Esercizi di Fisica generale - modulo B

Esercizi fisica generale modulo B

Principio di conservazione della carica elettrica

Sia su scala micro che macroscopica, in un sistema isolato la carica totale si conserva, ossia la somma algebrica delle cariche è costante.

Campo elettrico

E = 1 / 4πε₀ * q / r² = F / q₀

Carica sorgente positiva = campo con verso uscente
Carica sorgente negativa = campo con verso entrante

Esercizio 1.2

Due cariche q₁=8q e q₂=-2q si trovano a distanza L l'una dall'altra. In che punto possiamo collocare una carica positiva qualunque in modo che resti in equilibrio?

Equilibrio = sistema di riferimento (1° cosa). Non possiamo trovare questa nuova carica q₀ in una posizione diversa dall'asse x poiché negli altri casi rimarrebbe forzata componente verticale. Non può stare al centro poiché |q₁| > |q₂|.

Esercizio 1.3

Una carica Q è distribuita nel volume di una sfera di raggio R secondo la legge ρ = Ar, essendo r la distanza dal centro. Determinare la carica totale Q.

Dividere la sfera in tanti gusci o strati: integrale rispetto al volume della densità di carica in dV. Devo sostituire dV nel parallelepipedo dV = A dr. Nella sfera, dV = 4πr² dr.

Q = ₀∫^R Ar · 4πr² dr = 4πA [^r4/₄]₀^R = ¼πA R⁴

Risultato: ¼πR⁴A

dV = 4πr² dr

Importantissimo!

Esercizio 1.4

Un anello di raggio R ha una densità lineare di carica positiva uniforme λ, con carica totale Q. Calcolare il campo elettrico lungo l'asse dell'anello, in un punto P posto a distanza z dal centro dell'anello stesso.

Angolo = asta piegata a cerchio
λ = ^Q/_L = ^Q/_2πR
dq = λ ds
MA ds = dθ ∙ R
dq = λR dθ

Cono rovesciato: superficie conca formata da un campo elettrico
cosθ = z → z = rcosθ.
√(z² + R²)

dE_z = ¹/_4πε ∙ dq/_{R² + z²} cosθ

Passo alla notazione scalare
¹/_4πε ^{λR dθ}/_{z² + R²} → ^z/_{√(z² + R²)}

dθ è l'unica variabile di integrazione

E_tot = ∫₀^{2π 1}/_4πε ^{λR z}/_{(z² + (R²)^5/2}) dθ
= ¹/_4πε ^{λR z}/_{2ε(z² + R²)^3/2}
= ^Qz/_{4πε₀(z² + R²)^3/2}

Esercizio 1.5

Un disco di raggio R ha una densità superficiale di carica positiva uniforme, con carica totale Q. Calcolare il campo elettrico lungo l'asse del disco, in un punto P posto a distanza z dal centro dell'anello stesso.

A_d=πR² → G = ^Q/_Ad

dq = ^dg/_ds
dq relativo al singolo anello che costruisce il disco:
dq = G2πrdr

dE_z = ^{z dq}/_{4πε0 (z²+R²)^3/2} â_z = ^{z 2πr dr}/_{4πe (z²+R²)^3/2}

E_z,tot = ∫₀^{R 2πrGz}/_{4πε0(z²+r²)^3/2}r dr
= ^Gz/_2ε0 ∫₀^Rrdr/_{(z²+r²)^3/2}
= ^Gz/_2ε0 ∫₀^R r (z²+r²) ^-3/2 dr
= ^Gz/_4ε0∫₀^R 2r(z²+r²) ^-3/2 dr
= ^Gz/_4ε0[¹/_{(z²+r²)^1/2}]₀^R
=-^Gz/_2ε02 [ ((z²+R²)^-1/2z^-1)=^Gz/_2ε0(¹/_z-¹/_√z²+R²)

Esercizio 1.7

Una bacchetta isolante di lunghezza L possiede una carica q uniformemente distribuita sulla sua lunghezza. Determinare il campo su un punto P posto sullo stesso asse della bacchetta e a distanza a da uno degli estremi.

Dove generica distanza di un elemento dall'origine poiché oltre la bacchetta non ci sono cariche. Primitiva del tipo ma ho già il segno essendo quindi lo scrivo già positivo. Risultato campo elettrostatico generato da un dipolo elettrico lungo l'asse: