Esercizi di Probabilità e statistica sugli integrali doppi

Capitolo 16

Esercizi sugli integrali doppi

Brevi richiami di teoria

Sia f : [a, b] × [c, d] −→ B ⊂ IR una funzione limitata e non negativa, definita sul rettangolo R = [a, b] × [c, d]. Dividiamo l’intervallo [a, b] in n intervallini, diciamo I_k, k = 1, . . . n, e l’intervallo [c, d] in m intervallini, diciamo J_h, h = 1, . . . , m; denotiamo con (x_k, y_h) il punto centrale del rettangolino I_k × J_h.

Si definisce integrale doppio di f(x, y) sul rettangolo R il limite:

∫∫_R f(x, y)dxdy = lim_n,m→∞ ∑_k=1ⁿ ∑_h=1^m f(x_k, y_h) · area(I_k × J_h)

Se gli intervallini I_k e J_h sono tutti uguali, l’espressione di sopra diventa:

∫∫_R f(x, y)dxdy = lim_n,m→∞ ∑_k=1ⁿ ∑_h=1^m f(x_k, y_h) (b − a)(d − c) / nm

Per definire l’integrale doppio esteso ad un insieme E limitato che non è un rettangolo, si procede come segue. Sia R un rettangolo contenente E al suo interno; allora si pone:

∫∫_E f(x, y)dxdy = ∫∫_R f^∗(x, y)dxdy

ove f^∗(x, y) =

• f(x, y) se (x, y) ∈ E
• 0 se (x, y) ∈ R − E

Si chiama dominio normale rispetto all’asse x un insieme del tipo E = {(x, y) ∈ IR² : a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, dove α(x) e β(x) sono due funzioni di x.

1112 Capitolo 16

Si chiama dominio normale rispetto all’asse y un insieme del tipo F = {(x, y) ∈ IR² : a ≤ y ≤ b, α(y) ≤ x ≤ β(y)}, dove α(y) e β(y) sono due funzioni di y.

Per calcolare l’integrale doppio di f(x, y) esteso ad un dominio E normale rispetto all’asse x, si procede come segue:

∫∫_E f(x, y)dxdy = ∫_a^b dx ∫_α(x)^β(x) f(x, y)dy

in cui si calcola prima l’integrale interno tra ( ), il cui risultato risulta una funzione di x, e poi si calcola l’integrale esterno, integrando in dx.

Per calcolare l’integrale doppio di f(x, y) esteso ad un dominio F normale rispetto all’asse y, si procede come segue:

∫∫_F f(x, y)dxdy = ∫_a^b dy ∫_α(y)^β(y) f(x, y)dx

in cui si calcola prima l’integrale interno tra ( ), il cui risultato risulta una funzione di y, e poi si calcola l’integrale esterno, integrando in dy.

Se E si può scrivere sia come dominio normale rispetto all’asse x, che come dominio normale rispetto all’asse y, l’integrale doppio si calcola indifferentemente in uno dei due modi, pervenendo allo stesso risultato, grazie al Teorema di Fubini.

Se l’insieme E si può scrivere come unione di più insiemi, l’integrale doppio di f(x, y) esteso ad E risulta essere la somma degli integrali doppi estesi agli insiemi la cui unione è E (additività dell’integrale doppio).

L’integrale doppio esteso ad E di una combinazione lineare di funzioni f(x, y) e g(x, y) risulta essere la combinazione lineare degli integrali doppi (linearità dell’integrale doppio).

Il significato geometrico dell’integrale doppio di f(x, y) esteso ad E è il volume della parte di spazio compresa sotto al grafico (superficie) della funzione f(x, y) individuata dall’insieme E. Se f(x, y) = 1, si ottiene ∫∫_E dxdy = area(E).

Esercizio 16.1

Calcolare l’integrale doppio esteso all’insieme a fianco indicato:

• ∫∫_E x³y² dxdy, E = {(x, y) ∈ IR² : 0 ≤ x ≤ 1; −1 ≤ y ≤ 0};
• ∫∫_E sin x cos y dxdy, E = {(x, y) ∈ IR² : 0 ≤ x ≤ π; 0 ≤ y ≤ π};
• ∫∫_E x² √1 + y² dxdy, E = {(x, y) ∈ IR² : −1 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 3};

∫∫