel sistema cgs è il poise.

1 Pa·s = 10 poise

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Numero di Reynolds

• Un oggetto che si muove attraverso un fluido viscoso è soggetto a una forza che si oppone al movimento.
• La grandezza di questa forza dipende da come il fluido fluisce attorno all'oggetto e dipende da un parametro che è il numero di Reynolds.
• Il numero di Reynolds è definito come la densità del fluido per la lunghezza caratteristica dell'oggetto lungo la direzione del moto per la velocità dell’oggetto, rapportato al coefficiente di viscosità.

Re = ρLv / η, dove:

• ρ è la densità del fluido.
• L è la lunghezza caratteristica dell’oggetto lungo la direzione del moto.
• v è la velocità dell’oggetto.
• η è la viscosità.

• Dalla legge di Newton si trova che F = m a, quindi la forza inerziale sarà data dalla massa per l’accelerazione.
• Il numero di Reynolds misura il rapporto fra la forza inerziale e la forza viscosa.
• Se il numero di Reynolds è grande le forze viscose sono relativamente poco importanti, se è piccolo invece le forze viscose sono considerevoli.
• Per bassi numeri di Reynolds la forza F che si oppone al moto dell’oggetto è proporzionale alla velocità, si trova che:

F = − γ v, dove γ è il coefficiente di resistenza viscosa.

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• Se l'oggetto fosse una sfera di raggio r si trova che lo strato infinitesimo di fluido che tocca la sfera non scorre sulla sfera ma si muove con essa.
• In questo caso, quindi, sfera e fluido si muovono con una velocità del fluido v.
• Nel primo strato di fluido aderente alla sfera si trova che il coefficiente di resistenza viscosa dipende da un fattore geometrico 6π ed è proporzionale alla viscosità e al raggio della sfera.
• Quindi il coefficiente di resistenza viscosa γ dipende dal fluido e dall'oggetto che si muove con esso secondo la relazione: γ = 6π ηr.
• Mettendo insieme queste due relazioni si trova che la forza che si oppone al moto in caso di un oggetto sferico a bassi numeri di Reynolds è uguale a quella che è la legge di Stokes.
• La legge di Stokes vale solo per un oggetto di forma sferica, tuttavia se voglio un'idea di questa forza posso approssimare l'oggetto a una sfera.
• La legge di Stokes rappresenta la forza che si oppone al moto ed è:

F = − γ v = − 6π ηr v

• Nella tabella sottostante sono riportati i numeri di Reynolds per alcuni elementi.
• Si trova che per una piccola proteina di forma più o meno globulare la velocità è calcolata dall'equipartizione dell'energia, cioè una proteina di 6 nm di diametro con una massa di 10 kDa ca. soggetta all'agitazione termica, tra un urto e l'altro ha la velocità in tabella.

Numero di Reynolds: esempi

• Per un batterio posto in acqua vale la legge di Stokes perché si ha un basso numero di Reynolds.

Moto di un batterio

• Si consideri un batterio di 2 μm di lunghezza che nuota nell'acqua a una velocità di 25 μm/s.
• Per la legge di Stokes possiamo approssimare il batterio a una sfera con circa 1 μm di raggio.
• Dati tutti i dati si può calcolare il coefficiente di resistenza viscosa del batterio che si muove nell'acqua, UDM: (N•s)/m.

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Moto di un batterio e flagelli

• Quindi i motori molecolari che muovono i flagelli devono poter generare una forza di almeno 0.5 pN.
• Motori flagelli 500 nm.
• Trovato γ con la legge di Stokes moltiplico γ per la velocità ottenendo una forza di 0.5 pN.

Consideriamo un batterio di 2 μm di lunghezza, come ad esempio l’E. coli, che nuota nell’acqua a una velocità di 25 μm/s. Per la legge di Stokes, la resistenza γ, è circa 20 nN·s/m. Quindi i motori molecolari che muovono i flagelli devono poter generare una forza di almeno 0.5 pN.

• Essendo in uno stato stazionario il batterio si muove a 25 μm/s in maniera stazionaria, ovvero a velocità costante e quindi con accelerazione nulla.
• Se l'accelerazione è nulla la forza totale che agisce su questa cellula è nulla.
• Per la legge di Stokes il fluido si oppone al movimento quindi qualcosa spinge il batterio con una forza pari a quella che contrasta il moto, questa forza è esercitata dal flagello, mosso da motori molecolari.
• La forza che questi motori devono generare deve essere almeno pari a quella che il fluido oppone al moto del batterio per mantenerlo in questo movimento stazionario.

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Fisiologia I - A.A. 2020-21 Pagina 3 di 12 Flusso delle particelle

Costante di tempo

• Quando i motori molecolari cessano di agire la sola forza che agisce su un batterio è la forza viscosa.
• Si applichi quindi la seconda legge di Newton (F = m a) dove l'accelerazione è la variazione di velocità nel tempo.
• La sola forza che agisce è la forza del fluido che tende a fermarlo, F = − γ v.

m d v(t) / dt = − γ v

• L'espressione è un esempio semplice di una classe di problemi, si tratta di un'equazione differenziale che mette in relazione una grandezza con la sua derivata.
• Questa differenziale esplicita che la velocità cambia in proporzione alla grandezza stessa, la derivata della funzione incognita è proporzionale alla funzione stessa.

v(t) = v(0) * exp(−t / τ)

• Supponiamo che la velocità diminuisca del 10% ogni secondo, se all'inizio è 100 dopo un secondo sarà 90, dopo due secondi sarà 81, dopo un altro secondo sarà di circa 73, e così via.
• Con il passare del tempo questa grandezza diminuisce sempre meno, mettendo a grafico la variazione di questa grandezza nel tempo si ricaverebbe un'esponenziale.

Moto di un batterio e decadimento esponenziale

• Tutte le volte che è presente una grandezza che nel tempo o nello spazio cambia in maniera proporzionale alla grandezza stessa si tratta di un’esponenziale.
• La velocità diminuisce esponenzialmente col tempo e il parametro τ è la costante di tempo, cioè misura dopo quanto tempo la funzione è diminuita a circa il 37% del suo valore al tempo zero.

d d m τ m γ 0 exp / = / dove: τ =

Moto di un batterio: parametro τ

γ d d τ m γ 0 exp / = / dove: 0 63% 0 37% 63% 00 1 2 337% t

La velocità diminuisce esponenzialmente col tempo e il parametro è la costante di tempo, cioè 00 1 2 3 misura dopo quanto tempo la funzione è diminuita a circa il 37% del suo valore al tempo zero. 7 t

La velocità diminuisce esponenzialmente col tempo e il parametro è la costante di tempo,

• Procedendo con l'approssimazione del batterio ad oggetto sferico si trova che il volume della sfera è 4/3π r³, moltiplicandolo per la densità, simile a quella dell'acqua, si trova una massa di circa 4x10⁻¹⁵ kg.
• Il τ è definito come m/γ quindi si ha un τ di circa 0.2 μs.
• L’esponenziale non andrà mai zero ma vi si avvicinerà asintoticamente, dopo circa 3 o 4 τ la velocità è praticamente nulla.
• Si trova che il batterio, una volta spenti i motori molecolari, è fermo in circa 1 μs.

Fisiologia I - A.A. 2020-21 Pagina 4 di 12 Flusso delle particelle

Del batterio a una sfera e la sua densità ρ a quella dell’acqua: 4/3 x 10⁻¹⁵ kg; 20 nN s/m.

• La distanza percorsa dal batterio per inerzia, da quando i flagelli si fermano, si calcola come l'integrale della velocità nel tempo.
• Inizialmente la velocità è v(0), si trascura la ΔV dato il tempo molto piccolo, in questo caso lo spazio percorso è dato da v(0) per il tempo 0.2 μs.
• Dopodiché si calcola la nuova velocità dopo questo tempo e si calcola quant'è la x in un altro tempo relativamente piccolo.
• Risolvendo l'integrale si trova che la soluzione è data dalla velocità iniziale per la costante di tempo.

La distanza x percorsa dal batterio per inerzia, da quando i flagelli si fermano, si calcola come: t d 0 exp d 0 0 0.

• Quando il batterio smette di muovere i flagelli nell'acqua questo si ferma praticamente subito costituendo una prova che per una cellula l'acqua è un mezzo estremamente viscoso.

v τ x (0) Con = 25 μm/s e = 0.2 μs otteniamo = 5 pm = 0.05 Å.

• La maniera più opportuna per descrivere fenomeni che non vanno a zero è la costante di tempo.
• Si supponga di descrivere un fenomeno in cui la grandezza parte da un certo valore e diminuisce in maniera esponenziale, in questo caso però l'asintoto non è più zero ma è un valore che in questa equazione è rappresentato da 3.
• Non è possibile affermare che la costante di tempo è il tempo dopo il quale la grandezza si è ridotta al 37% del valore iniziale, infatti inizialmente era 13 mentre qui siamo a circa 10.
• È quindi più opportuno affermare che la costante di tempo è quel tempo dopo il quale la variazione della grandezza ha raggiunto il 63% della variazione totale.

Costante di tempo e variazione totale

• La variazione totale partendo da 13 e arrivando a 3 è di 10, quindi il 7 rilevato dopo il τ si avvicina a questo valore del 37%.

20 ( ) 3+10 (- /3) 18 16 14 Y(t) 12 63% 10 100% 8 6 37% 4 2 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

Costante di tempo in crescita e diminuzione

Se una grandezza cresce o diminuisce in maniera esponenziale, allora possiamo definire la costante di tempo come quel tempo dopo il quale la variazione della grandezza ha raggiunto il 63% della variazione totale. 9

20 ( ) 3+10 (1- (- /3)) 18 16 14 Y(t) 12 10 37% 100% 8 6 63% 4 2 0 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

Se una grandezza cresce o diminuisce in maniera esponenziale, allora possiamo definire la costante di tempo come quel tempo dopo il quale la variazione della grandezza ha raggiunto il 63% della variazione totale.

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Diffusione

• La diffusione è la migrazione casuale di molecole o particelle che nasce dal moto indotto dell'energia termica.
• Questi fenomeni diffusivi sono efficaci su piccoli distanze ma non su grandi distanze.
• Una cellula può far affidamento sui fenomeni diffusivi per scambiare materiale con l’ambiente, un organismo complesso non più.
• Organismi complessi hanno quindi sviluppato complessi circolatori, ad esempio il circolo del sangue o il circolo dell'aria.
• La diffusione è quindi un fenomeno efficiente solo su brevi distanze.
• Si consideri sempre il caso semplice monodimensionale, cioè che avviene in una sola direzione e che quindi presenta una sola variabile.
• Una particella che si trova in un ambiente a temperatura assoluta T ha in media un energia cinetica associata al movimento lungo una direzione data dalla costante di Boltzmann (1.38x10⁻²³ J/K) per la temperatura diviso per due.
• Quindi per un insieme di particelle di massa m che ha velocità lungo la direzione x, l'energia cinetica è data da 1/2mv².
• Dal momento che si considera la media delle particelle si calcola l’energia cinetica media: 1/2 kB T.
• Si trova quindi che: