Finanza aziendale

Introduzione rischio - rendimento

Innanzitutto, la diversificazione fa sì che da un singolo investimento non dipende l'intera ricchezza generata dal portafoglio. L'osservazione del mercato finanziario nel lungo periodo dimostra che i titoli danno diverso rendimento in base al diverso rischio che incorporano. C'è una relazione diretta tra rischio e rendimento. Gli investitori avversi al rischio, per passare da un titolo risk free ad uno molto rischioso, richiedono un aumento del rendimento atteso.

Il rischio è il fatto che non sappiamo quanto il rendimento che ci aspettiamo si discosterà da quello che avremo. Le azioni di una società privata piccola sono più rischiose rispetto ad azioni di una società più grande. I titoli di stato sono meno rischiosi di società industriali. Nelle obbligazioni, bisogna tener conto del rischio di default dell'emittente che potrebbe non essere in grado di restituire i soldi, essendo più probabile il fallimento di un'azienda rispetto a un intero stato.

Il rischio si valuta in termini di rischio quadratico medio (SQM): le azioni di grandi dimensioni hanno SQM minore rispetto alle piccole. Il rendimento di un titolo è una somma di tanti rendimenti che il titolo determina periodicamente. Se il mercato è efficiente, non dovremmo predire il rendimento di domani, quindi il rendimento di domani è indipendente da quello di ieri, risultando in una somma di valori indipendenti. La somma tra variabili indipendenti determina una distribuzione normale caratterizzata da media e varianza ed è simmetrica rispetto alla media.

Calcolare rendimento atteso e SQM del portafoglio

Per descrivere quali possono essere le realizzazioni future del rendimento, ci si può basare su media (rendimento atteso) e varianza/SQM. La normale fornisce informazioni concrete in quanto possiamo studiare qual è la probabilità di avere un determinato rendimento rispetto ad un altro. Se i titoli sono distribuiti normalmente, la media ne misura il rendimento e la varianza il rischio. Il problema è che di solito si ha un portafoglio di titoli.

Come determinare rendimento atteso e SQM di un portafoglio con più titoli? Investendo in tante attività diverse si avrà un effetto benefico chiamato "diversificazione", in quanto è possibile che eventi negativi influenzino un'attività ma non le altre. Non è detto che tutte le società in cui si investe abbiano dei rendimenti allineati, in quanto alcune potrebbero andare particolarmente bene ed altre male, ovattando le oscillazioni/variabilità facendo una media dei rendimenti di tutti i titoli.

Esempio di calcolo del rendimento atteso

Rendimento atteso = media ponderata del rendimento rispetto alla probabilità. SQM tramite la formula. Si può ipotizzare che l'investitore investa il 40% in A ed il rimanente 60% in B. Quale rendimento può attendersi? Il rendimento del portafoglio in ciascun stato del mondo sarà la media ponderata dei rendimenti di A e B. X sta per 40% e 60%. Il rendimento atteso sarà pari alla media ponderata tra probabilità del rendimento che il portafoglio fornisce in ogni stato del mondo. Il 5,96% è un rendimento centrale tra i rendimenti iniziali dei due titoli, in quanto li guardiamo nell'aggregato.

Il rendimento atteso del portafoglio è una media dei rendimenti attesi dei titoli che compongono il portafoglio, ma è anche dato dalla media ponderata della probabilità del rendimento che quel titolo dà in ogni stato del mondo. Significa che si può calcolare:

• ∑ peso dell'investimento * rendimenti di entrambi i titoli rispetto ad ogni stato del mondo.
• ∑ peso dell'investimento * rendimento atteso dei due titoli (40*6,8+60*5,4=5,96).

Calcolo del rischio del portafoglio

È possibile comporre infiniti portafogli rispetto ai diversi pesi in investimenti che si possono svolgere, ottenendo così diversi rendimenti (cambiando il 40% e 60%). Come calcolare il rischio del portafoglio? Scarti da media sono i rendimenti - rendimenti attesi (es. 17% - 5,96%). Dopodiché, si calcola la varianza come quadrato degli scarti ponderati per la probabilità di ogni stato del mondo. Dopodiché si potrà studiare lo SQM che è dell'8,73% -> ma è minore rispetto ai due titoli che compongono il portafoglio. Lo SQM non è necessariamente la media ponderata degli SQM dei titoli che lo compongono, in quanto c'è un effetto di compensazione -> la differenza tra media del SQM e vero SQM è un miglioramento.

Perché detenendo un portafoglio si riesce a ridurre il rischio? Bisogna tener conto di come i titoli tendono a variare l'uno rispetto all'altro -> quindi bisogna studiare la covarianza. Le variazioni dei rendimenti tra due titoli non sono perfettamente allineate, quindi con un indicatore statistico che ci dice quanto la variabilità di una variabile statistica è allineata alla variabilità di un'altra. È la covarianza che indica qual è la varianza dei due titoli che condividono.

Si calcola come prodotto degli scarti ponderato per i diversi stati del mondo (conoscendo i titoli di partenza ci siamo calcolati gli scarti). Bisogna calcolare poi il prodotto degli scarti = scarto A * scarto B e poi gli scarti per la probabilità (quindi moltiplicare quel valore per la probabilità). Covarianza = 0,67%. La varianza del portafoglio si calcola partendo da somma tra varianza A + varianza B + covarianza; dopodiché si pesa ogni elemento rispetto al peso che hanno sul complessivo.

Matrice varianze-covarianza

Per determinare il rischio di un portafoglio si utilizza la matrice varianze-covarianza: matrice simmetrica che contiene le varianze dei singoli titoli * pesi al quadrato e covarianze tra coppie di titoli * prodotto dei pesi. La varianza del portafoglio è la ∑ di tutti i termini contenuti nelle caselle. Tanto più peso do al titolo tanto più il rendimento sale; non è così per lo SQM in quanto non ha una relazione lineare dato che maggiore è la diversificazione minore è il rischio. La diversificazione funziona tanto più mischio il titolo A e titolo B -> è la capacità di compensare le oscillazioni che vanno da una parte di un titolo rispetto alle oscillazioni di un altro. Questo migliora ancora di più se aumentano i titoli, in quanto tanto più aumentano tanto si riesce a compensare.

Calcolo di rendimento e rischio con portafoglio di n titoli

Il rendimento del portafoglio Rp è pari alla media ponderata dei rendimenti dei singoli titoli inseriti nel portafoglio. Per calcolare la varianza del portafoglio bisogna considerare una matrice di varianze e covarianze con n righe e n colonne rosa: varianze² * peso². Blu: come si muovono in sincrono i titoli -> per ogni composizione possiamo studiare quanto si muovono in sincrono (covarianza) che dipende rispetto al peso di una e dell'altra. Questo perché la capacità di compensare l'uno con l'altro dipende dal peso (le oscillazioni di uno possono contenere quelle dell'altro).

Notiamo che:

• È simmetrica: le coppie sono disposte simmetricamente rispetto alla diagonale.
• Nel calcolo della varianza, le covarianze avranno un impatto minore rispetto alle varianze.

Questo dice che come operano da soli i titoli interessa poco, ma interessa come questi interagiscono gli uni con gli altri -> dalla capacità di contenere il rischio del singolo titolo dipende la varianza di portafoglio. Se bisogna far sì che il portafoglio sia meno rischioso bisognerà costruirlo con titoli che si comportano in modo diverso, quindi non interessa il titolo nel singolo perché si andrà a studiare il gruppo. Finora abbiamo considerato la covarianza come misura della tendenza dei rendimenti di due titoli a variare nello stesso senso o in senso inverso, ma è una misura scomoda e perciò si utilizza il coefficiente di correlazione che ha un range di variazione definito:

• Se correlazione: = -1 perfettamente negativa
• -1 < p < 0 negativa
• = 0 no correlazione
• 0 < p < 1 positiva
• = 1 perfettamente positiva

Tanto più la correlazione è bassa, tanto più probabile che all'oscillazione di un titolo sia compattato dall'altro. Se la correlazione è perfettamente positiva significa che ci saranno sicuramente delle oscillazioni non compensabili. Se la correlazione è perfettamente negativa significa che le oscillazioni di una saranno perfettamente compensate dall'altro -> si potrà avere varianza = 0. Man mano che ci sposta verso sinistra nel titolo B -> si avrà un rendimento maggiore da A con un rischio minore. Anche con la correlazione poco sopra il -1, si riuscirà ad avere un effetto compensatorio con una varianza minima.

La diversificazione e la frontiera efficiente per n titoli

La diversificazione permette di costruire nuove possibilità di investimenti nei portafogli che avvantaggiano in quanto permettono di avere rendimenti maggiori a rischi più bassi. Ogni portafoglio nella parte bassa è dominato da altri, perché tutti quelli alla sua sinistra avranno rendimenti maggiori con rischi minori. Tutto quello al di sotto del minimo della varianza non andrà mai scelto, quindi solo quelli nella parte alta della curva sono efficienti -> investitore razionale sceglierà titoli solo nella frontiera efficiente (parte alta della curva).

Come si costruisce la frontiera efficiente e come varia in funzione della correlazione? Più la correlazione diminuisce, maggiori sono i vantaggi della diversificazione e quindi la compensazione tra oscillazioni risulta più forte. Per capire quale portafoglio scegliere sulla frontiera efficiente bisognerà tener conto della propensione al rischio. La frontiera efficiente per n titoli è l'insieme dei portafogli costituisce l'insieme delle opportunità disponibili, ma quelle nell'ala bassa sono lo stesso poco attraenti.

Aumentando i titoli in portafoglio, se questi sono meno che perfettamente correlati tra loro allora ci sarà un ulteriore potenziale riduzione del rischio. Esiste un limite sotto il quale non si può scendere, cioè il rischio non diversificabile, ossia ineliminabile con la diversificazione e sono i rischi sistematici o di mercato. La frontiera efficiente per n titoli racchiude tutte quelle dei portafogli più ridotti. L'investitore andrà a scegliere il portafoglio rispetto a quanto è avverso al rischio.

Principio di separazione di Tobin

Finora abbiamo considerato le combinazioni rischio-rendimento che risultano dalla costruzione di portafogli rischiosi includendo gli investimenti rischiosi nella frontiera per raggiungere la diversificazione massima. Però l'investitore, per ridurre ancora il rischio, potrebbe investire in titoli sicuri e privi di rischio, andando a ridurre anche il rendimento atteso -> l'investitore, per avere rendimenti più alti, potrebbe anche decidere di prendere a prestito denaro da investire. Come si modificano le decisioni di investimento?

La presenza di un titolo risk free modifica la frontiera efficiente, infatti diventano fattibili anche tutti i portafogli ottenibili combinando il titolo risk-free con i vecchi titoli rischiosi -> dato che i titoli risk free sono incorrelati con i portafogli rischiosi le combinazioni giacciono sulla retta congiungente ai punti del titolo risk free e portafoglio rischioso. Perché R è la media ponderata dei rendimenti sul titolo risk free e sul portafoglioso rischioso. Lamba: quindi come varia un titolo che non si muove rispetto ad uno che oscilla? La varianza / oscillazioni dei titoli risk free è pari a 0. La covarianza dei titoli incorrelati è 0 in quanto se il titolo di rischio non si muove allora non potrà andare a toppare il titolo con rischio. L'elemento che si muove è il portafoglio rischioso rispetto al titolo rischioso per cui la covarianza è X² lamba * Varianza lamba. Quindi lo SQM titolo = X lamba * SMQ lamba. La relazione tra rischio e rendimento è lineare e dunque tutte le combinazioni possibili giacciono sulla retta -> è una relazione lineare.

Prestito su questa retta si passa da un rischio 0 rendimento 2%, ad un aumento del rischio e rendimento -> man mano che aumenta il peso dato a lamba aumenta lo SQM in maniera lineare. -> se devo combinare un titolo privo di rischio con uno rischioso posso creare una linea di portafogli <--> tutti quelli prima del titolo di rischio sono svolti col solo nostro investimento, dopodiché con soldi di altri. Esiste una retta diversa per ciascun portafoglio rischioso sulla frontiera efficiente, ma tra tutti i portafogli rischiosi ne esiste uno ottimo (portafoglio O) cioè preferibile a tutti perché combinato con il titolo risk free genera la retta più alta possibile che diventa la nuova frontiera efficiente per l'investitore.

Il principio di separazione afferma che ciascun investitore nelle scelte di investimento deve prendere due decisioni indipendenti tra loro:

• Quale portafoglio di attività rischiose acquistare dati l'insieme delle opportunità e la propria frontiera efficiente (tra tutti i portafogli Z scelgo il portafoglio O).
• Quanta parte dei propri risparmi investire nell'attività rischiosa ottima e quanta nel titolo privo di rischio -> principio Two-fund separation ossia individuare i pesi Xt e Xo adatti all'investitore.

Il peso del portafoglio deve essere pari a 1, quindi se investo quello che ho divido il 100% tra i due titoli. Se invece mi faccio prestare i soldi oltre al 100% della ricchezza potrò investire soldi in più: se mi prestano 20, significa che il peso sarà il 120%. Si potrà investire il 120 in lamba, ma sono negativo perché va restituito il 20%. Il rendimento di portafoglio sarà pari a rendimento lamba * 120 - 20%. Dato che il rendimento è maggiore, significa che sta incrementando il rendimento. Il rischio del portafoglio è pari al peso * SQM io sto incrementando sempre di più il rischio -> 120 del rischio del titolo lamba.

Esempio pratico

Ipotesi 1: se il titolo è privo di rischio non ha varianza e non può covariare con l'altro titolo. Decido di investire 50 nel titolo rischio e 50 nel titolo risk free. Sappiamo che la varianza del titolo risk free è nulla, quindi la varianza è data dalla formula X²*ō²=> 50%²*10%² ed è relativa al solo titolo A. Ipotesi 2: il rendimento finale è dato dal 100% del titolo A. La varianza è relativa solo al titolo A ed idem lo SQM. Ipotesi 3: sono convinta che investimento funzioni quindi mi faccio prestare soldi allo stesso tasso di rischio. Dato che voglio investire 150 nel titolo A ed io ho solo 100, dovrò farmi prestare 50. In futuro la persona vorrà il rendimento promesso (2%) e la restituzione del capitale. 1) Se investo 100 in A il rendimento nello scenario 1 ho ricchezza finale di 115 (ricchezza iniziale + 15%) mentre nello scenario 2 di 95 (ricchezza iniziale - 5%). 2) Se investo 50 nel titolo A: -nello scenario 1 -> rendimento 15% [se investo 50 otterrò 50(1,15)=57,5]. -scenario 2 -> rendimento -5% [50*(-1.05)=47,5]. Se mi faccio prestare 50€ dovrò pagare l'interesse del 2% che in ogni caso è di 1€.

In valore assoluto nello scenario 1 => investendo 50 si ottiene 56,5€. Nello scenario 2 => investendo 50 si ottiene 46,5€. Nel frattempo, bisogna restituire i 50€ che mi sono stati prestati:

• Scenario 1: rimango con 6,5€ in più.
• Scenario 2: ho una perdita di -3,5€.

Posizione complessiva alla fine:

• Scenario 1: 115+6,5= 121,5€ -> più ricco di 21,5€.
• Scenario 2: 95 - 3,5 = 91,5€ -> più povero di 8,5€.

Il rendimento ex post: bisogna confrontare il rendimento finale con i 100 iniziali e troviamo 21,5% e -8,5%. Quindi si può investire più della ricchezza che si ha tramite prestiti. Aumentando il rischio in quanto passa da essere dal rischio di 10% nell'investire 100 in A, al 15% di investire 150 in A in quanto mi faccio prestare soldi che non sono miei. -> il rendimento atteso aumenta al 6,5%. Se disegno sull'asse rischio rendimento i 3 portafogli: è una relazione lineare. Se devo combinare un titolo privo di rischio con uno rischioso posso creare una linea di portafogli -> tutti quelli prima del titolo di rischio sono svolti col solo nostro investimento, dopodiché con soldi di altri.

Dalla frontiera efficiente all'equilibrio di mercato

Se il mercato funziona e tutti gli investitori hanno aspettative omogenee, allora l'insieme delle opportunità e la frontiera efficiente sono le stesse per tutti gli investitori. -> tutti concordano sul portafoglio ottimo, formato da tutti i titoli presenti sul mercato ciascuno con un peso proporzionale al suo valore ed è detto portafoglio di mercato. Esiste dunque un unico portafoglio M uguale per tutti gli investitori. Tutti gli investitori avranno due attività: titoli risk free e portafoglio di mercato (titoli rischiosi) in proporzioni variabili in base al loro grado di avversione.

L'insieme delle possibili combinazioni delle due attività è la Capital Market Line (CML) che è la frontiera efficiente del mercato. L'equazione della CML è: agli investitori non interessa il rischio complessivo del singolo titolo ma il contributo che dà al rischio del portafoglio in cui è inserito quindi il rischio sistematico, non eliminabile tramite la diversificazione. In quanto esistono dei rischi che non possono essere diversificati perché sono connessi a tutte le società. Quindi esiste una riduzione del rischio oltre alla quale non si può andare, che è il rischio sistematico.